第１問
1個のさいころを2回投げ、最初に出た目をa、2回目に出た目をbとする。
2次方程式x2-ax+b=0について、次の問いに答えよ。
(１) 実数解は存在すれば正であることを示せ。
(２) 実数解の個数が1となる確率を求めよ。
(３) 実数解の個数が2となる確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
2つの実数解をp、qとおくと、解と係数の関係より
p+q=a＞0 かつ pq=b＞0
なので、p、qはともに正の数である。
よって、題意は示された。
(２)
1個のさいころを2回投げた時の目の出方の総数は62通り。
判別式を考えると、
D=a2-4b=0
これを満たす組(a，b)は、(2，1)、(4，4)の2通りなので、
求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{6^2}=\underline{\sf \frac{1}{18}}\end{align*}}$
(３)
判別式を考えると、
D=a2-4b＞0
これを満たす組(a，b)は、
(3，1)、(3，2)、
(4，1)、(4，2)、(4，3)、
(5，1)、(5，2)、(5，3)、(5，4)、(5，5)、(5，6)、
(6，1)、(6，2)、(6，3)、(6，4)、(6，5)、(6，6)
の17通りなので、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{17}{6^2}=\underline{\sf \frac{17}{36}}\end{align*}}$
これは簡単。数えるだけです。
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第２問
座標平面上に5点O(0，0)、A(5，0)、B(0，11)、P(m，0)、Q(0，n)
をとる。ただし、mとnは1≦m≦5、1≦n≦11を満たす整数とする。
(１) 三角形OABの内部に含まれる格子点の個数を求めよ。ただし、
格子点とはx座標とy座標がともに整数である点のことであり、
内部には返上の点は含まれない。
(２) 三角形OPQの内部に含まれる格子点の個数が三角形OABの内部
に含まれる格子点の個数の半分になるような組(m，n)をすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
点Ｃ(5，11) とする。
長方形OACBの内部に含まれる格子点の個数は、4×10=40個
このうち対角線AB：$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{11}{5}x+11\end{align*}}$ 上に格子点はなく、
「△OABの内部の格子点の個数」=「△CBAの内部の格子点の個数」
なので、40÷2=20個
(２)
点R(m，n) とする。
長方形OPRQの内部の格子点のは、(m-1)(n-1)個
このうち対角線PQ：$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{n}{m}x+n\ \left(1\leqq x\leqq m-1\right)\end{align*}}$ 上にある格子点の個数を
Nとおくと、1≦x≦m-1≦5-1 なので、Nの取りうる値の範囲は
0≦N≦4である。
「△OABの内部の格子点の個数」=「△CBAの内部の格子点の個数」=10
なので、
(m-1)(n-1)=20+N ・・・・・・(#)
が成り立つ。
(ⅰ) N=0のとき
(#) ⇔ (m-1)(n-1)=20
であり、0≦m-1≦4、0≦n-1≦10 ・・・・・・(A )なので、
(m-1，n-1)=(2，10)、(4，5)
⇔ (m，n)=(3，11)、(5，6)
・ (m，n)=(3，11)のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PQ: y=-\frac{11}{3}x+11\end{align*}}$
なので、N=0となりOK
・ (m，n)=(5，6)のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PQ: y=-\frac{6}{5}x+6\end{align*}}$
なので、N=0となりOK
(ⅱ) N=1のとき
(#) ⇔ (m-1)(n-1)=21
であり、(A )より、
(m-1，n-1)=(3，7) ⇔ (m，n)=(4，8)
このとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PQ: y=-2x+8\end{align*}}$
なので、N=3 となり不適 ←(1，6)、(2，4)、(3，2)の3点
(ⅲ) N=2のとき
(#) ⇔ (m-1)(n-1)=22
であり、(A )より、これを満たすようなm、nは存在しない。
(ⅳ) N=3のとき
(#) ⇔ (m-1)(n-1)=23
であり、(A )より、これを満たすようなm、nは存在しない。
(ⅳ) N=4のとき
(#) ⇔ (m-1)(n-1)=24
であり、(A )より、
(m-1，n-1)=(3，8)、(4，6)
⇔ (m，n)=(4，9)、(5，7)
・ (m，n)=(4，9)のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PQ: y=-\frac{9}{4}x+9\end{align*}}$
なので、N=0となり不適
・ (m，n)=(5，7)のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PQ: y=-\frac{7}{5}x+7\end{align*}}$
なので、N=0となり不適
(ⅰ)～(ⅴ)より、題意を満たすのは
(m，n)=(3，11)、(5，6)
(２)の場合分けが面倒です。
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第３問
座標平面上に5点A(0，0)、B(0，1)、C(1，1)、D(1，0)、$\small\sf{\begin{align*} \sf E\left(0, \frac{2}{3}\right)\end{align*}}$
がある。点Eと点P1(s，1) （0＜s＜1）を通る直線をL1とする。直線
y=1に関してL1と対称な直線をL2とし、L2と直線x=1の交点をP2と
する。さらに、直線x=1に関してL2と対称な直線L3はx軸と線分AD上
で交わるとし、その交点をP3とする。
(１) 直線L2が点Dを通るときのsの値を求めよ。
(２) 線分DP3の長さをsを用いて表せ。
(３) EP1+P1P2+P2P3の最大値と最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
直線y=1に関して点Eと対称な点をF(0，$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{3}\end{align*}}$ )とおくと、
L2は2点P1、Fを通るので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_2:\ y=-\frac{1}{3s}x+\frac{4}{3}\end{align*}}$
(１)
L2がDを通るとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=-\frac{1}{3s}+\frac{4}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf s=\frac{1}{4}}\end{align*}}$
(２)
L2とx軸の交点をGとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=-\frac{1}{3s}x+\frac{4}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=4s\end{align*}}$
より、G(4s，0)となる。
L2とL3は直線x=1に関して対称なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf DP_3=DG=\underline{\sf 4s-1}\end{align*}}$
(３)
L1とL2は直線y=1に関して対称なので、EP1=FP1
L2とL3は直線x=1に関して対称なので、P2P3=P2G
よって、L(s)= EP1+P1P2+P2P3 とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L(s)&=\sf FP_1+P_1P_2+P_2G\\ &=\sf FG\\ &=\sf \sqrt{\left(2s\right)^2+\left(\frac{4}{3}\right)^2}\end{align*}}$
ここで、P3は線分AD上にあるので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq DP_3\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leqq 4s-1\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{4}\leqq s\leqq\frac{1}{2}\end{align*}}$
よって、L(s)の最大値・最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L(s)_{max}=L\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{2^2+\left(\frac{4}{3}\right)^2}=\underline{\sf \frac{2\sqrt{13}}{3}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L(s)_{min}=L\left(\frac{1}{4}\right)=\sqrt{1^2+\left(\frac{4}{3}\right)^2}=\underline{\sf \frac{5}{3}}\end{align*}}$
図の対称性をうまく利用すると楽です。
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第４問
$\small\sf{\begin{align*} \sf -\sqrt2\leqq x\leqq\sqrt2\end{align*}}$ の範囲で、点Pは放物線y=-x2+2上を動き、点Qは
放物線y=x2-2上を動く。ただし、PとQは異なる点とする。
(１) 直線PQが原点を通るとき、線分PQの長さの最大値と最小値を
求めよ。
(２) 線分PQの長さの最大値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
2つの放物線は原点について対称なので、直線PQが原点を
通るとき、PQ=2OPとなる。
点Pの座標を(p，-p2+2) （-$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\leqq p\leqq\sqrt2\end{align*}}$ ）とおき、関数f(p)を
f(p)=OP2とおくと、 
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(p)&=\sf p^2\left(-p^2+2\right)^2\\ &=\sf p^4-3p^2+4\\ &=\sf \left(p^2-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\ \ \ \left(0\leqq p^2\leqq 2\right)\end{align*}}$
となるので、線分PQの長さの最大値と最小値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PQ_{max}=2\sqrt{f\left(0\right)}=\underline{\sf 4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PQ_{min}=2\sqrt{f\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)}=\underline{\sf \sqrt7}\end{align*}}$
(２)
(１)より、OP≧2であり、図の対称性より、OQ≧2.
よって、
PQ≦OP+OQ≦2+2=4
となるので、PQの最大値は4である。
（P(0，2)、Q(0，-2)のとき)
これも図の対称性を使うと楽です。
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第５問
座標平面上にすべての内角が180°未満の四角形ABCDがある。
原点をOとし、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf c}\ ,\ \overrightarrow{\sf OD}=\overrightarrow{\sf d}\end{align*}}$
とおく。kは0≦k≦1を満たす定数とする。0以上の実数s、t、uが
k+s+t+u=1を満たしながら変わるとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=k\overrightarrow{\sf a}+s\overrightarrow{\sf b}+t\overrightarrow{\sf c}+u\overrightarrow{\sf d}\end{align*}}$
で定められる点Pの存在範囲をE(k)とする。
(１) E(0)およびE(1)を求めよ。
(２) $\small\sf{\begin{align*} \sf E\left(\frac{1}{3}\right)\end{align*}}$ を求めよ。
(３) 対角線AC、BDの交点をMとする。どのE(K) $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{3}\leqq k\leqq\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$ にも
属するような点Pを考える。このような点Pが存在するための必要
十分条件を、線分AC、AMの長さを用いて答えよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=k\overrightarrow{\sf a}+s\overrightarrow{\sf b}+t\overrightarrow{\sf c}+u\overrightarrow{\sf d}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sf \left(k+s+t+u=1\ ,\ 0\leqq k\leqq1\ ,\ 0\leqq s\ ,\ 0\leqq t\ ,\ 0\leqq u\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf AP}-\overrightarrow{\sf AO}= k\left(-\overrightarrow{\sf AO}\right)+s\left(\overrightarrow{\sf AB}-\overrightarrow{\sf AO}\right)+t\left(\overrightarrow{\sf AC}-\overrightarrow{\sf AO}\right)+u\left(\overrightarrow{\sf AD}-\overrightarrow{\sf AO}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf AP}&=\sf \left(1-k-s-t-u\right)\overrightarrow{\sf AO}+s\overrightarrow{\sf AB}+t\overrightarrow{\sf AC}+u\overrightarrow{\sf AD}\\ &=\sf s\overrightarrow{\sf AB}+t\overrightarrow{\sf AC}+u\overrightarrow{\sf AD} \end{align*}}$ ・・・・・・(ⅰ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sf \left(s+t+u=1-k\ ,\ 0\leqq t\ ,\ 0\leqq s\ ,\ 0\leqq u\right)\end{align*}}$
(１)
k=1のとき
s+t+u=0 、0≦s、 0≦t、 0≦u
なので、s=t=u=0である。このとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$
となるので、E(1)は点Aを表す。
k=0のとき
s+t+u=1 、0≦s、 0≦t、 0≦u
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}=s\overrightarrow{\sf AB}+t\overrightarrow{\sf AC}+u\overrightarrow{\sf AD}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf BP}-\overrightarrow{\sf BA}=s\left(-\overrightarrow{\sf BA}\right)+t\left(\overrightarrow{\sf BC}-\overrightarrow{\sf BA}\right)+u\left(\overrightarrow{\sf BD}-\overrightarrow{\sf BA}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf BP}&=\sf \left(1-s-t-u\right)\overrightarrow{\sf BO}+t\overrightarrow{\sf BC}+u\overrightarrow{\sf BD}\\ &=\sf k\overrightarrow{\sf BO}+t\overrightarrow{\sf BC}+u\overrightarrow{\sf BD}\\ &=\sf t\overrightarrow{\sf BC}+u\overrightarrow{\sf BD} \ \ \ \left(0\leqq t+u\leqq 1\ ,\ 0\leqq t\leqq 1\ ,\ 0\leqq u\leqq 1\right)\end{align*}}$
となるので、E(0)は、△BCDの周および内部を表す。
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{1}{3}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AP}&=\sf s\overrightarrow{\sf AB}+t\overrightarrow{\sf AC}+u\overrightarrow{\sf AD}\\ &=\sf \frac{3}{2}s\cdot\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf AB'}+\frac{3}{2}t\cdot\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf AC'}+\frac{3}{2}u\cdot\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf AD'} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(0\leqq s+t+u\leqq \frac{2}{3}\ ,\ 0\leqq s\leqq \frac{2}{3}\ ,\ 0\leqq t\leqq \frac{2}{3}\ ,\ 0\leqq u\leqq \frac{2}{3}\right)\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s'=\frac{3}{2}s\ ,\ t'=\frac{3}{2}t\ ,\ u'=\frac{3}{2}u\ ,\ \overrightarrow{\sf AB'}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf AB}\ ,\ \overrightarrow{\sf AC'}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf AC}\ ,\ \overrightarrow{\sf AD'}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf AD} \end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}=s'\overrightarrow{\sf AB'}+t'\overrightarrow{\sf AC'}+u'\overrightarrow{\sf AD'}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(0\leqq s'+t'+u'\leqq 1\ ,\ 0\leqq s'\leqq 1\ ,\ 0\leqq t'\leqq 1\ ,\ 0\leqq u'\leqq 1\right)\end{align*}}$
となるので、(１)のE(1)と同様に考えると、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E\left(\frac{1}{3}\right)\end{align*}}$ は、
△B’C’D’の周および内部を表す。
（ただし、B’、C’、D’は、AB、AC、ADをそれぞれ2:1に内分する点）
(３)
(２)と同様に考えると、E(K)は、辺AB、AC、ADをそれぞれ1-k：kの比に
内分した点を頂点とする三角形の周および内部を表す。
よって、AB、AC、ADそれぞれの中点をB”、C”、D”とすると、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E\left(\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$ は
△B”C”D”の周および内部を表す。
題意を満たすためには、C”が△B’C’D’の周および内部にあればよいので、
B’D’とAC’の交点をM’とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AC''\geqq AM'&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{1}{2}AC\geqq \frac{2}{3}AM\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf AC\geqq \frac{4}{3}AM}\end{align*}}$
同様にでごまかしましょうｗｗ
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- 2018/11/12(月) 01:04:00|
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第６問
aは0＜a＜2を満たす整数とする。0≦t≦1を満たす実数tに対して、
座標平面上の4点A(t，0)、B(2，t2)、C(2-t，2)、D(0，2-at)
を考える。このとき、四角形ABCDの面積S(t)が最小となるようなtの
値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
O(0，0)、P(2，0)、Q(2，2)、R(0，2)とおくと、
四角形ABCD=四角形OPQR-△OAD-△PBA-△QCB-△RDC
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S(t)&=\sf 2^2-\frac{1}{2}t\left(2-at\right)-\frac{1}{2}t^2\left(2-t\right)-\frac{1}{2}t\left(2-t^2\right)-\frac{1}{2}at\left(2-t\right)\\ &=\sf t^3+\left(a-1\right)t^2-\left(a+2\right)t+4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ '(t)=3t^2+2\left(a-1\right)t-a-2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ '(0)=-a-2<0\ \ ,\ \ S\ '(1)=a-1\end{align*}}$
(ⅰ) 1＜a＜2のとき
S’(1)=a-1＞0なので、S’(t)=0となるtが0＜t＜1の範囲に
1つ存在する。その値をpとおくと、S’(T)の増減は次のように
なる。
よって、S(t)はt=pで最小となる。
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S\ '(t)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ t&=\sf \frac{1-a\pm\sqrt{\left(a-1\right)^2+3\left(a+2\right)}}{3}\\ &=\sf \frac{1-a\pm\sqrt{a^2+a+7}}{3} \end{align*}}$
であり、p＞0なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\underline{\sf \frac{1-a+\sqrt{a^2+a+7}}{3}} \end{align*}}$
(ⅱ) 0＜a≦1のとき
S’(1)=a-1≦0なので、0≦t≦1の範囲で常にS’(t)≦0
となり、S(t)は単調に減少する。
よって、S(t)はt=1のときに最小となる。
pの値が汚くていやですが・・・
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第７問
数直線上の点Qは、はじめ原点x=0にあり、さいころを投げるたびに
以下のルールに従って移動する。Qがx=aにあるとき、
・出た目が1ならばx=aにとどまる。
・出た目が2、3ならばx=a+1へ動く。
・出た目が4、5、6ならばx=0に戻る（a=0ならば動かない）。
(１) 整数a≧0に対して、さいころを3回投げたとき、Qがx=aにある確率
を求めよ。
(２) さいころをn回投げたとき、Qがx=0にある確率を求めよ。
(３) さいころをn回投げたとき、Qがx=1にある確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
さいころを1回投げて
・1の目が出る事象をA
・2、3の目が出る事象をB
・4、5、6の目が出る事象をC
とおくと、それぞれの事象が起こる確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6},\frac{1}{3},\frac{1}{2}\end{align*}}$ である。
また、さいころをn回投げたとき、Qがx=aにある確率をPn(a)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_1\left(0\right)=\frac{2}{3}\ ,\ P_1\left(1\right)=\frac{1}{3}\end{align*}}$
(１)
(ⅰ) a≧4のとき
さいころを3回しか投げないので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sf P_3\left(a\right)=\underline{0}\end{align*}}$
(ⅱ) a=3のとき
サイコロが、B→B→Bのように出ればよいので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_3\left(3\right)=\left(\frac{1}{3}\right)^3=\underline{\sf \frac{1}{27}}\end{align*}}$
(ⅲ) a=2のとき
サイコロが、
A→B→B
B→A→B
B→B→A
C→B→B
のように出ればよいので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_3\left(2\right)=_3C_2\ \cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2\cdot\frac{1}{6}+\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2=\underline{\sf \frac{1}{9}}\end{align*}}$
(ⅳ) a=0のとき
サイコロが、
□→□→C （1、2回目は何でもよい）
□→C→A （1回目は何でもよい）
AまたはC→A→A
のように出ればよいので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_3\left(0\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}+\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{2}\right)\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^2=\underline{\sf \frac{65}{108}}\end{align*}}$
(ⅴ) a=1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_3\left(1\right)=1-\frac{1}{27}-\frac{1}{9}-\frac{65}{108}=\underline{\sf \frac{1}{4}}\end{align*}}$
(２)
さいころをn+1回投げたときにQがx=0にあるのは
・n+1回目にC
・n回投げたときにx=0で、n+1回目にA
のいずれかの場合なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{n+1}\left(0\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}P_{n}\left(0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ P_{n+1}\left(0\right)-\frac{3}{5}=\frac{1}{6}\left\{P_{n}\left(0\right)-\frac{3}{5}\right\}\end{align*}}$
よって、数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{P_{n}\left(0\right)-\frac{3}{5}\right\}\end{align*}}$ は等比数列をなすので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{n}\left(0\right)-\frac{3}{5}=\left(\frac{1}{6}\right)^{n-1}\left\{P_{1}\left(0\right)-\frac{3}{5}\right\}=\frac{1}{15} \left(\frac{1}{6}\right)^{n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ P_{n}\left(0\right)=\underline{\sf \frac{3}{5}+\frac{1}{15} \left(\frac{1}{6}\right)^{n-1}}\end{align*}}$
(３)
さいころをn+1回投げたときにQがx=1にあるのは
・n回投げたときにx=1で、n+1回目にA
・n回投げたときにx=0で、n+1回目にB
のいずれかの場合なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_{n+1}\left(1\right)&=\sf \frac{1}{6}P_{n}\left(1\right)+\frac{1}{3}P_{n}\left(0\right)\\ &=\sf \frac{1}{6}P_{n}\left(1\right)+\frac{1}{5}+\frac{1}{45} \left(\frac{1}{6}\right)^{n-1}\end{align*}}$ ←(２)より
両辺に6n+1をかけると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 6^{n+1}P_{n+1}\left(1\right)=6^nP_{n}\left(1\right)+\frac{6^{n+1}}{5}+\frac{4}{5}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 6^{n+1}P_{n+1}\left(1\right)-6^nP_{n}\left(1\right)=\frac{6^{n+1}}{5}+\frac{4}{5}\end{align*}}$
数列{6nPn(1)}の階差を考えると、n≧2のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 6^nP_{n}\left(1\right)&=\sf 6P_{1}\left(1\right)+\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{6^{k+1}}{5}+\frac{4}{5}\right)\\ &=\sf 2+\frac{36}{5}\cdot\frac{6^{n-1}-1}{6-1}+\frac{4}{5}\left(n-1\right)\\ &=\sf \frac{6^{n+1}}{25}+\frac{20n-6}{25}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ P_{n}\left(1\right)=\underline{\sf \frac{6}{25}+\frac{20n-6}{25\cdot 6^n}}\end{align*}}$
（これはn=1のときも成り立つ）
よくあるパターンですが、x=0でCが起こる場合の動きに注意が必要です。
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第８問
以下の問いに答えよ。
(１) x＞0において、不等式logｘ＜xを示せ。
(２) 1＜a＜bのとき、不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\log a}-\frac{1}{\log b}<\frac{b-a}{a\left(\log a\right)^2}\end{align*}}$
(３) x≧eにおいて、不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_e^t\frac{dt}{t\log\left(t+1\right)}\geqq\log\left(\log x\right)+\frac{1}{2\left(\log x\right)^2}-\frac{1}{2}\end{align*}}$
を示せ。ただし、eは自然対数の底である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=x-\log x\ \ \ \left(x>0\right)\end{align*}}$
とおくと、導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=1-\frac{1}{x}\end{align*}}$
となるので、f(x)の増減は次のようになる。
よって、x＞0で常にf(x)＞0となるので、logｘ＜xが成り立つ。
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(x)=\frac{1}{\log x}\ \ \ \left(x>0\right)\end{align*}}$
とおくと、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(x)\end{align*}}$ は1＜xで微分可能なので、平均値の定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{g(b)-g(a)}{b-a}=g\ '(c)\end{align*}}$
となるcがa＜c＜bの範囲に存在する。
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=-\frac{\left(\log x\right)'}{\left(\log x\right)^2}=-\frac{1}{x\left(\log x\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(x)=\frac{\left(\log x\right)^2+x\cdot 2\log x\cdot\frac{1}{x}}{x^2\left(\log x\right)^4}=\frac{\log x+3}{x^2\left(\log x\right)^3}>0\ \ \ \left(\because\ x>1\right)\end{align*}}$
なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(x)\end{align*}}$ は単調に増加する。
よって、a＜cより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{g(b)-g(a)}{b-a}=g\ '(c)>g\ '(a)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ g(b)-g(a)>\left(b-a\right)g\ '(a)\ \ \ \left(\because\ a\lt b\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{\log b}-\frac{1}{\log a}>-\frac{1}{a\left(\log a\right)^2}\cdot\left(b-a\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{\log a}-\frac{1}{\log b}<\frac{b-a}{a\left(\log a\right)^2}\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
(３)
x≧eの範囲において
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h(x)=\int_e^t\frac{dt}{t\log\left(t+1\right)}-\log\left(\log x\right)-\frac{1}{2\left(\log x\right)^2}+\frac{1}{2}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h\ '(x)&=\sf \frac{1}{x\log\left(x+1\right)}-\frac{\left(\log x\right)'}{\log x}-\frac{1}{2}\cdot\left\{-2\left(\log x\right)^{-3}\cdot\left(\log x\right)'\right\} \\ &=\sf -\frac{1}{x}\left\{\frac{1}{\log x}-\frac{1}{\log\left(x+1\right)}\right\}+\frac{1}{x\left(\log x\right)^3}\end{align*}}$
ここで、(２)の不等式において、a=x、b=x+1とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\log x}-\frac{1}{\log\left(x+1\right)}<\frac{\left(x+1\right)-x}{x\left(\log x\right)^2}=\frac{1}{x\left(\log x\right)^2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h\ '(x)&>\sf -\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x\left(\log x\right)^2}+\frac{1}{x\left(\log x\right)^3}\\ &=\sf \frac{x-\log x}{x^2\left(\log x\right)^3}\\ &>0\sf \end{align*}}$ ←x＞1と(１)より
よって、h(x)は単調に増加するので、x≧eのxに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h(x)&\geqq\sf h(e)\\ &=\sf \int_e^e\frac{dt}{t\log\left(t+1\right)}-\log\left(\log e\right)-\frac{1}{2\left(\log e\right)^2}+\frac{1}{2}\\ &=\sf 0-\log 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \\ &=0\end{align*}}$
が成り立つので、不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_e^t\frac{dt}{t\log\left(t+1\right)}\geqq\log\left(\log x\right)+\frac{1}{2\left(\log x\right)^2}-\frac{1}{2}\end{align*}}$
は成り立つ。
うまく作られた問題ですね
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第９問
$\small\sf{\begin{align*} \sf z=\cos\frac{2\pi}{7}+i\sin\frac{2\pi}{7}\end{align*}}$ (iは虚数単位) とおく。
(１) $\small{\sf z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6}$ を求めよ。
(２) $\small\sf{\alpha=z+z^2+z^4}$ とするとき、$\small\sf{\alpha+\overline{\alpha},\ \ \alpha\overline{\alpha}}$ および$\small\sf{\alpha}$ を求めよ。
ただし、$\small\sf{\overline{\alpha}}$ は$\small\sf{\alpha}$ の共役複素数である。
(３) $\small{\sf (1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ド・モアブルの定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z^7=\left(\cos\frac{2\pi}{7}+i\sin\frac{2\pi}{7}\right)^7=\cos 2\pi+i\sin 2\pi=1\end{align*}}$ ・・・・・・(A)
(１)
z≠1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6&=\sf \frac{z\left(z^6-1\right)}{z-1}\\ &=\sf \frac{z^7-z}{z-1}\\ &=\sf \frac{1-z}{z-1}\ \ \ \ \left(\because\ (A)\right)\\ &=\sf \underline{\sf -1}\end{align*}}$
(２)
|z|=1と(A)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|z\right|^2=z\overline{z}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \overline{z}=\frac{1}{z}=\frac{z^7}{z}=z^6\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|z^2\right|^2=z^2\overline{z^2}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \overline{z^2}=\frac{1}{z^2}=\frac{z^7}{z^2}=z^5\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|z^4\right|^2=z^4\overline{z^4}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \overline{z^4}=\frac{1}{z^4}=\frac{z^7}{z^4}=z^3\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overline{\alpha}=\overline{z}+\overline{z^2}+\overline{z^4}=z^6+z^5+z^3\end{align*}}$ ・・・・・・(B)
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha+\overline{\alpha}&=\sf z+z^2+z^4+z^6+z^5+z^3\\ &=\sf \underline{\sf -1}\end{align*}}$ ←(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha\overline{\alpha}&=\sf z^{10}+z^9+z^8+3z^7+z^6+z^5+z^4\\ &=\sf z^3+z^2+z+3+z^6+z^5+z^4\ \ \ \left(\because\ (A)\right)\\ &=\sf \underline{\sf 2}\end{align*}}$ ←(１)より
解と係数の関係より、$\scriptsize\sf{\alpha}$ と$\scriptsize\sf{\alpha}$ は二次方程式x2+x+2=0の2解である。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+x+2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{-1\pm\sqrt7\ i}{2}\end{align*}}$
であり、$\scriptsize\sf{\alpha}$ の虚部は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\frac{2\pi}{7}+\sin\frac{4\pi}{7}+\sin\frac{8\pi}{7}=\sin\frac{2\pi}{7}+\sin\frac{4\pi}{7}-\sin\frac{\pi}{7}>0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha=\underline{\sf \frac{-1+\sqrt7\ i}{2}}\end{align*}}$
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1-z\right)\left(1-z^2\right)\left(1-z^4\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1-z-z^2-z^4+z^3+z^5+z^6-z^7\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1-\left(z+z^2+z^4\right)+\left(z^6+z^5+z^3\right)-1\end{align*}}$ ←(A)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\alpha + \overline{\sf \alpha}\end{align*}}$ ←(B)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1-z^3\right)\left(1-z^5\right)\left(1-z^6\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1-z^3-z^5-z^6+z^8+z^9+z^{11}-z^{14}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1-\left(z^6+z^5+z^3\right)+\left(z+z^2+z^4\right)-1\end{align*}}$ ←(A)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =- \overline{\sf \alpha}+\alpha\end{align*}}$ ←(B)より
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1-z\right)\left(1-z^2\right)\left(1-z^3\right)\left(1-z^4\right)\left(1-z^5\right)\left(1-z^6\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(-\alpha+\overline{\sf \alpha}\right)\left(-\overline{\sf \alpha}+\alpha\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\alpha^2-\overline{\sf \alpha}^2+2\alpha\overline{\sf \alpha}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left(\alpha +\overline{\sf \alpha}\right)^2+4\alpha\overline{\sf \alpha}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left(-1\right)^2+4\cdot 2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\sf 7}\end{align*}}$
(A)、(B)と(１)を駆使しましょう。
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第10問
2点O(0，0)、A(0，2)を直径とする円周からOを除いた部分を点Qが動く。
点Aを通りx軸に平行な直線と直線OQの交点をRとする。点Qを通りx軸と
平行な直線と、点Rを通りy軸と平行な直線との交点をPとする。点Pの軌
跡をCとする。
(１) Cの方程式を求めよ。
(２) 正の実数aに対して、Cとx軸と2直線x=a、x=-aによって囲まれる図形
をx軸の周りに1回転してできる立体の体積をV(a)とする。このとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}V(a)\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
この円はy軸について対称なので、Qのx座標≧0の範囲で考える。
点Pの座標を(X，Y)とおき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \angle AOQ=\theta\ \ \left(0\leqq\frac{\theta}{2}\lt\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{X=AR=AO\tan\theta=2\tan\theta}$
$\scriptsize\sf{\sf OQ=AO\cos\theta=2\cos\theta}$
Y=Qのy座標=$\scriptsize\sf{\sf OQ\cos\theta=2\cos^2\theta}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+\left(\frac{X}{2}\right)^2=\frac{2}{Y}\ \ \Leftrightarrow\ \ Y=\frac{8}{4+x^2}\end{align*}}$
これは、Qのx座標≦0のときも成り立つので、
Cの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf y=\frac{8}{4+x^2}}\end{align*}}$
(２)
Cはx軸の上側にあり、さらにy軸について対称なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V(a)=2\pi\int_0^ay^2dx\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=2\tan\theta\ \ ,\ \ y=2\cos^2\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{d\theta}=\frac{2}{\cos^2\theta}\end{align*}}$
と置換し、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2\tan\theta=a\ \ \left(0\leqq\theta\lt \frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$ となる$\scriptsize\sf{\theta}$ の値を$\scriptsize\sf{\alpha}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V(a)&=\sf 2\pi\int_0^{\alpha}\left(2\cos^2\theta\right)^2\cdot\frac{2d\theta}{\cos^2\theta}\\ &=\sf 8\pi\int_0^{\alpha} 2\cos^2\theta d\theta\\ &=\sf 8\pi\int_0^{\alpha}\left(1+\cos 2\theta\right)d\theta\\ &=\sf 8\pi\left[\theta+\frac{1}{2}\sin 2\theta\right]_0^{\alpha}\\ &=\sf 4\pi\left(2\alpha+\sin 2\alpha\right)\end{align*}}$
a→+∞のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha\ \rightarrow\ \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}V(a)=\lim_{\alpha\rightarrow\frac{\pi}{2}}4\pi\left(2\alpha+\sin 2\alpha\right)=\underline{\sf 4\pi^2}\end{align*}}$
これは珍しくストレートな問題ですね。
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