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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2016千葉大 数学1



第1問

  1個のさいころを2回投げ、最初に出た目をa、2回目に出た目をbとする。
  2次方程式x2-ax+b=0について、次の問いに答えよ。

 (1) 実数解は存在すれば正であることを示せ。

 (2) 実数解の個数が1となる確率を求めよ。

 (3) 実数解の個数が2となる確率を求めよ。




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2016千葉大 数学2



第2問

  座標平面上に5点O(0,0)、A(5,0)、B(0,11)、P(m,0)、Q(0,n)
  をとる。ただし、mとnは1≦m≦5、1≦n≦11を満たす整数とする。

 (1) 三角形OABの内部に含まれる格子点の個数を求めよ。ただし、
    格子点とはx座標とy座標がともに整数である点のことであり、
    内部には返上の点は含まれない。

 (2) 三角形OPQの内部に含まれる格子点の個数が三角形OABの内部
    に含まれる格子点の個数の半分になるような組(m,n)をすべて求めよ。




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2016千葉大 数学3



第3問

  座標平面上に5点A(0,0)、B(0,1)、C(1,1)、D(1,0)、$\small\sf{\begin{align*} \sf E\left(0, \frac{2}{3}\right)\end{align*}}$
  がある。点Eと点P1(s,1) (0<s<1)を通る直線をL1とする。直線
  y=1に関してL1と対称な直線をL2とし、L2と直線x=1の交点をP2
  する。さらに、直線x=1に関してL2と対称な直線L3はx軸と線分AD上
  で交わるとし、その交点をP3とする。

 (1) 直線L2が点Dを通るときのsの値を求めよ。

 (2) 線分DP3の長さをsを用いて表せ。

 (3) EP1+P1P2+P2P3の最大値と最小値を求めよ。
         


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2016千葉大 数学4



第4問

  $\small\sf{\begin{align*} \sf -\sqrt2\leqq x\leqq\sqrt2\end{align*}}$ の範囲で、点Pは放物線y=-x2+2上を動き、点Qは
  放物線y=x2-2上を動く。ただし、PとQは異なる点とする。

 (1) 直線PQが原点を通るとき、線分PQの長さの最大値と最小値を
    求めよ。

 (2) 線分PQの長さの最大値を求めよ。




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2016千葉大 数学5



第5問

  座標平面上にすべての内角が180°未満の四角形ABCDがある。
  原点をOとし、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf c}\ ,\ \overrightarrow{\sf OD}=\overrightarrow{\sf d}\end{align*}}$
  とおく。kは0≦k≦1を満たす定数とする。0以上の実数s、t、uが
  k+s+t+u=1を満たしながら変わるとき、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=k\overrightarrow{\sf a}+s\overrightarrow{\sf b}+t\overrightarrow{\sf c}+u\overrightarrow{\sf d}\end{align*}}$
  で定められる点Pの存在範囲をE(k)とする。

 (1) E(0)およびE(1)を求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf E\left(\frac{1}{3}\right)\end{align*}}$ を求めよ。

 (3) 対角線AC、BDの交点をMとする。どのE(K) $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{3}\leqq k\leqq\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$ にも
    属するような点Pを考える。このような点Pが存在するための必要
    十分条件を、線分AC、AMの長さを用いて答えよ。




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2016千葉大 数学6



第6問

  aは0<a<2を満たす整数とする。0≦t≦1を満たす実数tに対して、
  座標平面上の4点A(t,0)、B(2,t2)、C(2-t,2)、D(0,2-at)
  を考える。このとき、四角形ABCDの面積S(t)が最小となるようなtの
  値を求めよ。




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2016千葉大 数学7



第7問

  数直線上の点Qは、はじめ原点x=0にあり、さいころを投げるたびに
  以下のルールに従って移動する。Qがx=aにあるとき、
   ・出た目が1ならばx=aにとどまる。
   ・出た目が2、3ならばx=a+1へ動く。
   ・出た目が4、5、6ならばx=0に戻る(a=0ならば動かない)。

 (1) 整数a≧0に対して、さいころを3回投げたとき、Qがx=aにある確率
    を求めよ。

 (2) さいころをn回投げたとき、Qがx=0にある確率を求めよ。

 (3) さいころをn回投げたとき、Qがx=1にある確率を求めよ。




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2016千葉大 数学8



第8問

  以下の問いに答えよ。

 (1) x>0において、不等式logx<xを示せ。

 (2) 1<a<bのとき、不等式
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\log a}-\frac{1}{\log b}<\frac{b-a}{a\left(\log a\right)^2}\end{align*}}$

 (3) x≧eにおいて、不等式
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_e^t\frac{dt}{t\log\left(t+1\right)}\geqq\log\left(\log x\right)+\frac{1}{2\left(\log x\right)^2}-\frac{1}{2}\end{align*}}$
    を示せ。ただし、eは自然対数の底である。




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2016千葉大 数学9



第9問

  $\small\sf{\begin{align*} \sf z=\cos\frac{2\pi}{7}+i\sin\frac{2\pi}{7}\end{align*}}$ (iは虚数単位) とおく。

 (1) $\small{\sf z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6}$ を求めよ。

 (2) $\small\sf{\alpha=z+z^2+z^4}$ とするとき、$\small\sf{\alpha+\overline{\alpha},\ \ \alpha\overline{\alpha}}$ および$\small\sf{\alpha}$ を求めよ。
    ただし、$\small\sf{\overline{\alpha}}$ は$\small\sf{\alpha}$ の共役複素数である。

 (3) $\small{\sf (1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)}$ を求めよ。



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2016千葉大 数学10



第10問

  2点O(0,0)、A(0,2)を直径とする円周からOを除いた部分を点Qが動く。
  点Aを通りx軸に平行な直線と直線OQの交点をRとする。点Qを通りx軸と
  平行な直線と、点Rを通りy軸と平行な直線との交点をPとする。点Pの軌
  跡をCとする。

 (1) Cの方程式を求めよ。

 (2) 正の実数aに対して、Cとx軸と2直線x=a、x=-aによって囲まれる図形
    をx軸の周りに1回転してできる立体の体積をV(a)とする。このとき、
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}V(a)\end{align*}}$ を求めよ。



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