第１問
6・33x+1=7・52xを満たす0以上の整数xをすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
6・33x+1=7・52x ・・・・・・(#)
x=0のとき
(#)は、左辺=右辺=7 となり成り立つ。
x=1のとき
(#)は、左辺=163、右辺=175 となり成り立たない。
x=2のとき
(#)は、左辺=右辺=4375 となり成り立つ。
x≧3のときは
6・33x+1＞7・52x ・・・・・・(A)
となることを数学的帰納法で示す。
(ⅰ) x=3のとき
左辺=118099、右辺=109375 なので(A)は成り立つ。
(ⅱ) x=k （≧3）のとき、(A)が成り立つと仮定すると、
6・33k+1＞7・52k
x=k+1のとき、
6・33(k+1)+1-7・52(k+1)
=27・6・33k+1-25・7・52k
＞27(7・52k-1)+1-25・7・52k
=14・52k-26
≧14・56-26 (∵ k≧3)
＞0
となり、(A)は成り立つ。
よって、3以上の整数xに対しては、常に
6・33x+1＞7・52x
となるので、(#)は成り立たない。
以上より、題意を満たす整数はx=0、x=2である。
毎年恒例の整数問題です。
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第２問
$\small\sf{\theta}$ を実数とし、数列{an}を
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=1\ \ ,\ \ a_2=\cos\theta\ \ ,\ \ a_{n+2}=\frac{3}{2}\ a_{n+1}-a_n\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
により定める。すべてのnについて $\small\sf{\begin{align*} \sf a_n=\cos\left(n-1\right)\theta\end{align*}}$ が成り立つとき、
cos$\small\sf{\theta}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
与えられた漸化式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+2}=\frac{3}{2}\ a_{n+1}-a_n\end{align*}}$ ・・・・・・(A)
に $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\cos\left(n-1\right)\theta\end{align*}}$ ・・・・・・(B) を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\left(n+1\right)\theta=\frac{3}{2}\cos n\theta-\cos\left(n-1\right)\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos n\theta\cos\theta-\sin n\theta\sin\theta=\frac{3}{2}\cos\theta-\left(\cos n\theta\cos\theta+\sin n\theta\sin\theta\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4\cos n\theta\cos\theta-3\cos\theta=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(4\cos n\theta-3\right)\cos\theta=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos n\theta=\frac{3}{4}\ \ or\ \ \cos\theta=0\end{align*}}$
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta=0\end{align*}}$ とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (A)\ \ \Rightarrow\ \ a_3=\frac{3}{2}a_2-a_1=\frac{3}{2}\cos \theta-1=-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (B)\ \ \Rightarrow\ \ a_3=\cos 2\theta=2\cos^2\theta-\cos\theta=0\end{align*}}$
となり矛盾する。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos n\theta=\frac{3}{4}\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \cos\theta=\frac{3}{4}}\end{align*}}$
さほど難しくありません。
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第３問
硬貨が2枚ある。最初は2枚とも表の状態で置かれている。次の操作を
n回行ったあと、硬貨が2枚とも裏になっている確率を求めよ。
[操作] 2枚とも表、または2枚とも裏のときには、2枚の硬貨両方を投げる。
表と裏が1枚ずつのときには、表になっている硬貨だけを投げる。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
状態A・・・2枚ともが裏の状態
状態B・・・2枚ともが表の状態
状態C・・・表と裏が1枚ずつの状態
とおく。
・Aの状態で操作を1回行うと、
1/4の確率で状態Aに、1/4の確率でBに、1/2の確率でCになる。
・Bの状態で操作を1回行うと、
1/4の確率でAに、1/4の確率でBに、1/2の確率でCになる。
・Cの状態で操作を1回行うと、
1/2の確率でAに、1/2の確率でCになる。
よって、操作をn回行った後に状態A、B、Cである確率をそれぞれ
an、bn、cnとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_1=b_1=\frac{1}{4}\ \ ,\ \ c_1=\frac{1}{2}\ \ \ \ldots\ldots\ldots(i)\end{align*}}$
また、n=1，2，3，・・・に対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n+b_n+c_n=1\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+b_n+c_n\right)=\frac{1}{2}\ \ \ \ldots\ldots\ldots(ii)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{n+1}&=\sf \frac{1}{4}\left(a_n+b_n\right)+\frac{1}{2}c_n\\ &=\sf \frac{1}{4}\left(1-c_n\right)+\frac{1}{2}c_n\\ &=\sf \frac{1}{4}+\frac{1}{4}c_n\\ &=\sf \frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}\ \ \ \ \left(\because\ (i),(ii)\right)\\ &=\sf \frac{3}{8}\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf a_1=\frac{1}{4}\ \ ,\ \ a_n=\frac{3}{8}\ \left(n\geqq 2\right)}\end{align*}}$
n=1のときは場合分けが必要です。
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第４問
aを実数とし、f(x)=x3-3axとする。-1≦x≦1における|f(x)|の
最大値をMとする。Mの最小値とそのときのaの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x^3-3ax=x\left(x^2-3a\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=3x^2-3a=3\left(x^2-a\right)\end{align*}}$
まず、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\ f\left(-x\right)\right|&=\sf \left|\left(-x\right)^3-3a\cdot\left(-x\right)\right|\\ &=\sf \left|-\left(x^3-3ax\right)\right|\\ &=\sf \left|x^3-3ax\right|\\ &=\sf \left|\ f(x)\right|\end{align*}}$
なので、関数y=|f(x)|のグラフはy軸について対称である。
よって、以下は0≦x≦1の範囲で考える。
(Ⅰ) a≦0のとき
0≦x≦1で常にf’(x)≧0なので、f(x)は単調に増加し、
f(x)≧0より、|f(x)|の最大値Mは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M=\left|f(1)\right|=1-3a\ \ ,\ \ \frac{dM}{da}=-3\ <0\end{align*}}$
(Ⅱ) 0＜aのとき
f(x)の増減およびy=f(x)の概形は次のようになる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|f(x)\right|=\left\{\begin{matrix}\sf -x^3+3ax& \left (\sf 0\leqq x\leqq\sqrt{3a} \right )\\ \sf x^3-3ax& \left (\sf \sqrt{3a}\leqq x \right )\end{matrix}\right.\end{align*}}$
であり、y=|f(x)|のグラフの概形は次のようになる。
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\left|f\left(\sqrt{a}\right)\right|&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x^3-3ax+2a\sqrt{a}=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(x+\sqrt{a}\right)^2\left(x-2\sqrt{a}\right)=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x=2\sqrt{a}\ \ (>0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (i)\ 0\lt a<\frac{1}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ 2\sqrt{a}<1\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M=\left|f(1)\right|=1-3a\ \ ,\ \ \frac{dM}{da}=-3\ <0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ \frac{1}{4}\leqq a\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ \sqrt{a}\leqq 1\leqq 2\sqrt{a}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M=\left|f(a)\right|=-a^3+3a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dM}{da}=-3a^2+6a=-3a\left(a-2\right)>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (iii)\ 1\lt a\ \ \Leftrightarrow\ \ 1<\sqrt{a}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M=\left|f(1)\right|=3a-1\ \ ,\ \ \frac{dM}{da}=3\ >0\end{align*}}$
(Ⅰ)と(Ⅱ)の(ⅰ)～(ⅲ)より、Mの増減は次のようになる。
よって、Mの最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf M_{min}=\frac{1}{4}\ \ \ \left(a=\frac{1}{4}\right)}\end{align*}}$
細かい場合分けが面倒です。
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第５問[Ⅰ]
平面上の2つのベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ は零ベクトルではなく、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ のなす
角度は60°である。このとき
$\small\sf{\begin{align*} \sf r=\frac{\left|\overrightarrow{\sf a}+2\overrightarrow{\sf b}\right|}{\left|2\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}\right|}\end{align*}}$
のとりうる値の範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=\left|\overrightarrow{\sf a}\right|\left|\overrightarrow{\sf b}\right|\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{\sf a}\right|\left|\overrightarrow{\sf b}\right|\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r^2= \frac{\left|\overrightarrow{\sf a}+2\overrightarrow{\sf b}\right|^2}{\left|2\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}\right|^2}=\sf \frac{\left|\overrightarrow{\sf a }\right|^2+2\left|\overrightarrow{\sf a }\right|\left|\overrightarrow{\sf b }\right|+4\left|\overrightarrow{\sf b }\right|^2}{4\left|\overrightarrow{\sf a }\right|^2+2\left|\overrightarrow{\sf a }\right|\left|\overrightarrow{\sf b }\right|+\left|\overrightarrow{\sf b }\right|^2} \end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{\left|\overrightarrow{\sf b}\right|}{\left|\overrightarrow{\sf a}\right|}\ (>0)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r^2=\frac{1+2\cdot\frac{\left|\overrightarrow{\sf b}\right|}{\left|\overrightarrow{\sf a}\right|}+4\cdot\frac{\left|\overrightarrow{\sf b}\right|^2}{\left|\overrightarrow{\sf a}\right|^2}}{4+2\cdot\frac{\left|\overrightarrow{\sf b}\right|}{\left|\overrightarrow{\sf a}\right|}+\frac{\left|\overrightarrow{\sf b}\right|^2}{\left|\overrightarrow{\sf a}\right|^2}}=\frac{4x^2+2x+1}{x^2+2x+4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x^2+2x+4\right)r^2=4x^2+2x+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(r^2-4\right)x^2+2\left(r^2-1\right)x+4r^2-1=0\end{align*}}$ ・・・・・・(A)
と変形でき、xについての方程式(A)がｘ＞0の実数解をもつような
r（＞0）の範囲を求めればよい。
(Ⅰ) r2=4のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (A)\ \ \Leftrightarrow\ \ 6x+15=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=-\frac{5}{2}<0\end{align*}}$
となり不適。
(Ⅱ) r2≠4のとき
まず(A)の判別式を考えると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D/4&=\sf \left(r^2-1\right)^2-\left(r^2-4\right)\left(4r^2-1\right)\\ &=\sf -3r^4+15r^2-3\\ &=\sf -3\left(r^4-5r^2+1\right)\geqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{5-\sqrt{21}}{2}\leqq r^2\leqq\frac{5+\sqrt{21}}{2}\end{align*}}$ ・・・・・・(B)
rが(B)を満たすとき(A)は2つの実数解をもつ。
それらをp、q（p≦q）とおくと、q＞0となればよい。
まず、解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p+q=-\frac{2\left(r^2-1\right)}{r^2-4}\ \ ,\ \ pq=\frac{4r^2-1}{r^2-4}\end{align*}}$ ・・・・・・(C)
(ⅰ) p=0のとき
(C)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r^2=\frac{1}{4}\ \ ,\ \ q=-\frac{2}{5}<0\end{align*}}$
となり不適
(ⅱ) p＜0のとき
q＞0なので、(C)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf pq=\frac{4r^2-1}{r^2-4}<0\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(4r^2-1\right)\left(r^2-4\right)<0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{4}\lt r^2<4\end{align*}}$
これは(B)を満たす
(ⅲ) p＞0のとき
q＞0なので、(C)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p+q=-\frac{2\left(r^2-1\right)}{r^2-4}>0\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(r^2-1\right)\left(r^2-4\right)<0\ \ \Leftrightarrow\ \ 1\lt r^2<4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf pq=\frac{4r^2-1}{r^2-4}>0\ \ \Leftrightarrow\ \ (0<)\ r^2<\frac{1}{4}\ ,\ 4\lt r^2\end{align*}}$
これらを同時に満たすrは存在しない。
(Ⅰ)および(Ⅱ)の(ⅰ)～(ⅲ)より、正数rの取りうる値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\lt r^2<4\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf \frac{1}{2}\lt r<2}\end{align*}}$
第５問の[１]と[２]は選択問題です。
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第５問[Ⅱ]
xは0以上の整数である。次の表は2つの科目XとYの試験を受けた
5人の得点をまとめたものである。
(１) 2n個の実数a1、a2、・・・、an、b1、b2、・・・、bnについて、
$\small\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^na_k\ ,\ b=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nb_k\end{align*}}$ とすると、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\left(a_k-a\right)\left(b_k-b\right)=\sum_{k=1}^na_kb_k-nab\end{align*}}$
が成り立つことを示せ。
(２) 科目Xの得点と科目Yの得点の相関係数rXYをxで表せ。
(３) xの値を2増やしてrXYを計算しても値は同じであった。このとき、
rXYの値を四捨五入して小数第1位まで求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^n\left(a_k-a\right)\left(b_k-b\right)&=\sf \sum_{k=1}^n\left(a_kb_k-ab_k-ba_k+ab\right)\\ &=\sf \sum_{k=1}^na_kb_k-a\sum_{k=1}^nb_k-b\sum_{k=1}^na_k+nab\\ &=\sf \sum_{k=1}^na_kb_k-a\cdot nb-b\cdot na+nab\\ &=\sf \sum_{k=1}^na_kb_k-nab\end{align*}}$
(２)
科目XおよびYの得点の平均をそれぞれa、bとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{x+6+4+7+4}{5}=\frac{x+21}{5}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=\frac{9+7+5+10+9}{5}=8\end{align*}}$
X、Yの得点のそれぞれの分散および共分散は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s_X^{\ 2}=\frac{x^2+6^2+4^2+7^2+4^2}{5}-\left(\frac{x+21}{5}\right)^2=\frac{4x^2-42x+144}{25}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s_Y^{\ 2}=\frac{9^2+7^2+5^2+10^2+9^2}{5}-8^2=\frac{16}{5}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s_{XY}=\sf \frac{1}{5}\left\{\left(x\cdot 9+6\cdot 7+4\cdot 5+7\cdot 10+4\cdot 9\right)-5\cdot\frac{x+21}{5}\cdot 8\right\}=\frac{x}{5} \end{align*}}$
よって、相関係数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r_{XY}=\frac{\frac{x}{5}}{\sqrt{\frac{4x^2-42x+144}{25}}\cdot\sqrt{\frac{16}{5}}}=\underline{\sf \frac{\sqrt5\ x}{4\sqrt{4x^2-42x+144}}}\end{align*}}$
(３)
xの値を2増やしたときの相関係数をRXYとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf R_{XY}&=\sf \frac{\sqrt5\ \left(x+2\right)}{4\sqrt{4\left(x+2\right)^2-42\left(x+2\right)+144}}\\ &=\sf \frac{\sqrt5\ \left(x+2\right)}{4\sqrt{4x^2-26ｘ+76}}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r_{XY}=R_{XY}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{\sqrt5\ x}{4\sqrt{4x^2-42x+144}}=\frac{\sqrt5\ \left(x+2\right)}{4\sqrt{4x^2-26ｘ+76}}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x^2\left(4x^2-26x+76\right)=\left(x+2\right)^2\left(4x^2-42x+144\right)\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 7x^2-34x-48=\left(7x+8\right)\left(x-6\right)=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x=6\ (\geqq 0) \end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r_{XY}=\frac{6\sqrt5}{4\sqrt{4\cdot 6^2-42\cdot 6+144}}=\frac{\sqrt5}{4}\ \fallingdotseq\underline{\sf 0.6}\end{align*}}$
第５問の[１]と[２]は選択問題です。
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