第１問
自然数nに対して、nのすべての正の約数（1とnを含む）の和をS(n)と
おく。例えば、S(9)=1+3+9=13である。このとき以下の各問いに答え
よ。
(１) nが異なる素数pとqによってn=p2qと表されるとき、S(n)=2nを満た
すnをすべて求めよ。
(２) aを自然数とする。n=2a-1がS(n)n+1を満たすとき、aは素数である
ことを示せ。
(３) aを2以上の自然数とする。n=2a-1(2a-1)がS(n)≦2nを満たすとき、
nの1の位は6か8であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
S(n)=2n ⇔ (1+p+p2)(1+q)=2p2q
であり、
1+p+p2=1+p(p+1)
と変形できるので、1+p+p2（＞p2）は奇数である。
よって、1+qは偶数になるので、1+p+p2と1+qの組は
(1+p+p2，1+q)=(pq，2p)、(q，2p2)
の2つの場合が考えられる。
・(pq，2p)のとき、qを消去すると
1+p+p2=p(2p-1) ⇔ p2-2p-1=0
となるので、これをみたす素数pは存在しない。
・(q，2p2)のとき、qを消去すると
1+p+p2=2p2-1 ⇔ p2-p-2=0
⇔ p=-1，2
よって、p=2、q=7となるので、
n=22・7=28
(２)
S(n)=n+1より、nは素数である。
aが合成数a=bc (b≠1、c≠1）であると仮定すると、
n=2bc-1
=(2b)c-1c
=(2b-1)(1+2b+22b+・・・+2bc)
となり、nが素数であることに矛盾する。
よって、aは素数である。
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S(n)&\geqq \sf \left(1+2+2^2+\ldots +2^{a-1}\right)\left\{1+\left(2^a-1\right)\right\}\\ &=\sf \frac{2^a-1}{2-1}\cdot 2^a\\ &=\sf 2\cdot 2^{a-1}\left(2^a-1\right)\\ &=\sf 2n\end{align*}}$ ・・・・・・(#)
このことと、S(n)≦2nより、S(n)=2nである。
（#)の等号が成立するのは、2a-１が素数のときなので、
(２)より、aは素数である。
・a=2のとき
n=2・(22-1)=6
・a=3のとき
n=22・(23-1)=28
・a＞3のとき、aは素数なので、自然数mを用いて
a=4m+1 または a=4m+3 と表せる。
以下、mod10の合同式を考えると、
a=4m+1のとき
n≡24m(24m+1-1)
≡16m・(2・16m-1)
≡6m・(2・6m-1)
≡6・(2・6-1) （∵ 62≡6）
≡66
≡6
a=4m+3のとき
n≡24m+2(24m+3-1)
≡4・16m・(8・16m-1)
≡4・6・(8・6-1) （∵ 62≡6）
≡24・47
≡8
以上より、題意は示された。
(１)は「完全数」、(２)は「メルセンヌ数」の話です。
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第２問
xyz空間において連立不等式
|x|≦1、 |y|≦1、 |z|≦1
の表す領域をQとし、正の実数rに対して、x2+y2+z2≦r2の表す領域を
Sとする。また、QとSのいずれか一方のみに含まれる点全体がなす領域
をRとし、Rの体積をV(r)とする。さらに
x≧1の表す領域をSの共通部分をSx
y≧1の表す領域をSの共通部分をSy
z≧1の表す領域をSの共通部分をSz
とし、
Sx≠∅を満たすrの最小値をr1
Sx∩Sy≠∅を満たすrの最小値をr2
Sx∩Sy∩Sz≠∅を満たすrの最小値をr3
とする。ただし、∅は空集合を表す。このとき、以下の各問いに答えよ。
(１) r=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt{10}}{3}\end{align*}}$ のとき、Rのxy平面により断面を図示せよ。
(２) r1、r2、r3および、V(r1)、V(r3)を求めよ。
(３) r≧r1のとき、Sxの体積をrを用いて表せ。
(４) 0＜r≦r2において、V(r)が最小となるrの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
S、Qの体積をそれぞれVS、VQとおく。
(１)
Qのxy平面による断面は、連立不等式
|x|≦1、 |y|≦1で
表される正方形の周および内部である。
一方、Sのxy平面による断面は、原点中心、
半径 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt{10}}{3}\end{align*}}$ の円の周および内部である。
QとSのいずれか一方のみに含まれる点全体が
なす領域がRなので、Rのxy平面による断面は
右図のようになる。
(２)
領域Sxに含まれる点をP(X，Y，Z)とおくと、X≧1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OP^2=X^2+Y^2+Z^2\geqq 1^1+0^2+0^2=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf r_1=1}\end{align*}}$
このとき、球Sが立方体Qに内接するので、Rの体積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V(r_1)=V_Q-V_S=2^3-\frac{4}{3}\pi\cdot 1^3=\underline{\sf 8-\frac{4}{3}\pi}\end{align*}}$
領域Sx∩Syに含まれる点をP(X，Y，Z)とおくと、X≧1かつY≧1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OP^2=X^2+Y^2+Z^2\geqq 1^1+1^2+0^2=2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf r_2=\sqrt2}\end{align*}}$
領域Sx∩Sy∩Szに含まれる点をP(X，Y，Z)とおくと、
X≧1かつY≧1かつZ≧1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OP^2=X^2+Y^2+Z^2\geqq 1^1+1^2+1^2=3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf r_3=\sqrt3}\end{align*}}$
このとき、立方体Qが球Sに内接するので、Rの体積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V(r_1)=V_S-V_Q=\frac{4}{3}\pi\cdot \left(\sqrt3\right)^3-2^3=\underline{\sf 4\sqrt3\ \pi-8}\end{align*}}$
(３)
S1は、右図の水色部分をx軸の周りに1回転させてできる
回転体なので、その体積をVxとおくと
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V_x&=\sf \pi\int_1^ry^2dx\\ &=\sf \pi\int_1^r\left(r^2-x^2\right)^2dx\\ &=\sf \pi\bigg[r^2x-\frac{x^3}{3}\bigg]_1^r\\ &=\sf \underline{\sf \frac{\pi}{3}\left(2r^3-3r^2+1\right)}\end{align*}}$
(４)
0＜r＜r1のとき
S⊂Qなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V(r)=V_Q-V_S=8-\frac{4}{3}\pi r^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V'(r)=-4\pi r^2<0\end{align*}}$
この範囲でV(r)は単調に減少するので、最小値なし
r1≦r≦r2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V(r)&=\sf V_Q-\left(V_S-6V_x\right)+6V_x\\ &=\sf V_Q-V_S+12V_x\\ &=\sf 8-\frac{4}{3}\pi r^3+12\cdot\frac{\pi}{3}\left(2r^3-3r^2+1\right)\\ &=\sf \frac{\pi}{3}\left(20r^3-36r^2+12\right)+8\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V'(r)=\pi\left(20r^2-24r\right)=4\pi r\left(5r-6\right)\end{align*}}$
なので、V(r)の増減は次のようになる。
よって、V(r)が最小になるときのrの値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf r=\frac{6}{5}}\end{align*}}$
である。
図が頭の中でイメージできさえすれば、あとはさほど難しくありません。
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第３問
関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\langle\langle x\rangle\rangle -2\langle\langle x-1\rangle\rangle +\langle\langle x-2\rangle\rangle\end{align*}}$
を考える。ここで、実数uに対して
$\small\sf{\begin{align*} \sf \langle\langle u\rangle\rangle =\frac{u+|u|}{2}\end{align*}}$
とする。このとき以下の各問いに答えよ。
(１) f(x)のグラフをかけ。
(２) $\small\sf{\begin{align*} \sf g(x)=\int_0^1f\left(x-t\right)dt\end{align*}}$ とおくとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf g(x)\end{align*}}$ の最大値を求めよ。
(３) (２)の$\small\sf{\begin{align*} \sf g(x)\end{align*}}$ に対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf p(s)=\int_0^3\left(x-s\right)^2g(x)dx\end{align*}}$ とおくとき、
p(s)の最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \langle\langle u\rangle\rangle =\frac{u+|u|}{2}=\left\{\begin{matrix}\sf 0 & \left(\sf u\leqq 0\right)\\ \sf u & \left(\sf u>0\right)\end{matrix}\right.\end{align*}}$
なので、
(Ⅰ) x≦0のとき
f(x)=0+0+0=0
(Ⅱ) 0＜x≦1のとき
f(x)=x+0+0=x
(Ⅲ) 1＜x≦2のとき
f(x)=x-2(x-1)+0=-x+2
(Ⅳ) 2＜xのとき
f(x)=x-2(x-1)+(x-2)=0
これを図示すると、右図のようになる。
(２)
w=x-tと置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dw}{dt}=-1\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g(x)&=\sf \int_0^1f\left(x-t\right)dt\\ &=\sf \int_x^{x-1}f(w)\cdot\left(-dw\right)\\ &=\sf \int_{x-1}^xf(w)dw\end{align*}}$
(ⅰ) x≦0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(x)=\int_{x-1}^x0\cdot dw=0\end{align*}}$
(ⅱ) 0＜x＜1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(x)=\int_0^xwdw=\frac{x^2}{2}\end{align*}}$
この範囲で単調に増加するので、最大値なし
(ⅲ) 1≦x≦2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g(x)&=\sf \int_{x-1}^1wdw+\int_1^x\left(-w+2\right)dw\\ &=\sf -x^2+3x-\frac{3}{2}\\ &=\sf -\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\end{align*}}$
(ⅳ) 2＜x＜3のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(x)=\int_{x-1}^2\left(-w+2\right)dw=\frac{x^2}{2}-3x+\frac{9}{2}\end{align*}}$
この範囲で単調に減少するので、最大値なし
(ⅴ) 3≦xのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(x)=\int_{x-1}^x0\cdot dw=0\end{align*}}$
以上より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(x)\end{align*}}$ の最大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(x)_{max}=g\left(\frac{3}{2}\right)=\underline{\sf \frac{3}{4}}\end{align*}}$
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p(s)&=\sf \int_0^3\left(x-s\right)^2g(x)dx\\ &=\sf \int_0^3\left(s^2-2sx+x^2\right)g(x)dx\\ &=\sf s^2\int_0^3g(x)dx-2s\int_0^3xg(x)dx+\int_0^3x^2g(x)dx\end{align*}}$
ここで、(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^3g(x)dx&=\sf \int_0^1\frac{x^2}{2}dx+\int_1^2\left(-x^2+3x-\frac{3}{2}\right)dx+\int_2^3\left(\frac{x^2}{2}-3x+\frac{9}{2}\right)dx\\ &=\sf \bigg[\frac{x^3}{6}\bigg]_0^1+\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{3}{2}x^2-\frac{3}{2}x\right]_1^2+\left[\frac{x^3}{6}-\frac{3}{2}x^2+\frac{9}{2}x\right]_2^3\\ &=\sf 1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^3xg(x)dx&=\sf \int_0^1\frac{x^3}{2}dx+\int_1^2\left(-x^3+3x^2-\frac{3}{2}x\right)dx+\int_2^3\left(\frac{x^3}{2}-3x^2+\frac{9}{2}x\right)dx\\ &=\sf \bigg[\frac{x^4}{8}\bigg]_0^1+\left[-\frac{x^4}{4}+x^3-\frac{3}{4}x^2\right]_1^2+\left[\frac{x^4}{8}-x^3+\frac{9}{4}x^2\right]_2^3\\ &=\sf \frac{3}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^3x^2g(x)dx&=\sf \int_0^1\frac{x^4}{2}dx+\int_1^2\left(-x^4+3x^3-\frac{3}{2}x^2\right)dx+\int_2^3\left(\frac{x^4}{2}-3x^3+\frac{9}{2}x^2\right)dx\\ &=\sf \bigg[\frac{x^5}{10}\bigg]_0^1+\left[-\frac{x^5}{5}+\frac{3}{4}x^4-\frac{x^3}{2}\right]_1^2+\left[\frac{x^5}{10}-\frac{3}{4}x^4+\frac{3}{2}x^3\right]_2^3\\ &=\sf \frac{5}{2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p(s)&=\sf s^2-3s+\frac{5}{2}\\ &=\sf \left(s-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\end{align*}}$
よって、p(s)の最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p(s)_{min}=p\left(\frac{3}{2}\right)=\underline{\sf \frac{1}{4}}\end{align*}}$
最後の計算が面倒ですが、考え方は難しくありません
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