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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2016東京医科歯科大 数学1



第1問

  自然数nに対して、nのすべての正の約数(1とnを含む)の和をS(n)と
  おく。例えば、S(9)=1+3+9=13である。このとき以下の各問いに答え
  よ。

 (1) nが異なる素数pとqによってn=p2qと表されるとき、S(n)=2nを満た
    すnをすべて求めよ。

 (2) aを自然数とする。n=2a-1がS(n)n+1を満たすとき、aは素数である
    ことを示せ。

 (3) aを2以上の自然数とする。n=2a-1(2a-1)がS(n)≦2nを満たすとき、
    nの1の位は6か8であることを示せ。



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  1. 2018/11/16(金) 01:16:00|
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2016東京医科歯科大 数学2



第2問

  xyz空間において連立不等式
       |x|≦1、 |y|≦1、 |z|≦1
  の表す領域をQとし、正の実数rに対して、x2+y2+z2≦r2の表す領域を
  Sとする。また、QとSのいずれか一方のみに含まれる点全体がなす領域
  をRとし、Rの体積をV(r)とする。さらに
      x≧1の表す領域をSの共通部分をSx
      y≧1の表す領域をSの共通部分をSy
      z≧1の表す領域をSの共通部分をSz
  とし、
      Sx≠∅を満たすrの最小値をr1
      Sx∩Sy≠∅を満たすrの最小値をr2
      Sx∩Sy∩Sz≠∅を満たすrの最小値をr3
  とする。ただし、∅は空集合を表す。このとき、以下の各問いに答えよ。

 (1) r=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt{10}}{3}\end{align*}}$ のとき、Rのxy平面により断面を図示せよ。

 (2) r1、r2、r3および、V(r1)、V(r3)を求めよ。

 (3) r≧r1のとき、Sxの体積をrを用いて表せ。

 (4) 0<r≦r2において、V(r)が最小となるrの値を求めよ。





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2016東京医科歯科大 数学3



第3問

  関数
         $\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\langle\langle x\rangle\rangle -2\langle\langle x-1\rangle\rangle +\langle\langle x-2\rangle\rangle\end{align*}}$
  を考える。ここで、実数uに対して
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \langle\langle u\rangle\rangle =\frac{u+|u|}{2}\end{align*}}$
  とする。このとき以下の各問いに答えよ。

 (1) f(x)のグラフをかけ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf g(x)=\int_0^1f\left(x-t\right)dt\end{align*}}$ とおくとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf g(x)\end{align*}}$ の最大値を求めよ。

 (3) (2)の$\small\sf{\begin{align*} \sf g(x)\end{align*}}$ に対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf p(s)=\int_0^3\left(x-s\right)^2g(x)dx\end{align*}}$ とおくとき、
    p(s)の最小値を求めよ。



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