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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2016東京工業大 数学1



第1問

  aを正の定数とし、放物線 $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{x^2}{4}\end{align*}}$ をC1とする。

 (1) 点PがC1上を動くとき、Pと点Q$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(2a,\frac{a^2}{4}-2\right)\end{align*}}$ の距離の最小値を求めよ。

 (2) Qを中心とする円
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(x-2a\right)^2+\left(y-\frac{a^2}{4}+2\right)^2=2a^2\end{align*}}$
    をC2とする。PがC1上を動き、点RがC2上を動くとき、PとRの距離の
    最小値を求めよ。



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  1. 2018/11/18(日) 01:06:00|
  2. 大学入試(数学) .関東の大学 .東京工業大 2016
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2016東京工業大 数学2



第2問
  △ABCを一片の長さ6の正三角形とする。サイコロを3回振り、出た目を
  順にX、Y、Zとする。出た目に応じて、点P、Q、Rをそれぞれ線分BC、CA、AB上に$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BP}=\frac{X}{6}\ \overrightarrow{\sf BC}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf CQ}=\frac{Y}{6}\ \overrightarrow{\sf CA}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AR}=\frac{Z}{6}\ \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$
  をみたすように取る。

 (1) △PQRが正三角形になる確率を求めよ。

 (2) 点B、P、Rを互いに線分で結んでできる図形をT1、点C、Q、Pを互いに
    線分で結んでできる図形をT2、点A、R、Qを互いに線分で結んでできる
    図形をT3とする。T1、T2、T3のうち、ちょうど2つが正三角形になる確率
    を求めよ。

 (3) △PQRの面積をSとし、Sのとりうる値の最小値をmとする。mの値および
    S=mとなる確率を求めよ。




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2016東京工業大 数学3



第3問

  水平な平面$\small\sf{\alpha}$ の上に半径r1の球S1と半径r2の球S2が乗っており、
  S1とS2は外接している。

 (1) S1、S2が$\small\sf{\alpha}$ と接する点をそれぞれP1、P2とする。線分P1P2
    長さを求めよ。

 (2) $\small\sf{\alpha}$ の上に乗っており、S1とS2の両方に外接している球すべてを
    考える。それらの球と$\small\sf{\alpha}$ の接点は、1つの円の上または1つの直線
    の上にあることを示せ。




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2016東京工業大 数学4



第4問

  nを2以上の自然数とする。

 (1) nが素数または4のとき、(n-1)!はnで割り切れないことを示せ。

 (2) nが素数でなくかつ4でもないとき、(n-1)!はnで割り切れること
    を示せ。




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2016東京工業大 数学5



第5問

  次のように媒介変数表示されたxy平面上の曲線をCとする:
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \left\{\begin{matrix}\sf x=3\cos t-\cos 3t \\ \sf y=3\sin t-\sin 3t\end{matrix}\right.\end{align*}}$
  ただし、0≦t≦ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ である。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{dt}\end{align*}}$ および $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dt}\end{align*}}$ を計算し、Cの概形を図示せよ。

 (2) Cとx軸とy軸で囲まれた部分の面積を求めよ。



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