第１問
aを正の定数とし、放物線 $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{x^2}{4}\end{align*}}$ をC1とする。
(１) 点PがC1上を動くとき、Pと点Q$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(2a,\frac{a^2}{4}-2\right)\end{align*}}$ の距離の最小値を求めよ。
(２) Qを中心とする円
$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(x-2a\right)^2+\left(y-\frac{a^2}{4}+2\right)^2=2a^2\end{align*}}$
をC2とする。PがC1上を動き、点RがC2上を動くとき、PとRの距離の
最小値を求めよ。
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【解答】
(１)
点Pのx座標をp、PとQの距離をLとおく。
C1はy軸について対称であり、点Qのx座標が正なので、
Lが最小になるとき、p＞0である。
関数f(p)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(p)&=\sf L^2\\ &=\sf \left(p-2a\right)^2+\left\{\frac{p^2}{4}-\left(\frac{a^2}{4}-2\right)\right\}^2 \\ &=\sf \frac{p^4}{16}-\frac{1}{8}\left(a^2-16\right)p^2-4ap+\frac{a^4}{16}+3a^2+4\ \ \ \ \left(p>0\right)\end{align*}}$
とおくと、導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(p)&=\sf \frac{p^3}{4}-\frac{1}{4}\left(a^2-16\right)p-4a \\ &=\sf \frac{1}{4}\left(p-a\right)\left(p^2+ap+16\right)\end{align*}}$
ここで、a＞0、p＞0より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p^2+ap+16>0\end{align*}}$ なので、
f(p)の増減は次のようになる。
よって、PとQの距離の最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_{min}=\sqrt{f\left(a\right)}=\underline{\sf \sqrt{a^2+4}}\end{align*}}$
(２)
PとRの距離をmとおく。
(ⅰ) C1とC2が共有点をもつとき
これは、C2の半径が (１)で求めたLの最小値より大きい
場合なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\ a\geqq\sqrt{a^2+4}\ \ \Leftrightarrow\ \ a\geqq 2\ \ \ \left(\because\ a>0\right)\end{align*}}$
このとき、PとRがともにC1とC2の共有点と一致するとき
mは最小となり、m=0
(ⅱ) 0＜a＜2のとき、C1とC2は共有点をもたないので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf m&\geqq\sf PQ-QR\\ &=\sf L-\sqrt2\ a\\ &\geqq\sf \sqrt{a^2+4}-\sqrt2\ a\end{align*}}$
以上より、PとQの距離の最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m_{min}=\underline{\sf \left\{\begin{matrix}\sf 0& \sf \left(a\geqq 2\right)\\ \sf \sqrt{a^2+4}-\sqrt2\ a & \sf \left(0\lt a<2\right)\end{matrix}\right.}\end{align*}}$
(１) Lが最小になるのは、PにおけるC1の法線がQを通るときです。
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第２問
△ABCを一片の長さ6の正三角形とする。サイコロを3回振り、出た目を
順にX、Y、Zとする。出た目に応じて、点P、Q、Rをそれぞれ線分BC、CA、AB上に$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BP}=\frac{X}{6}\ \overrightarrow{\sf BC}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf CQ}=\frac{Y}{6}\ \overrightarrow{\sf CA}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AR}=\frac{Z}{6}\ \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$
をみたすように取る。
(１) △PQRが正三角形になる確率を求めよ。
(２) 点B、P、Rを互いに線分で結んでできる図形をT1、点C、Q、Pを互いに
線分で結んでできる図形をT2、点A、R、Qを互いに線分で結んでできる
図形をT3とする。T1、T2、T3のうち、ちょうど2つが正三角形になる確率
を求めよ。
(３) △PQRの面積をSとし、Sのとりうる値の最小値をmとする。mの値および
S=mとなる確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
△PQRが正三角形になるとき、△BPRと△CQPにおいて、
PR=QP
∠PBR=∠QCP=60°
∠BPR=180°－∠RPQ－∠CPQ
=180°－∠PCQ－∠CPQ
=∠CQP
となるので、△BPR≡△CQPとなり、BP=CQ.
同様に、△CQP≡△ARQより、CQ=ARとなるので、
BP=CQ=AR ⇔ X=Y=Z
が成り立つ。
よって、△PQRが正三角形となる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6}{6^3}=\underline{\sf \frac{1}{36}}\end{align*}}$
(２)
T1とT2のみが正三角形になる場合
X=6-Z かつ 6-X=Y かつ Z≠6-Y
⇔ X+Z=X+Y=6 かつ Y+Z≠6
⇔ 6-X=Y=Z≠3
これを満たすX、Y、Zの組は
(X，Y，Z)=(1，5，5)、(2，4，4)、(4，2，2)、(5，1，1)
の4組である。
T2とT3のみが正三角形になる場合、T3とT1のみが正三角形になる
場合も同様に考えると、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4\times 3}{6^3}=\underline{\sf \frac{1}{18}}\end{align*}}$
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \triangle ABC-\left(T_1+T_2+T_3\right)\\ &=\sf \frac{1}{2}\cdot 6^2\sin\frac{\pi}{3}-\frac{1}{2}\bigg\{X\left(6-Z\right)+Y\left(6-X\right)+Z\left(6-Y\right)\bigg\}\sin\frac{\pi}{3}\\ &=\sf 9\sqrt3-\frac{\sqrt3}{4}\bigg\{6\left(X+Y+Z\right)-\left(XY+YZ+ZX\right)\bigg\}\end{align*}}$
{ }内をTとすると、
T=(6-Y-Z)X+6Y+6Z-YZ
であり、Sが最小になるのはTが最大となるときである。
まず、YとZの値を固定し、TをXについての関数とみなすと、
(ⅰ) Y+Z＜6のとき
6-Y-Z＞0なので、X=6のときTは最大となり、その値は
T=6(6-Y-Z)+6Y+6Z-YZ
=36-YZ
さらにY、Zの値を動かすと、Y=Z=1のときTは最大となり
T=36-1・1=35
(ⅱ) Y+Z=6のとき
T=0+6・6-YZ
=36-Y(6-Y)
=(Y-3)2+27
これが最大になるのは、Y=1またはY=5のときであり、
その値はT=31≦35
(ⅲ) Y+Z＞6のとき
6-Y-Z＜0なので、X=1のときTは最大となり、その値は
T=(6-Y-Z)+6Y+6Z-YZ
=(5-Z)Y+5Z+6
・Z=6のとき
T=-Y+36 であり、Y=1のときTは最大値35をとる
・Z=5のとき
T=31≦35
・Z＜5のとき
5-Z＜0なので、Y=6のときTは最大となり、
T=36-Z
これはZ=1のときに最大値35をとる
以上より、
(X，Y，Z)=(6，1，1)、(1，6，1)、(1，1，6)
のとき、Tは最大値6をとるので、Sの最小値mは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m=9\sqrt3-\frac{\sqrt3}{4}\cdot 35=\underline{\sf \frac{\sqrt3}{4}}\end{align*}}$
また、S=mとなる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{6^3}=\underline{\sf \frac{1}{72}}\end{align*}}$
(３)が面倒です。
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第３問
水平な平面$\small\sf{\alpha}$ の上に半径r1の球S1と半径r2の球S2が乗っており、
S1とS2は外接している。
(１) S1、S2が$\small\sf{\alpha}$ と接する点をそれぞれP1、P2とする。線分P1P2の
長さを求めよ。
(２) $\small\sf{\alpha}$ の上に乗っており、S1とS2の両方に外接している球すべてを
考える。それらの球と$\small\sf{\alpha}$ の接点は、1つの円の上または1つの直線
の上にあることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
r1≧r2としても一般性を失わない。
(１)
球S1、S2の中心をそれぞれO1、O2とし、S1とS2の接点をT、
O2からO1P1に下した垂線の足をHとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf O_1O_2=O_1T+O_2T=r_1+r_2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf O_1H=O_1P_1-O_2P_2=r_1-r_2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_1P_2=\sqrt{\left(r_1+r_2\right)^2-\left(r_1-r_2\right)^2}=\underline{\sf 2\sqrt{r_1r_2}}\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\alpha}$ の上に乗っている球SがS1とS2の両方に外接しているとし、
Sの半径をr、Sと平面$\scriptsize\sf{\alpha}$ の接点をPとすると、(１)と同様に、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PP_1=2\sqrt{rr_1}\ \ ,\ \ PP_2=2\sqrt{rr_2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PP_1:PP_2=\sqrt{r_1}:\sqrt{r_2}\end{align*}}$
(ⅰ) r1=r2のとき
Pは2点P1、P2から等距離にある点なので、線分P1P2の
垂直二等分線上にある。
(ⅱ) r1≠r2のとき
Pは2点P1、P2からの距離の比が $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{r_1}:\sqrt{r_2}\end{align*}}$ である点なので、
線分P1P2 を$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{r_1}:\sqrt{r_2}\end{align*}}$ の比に内分する点をA
線分P1P2 を$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{r_1}:\sqrt{r_2}\end{align*}}$ の比に外分する点をB
とすると、ABを直径とするアポロニウスの円周上にある。
教科書にも載っているので「アポロニウスの円」知ってますよね???
知らない人は、座標を設定して計算してください。
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第４問
nを2以上の自然数とする。
(１) nが素数または4のとき、(n-1)!はnで割り切れないことを示せ。
(２) nが素数でなくかつ4でもないとき、(n-1)!はnで割り切れること
を示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
(ⅰ) n=4のとき
(4-1)!=6なので、これは4で割り切れない
(ⅱ) nが素数のとき
nの約数は1とnのみなので、
nは1，2，3，・・・，n-1のすべてと互いに素である。
よって、(n-1)!はnで割り切れない
(２)
nは素数でないので、素数aと自然数bとの積
n=ab
の形で表される。
(ⅲ) a≠bのとき
a＜n、b＜nなので、a、bはともに1，2，3，・・・，n-1の中に
含まれる。よって、(n-1)!はnで割り切れる。
(ⅳ) a=bのとき
n=a2であり、nは素数かつn≠4なのでa＞2である。
このとき、
n-2a=a2-2a=a(a-2)＞0
となるので、aと2aはともに1，2，3，・・・，n-1の中に含まれる。
よって、(n-1)!はnで割り切れる。
(ⅳ)の場合を忘れないように！
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第５問
次のように媒介変数表示されたxy平面上の曲線をCとする：
$\small\sf{\begin{align*} \sf \left\{\begin{matrix}\sf x=3\cos t-\cos 3t \\ \sf y=3\sin t-\sin 3t\end{matrix}\right.\end{align*}}$
ただし、0≦t≦ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ である。
(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{dt}\end{align*}}$ および $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dt}\end{align*}}$ を計算し、Cの概形を図示せよ。
(２) Cとx軸とy軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dx}{dt}&=\sf -3\sin t+3\sin3t\\ &=\sf -3\sin t+3\left(3\sin t-4\sin^3t\right)\\ &=\sf 6\sin t\left(1-2\sin^2t\right)\\ &=\sf 6\sin t\cos 2t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dy}{dt}&=\sf 3\cos t-3\cos 3t\\ &=\sf 3\cos t-3\left(4\cos^3t-3\cos t\right)\\ &=\sf 3cos t\left(1-\cos^2t\right)\\ &=\sf 3cos t\sin^2t\end{align*}}$
これらより、xとyの増減および曲線Cの概形は次のようになる。
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{\begin{matrix}\sf x=3\cos t-\cos 3t \\ \sf y=3\sin t-\sin 3t\end{matrix}\right.\end{align*}}$
と置換すると、Cとx軸とy軸で囲まれた部分の面積Sは
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \int_0^4x\ dy\\ &=\sf \int_0^{\pi /2}\left(3\cos t-\cos 3t\right)\left(3\cos t-3\cos 3t\right)dt\\ &=\sf \int_0^{\pi /2}\left(3\cos^23t-12\cos3t\cos t+9\cos^2t\right)dt\\ &=\sf 3\int_0^{\pi/2}\left\{\frac{1+\cos 6t}{2}-2\left(\cos 4t+\cos 2t\right)+3\cdot\frac{1+\cos 2t}{2}\right\}dt\\ &=\sf \frac{3}{2}\int_0^{\pi/2}\left(\cos 6t-4\cos 4t-\cos 2t+4\right)dt\\ &=\sf \frac{3}{2}\left[\frac{1}{6}\sin 6t-\sin 4t-\frac{1}{2}\sin 2t+4t\right]_0^{\pi /2}\\ &=\sf \underline{\sf 3\pi}\end{align*}}$
これはよくある問題ですね。
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