第１問
座標平面上の3点P(x，y)、Q(-x，-y)、R(1，0)が鋭角三角形を
なすための(x，y)についての条件を求めよ。また、その条件を満
たす点P(x，y)の範囲を図示せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PQ^2=\left(-x-x\right)^2+\left(-y-y\right)^2=4x^2+4y^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf QR^2=\left(-x-1\right)^2+\left(-y\right)^2=x^2+y^2+2x+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf RP^2=\left(x-1\right)^2+y^2=x^2+y^2-2x+1\end{align*}}$
∠Pが鋭角になるための条件は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PQ^2+RP>QR^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(4x^2+4y^2\right)+\left(x^2+y^2-2x+1\right)>x^2+y^2-2x+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2+y^2-x>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf \left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2>\left(\frac{1}{2}\right)}\end{align*}}$
∠Qが鋭角になるための条件は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PQ^2+RQ>RP^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(4x^2+4y^2\right)+\left(x^2+y^2+2x+1\right)>x^2+y^2+2x+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2+y^2+x>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf \left(x+\frac{1}{2}\right)^2+y^2>\left(\frac{1}{2}\right)}\end{align*}}$
∠Rが鋭角になるための条件は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf QR^2+RP>PQ^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x^2+y^2+2x+1\right)+\left(x^2+y^2-2x+1\right)>4x^2+4y^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf x^2+y^2<1}\end{align*}}$
これらを満たす領域を図示すると、下図のようになる。
（境界上の点は含まない）
ベクトルの内積を考える手もあります。
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第2問
A、B、Cの3つのチームが参加する野球の大会を開催する。以下の方式で
試合を行い、2連勝したチームが出た時点で、そのチームを優勝チームと
して大会は終了する。
(a) 1試合目でAとBが対戦する
(b) 2試合目で、1試合目の勝者と、1試合目で待機していたCが対戦する
(c) k 試合目で優勝チームが決まらない場合は、k試合目の勝者と、
k試合目で待機していたチームがk+1試合目で対戦する。ここで
kは2以上の整数とする
なお、すべての対戦において、それぞれのチームが勝つ確率は $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ で、
引き分けはないものとする。
(1) ちょうど5試合目でAが優勝する確率を求めよ。
(2) nを2以上の整数とする。ちょうどn試合目でAが優勝する確率を求めよ。
(2) mを正の整数とする。総試合数が3m回以下でAが優勝する確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(2)
Aが優勝するまでの勝者を順に書き上げていくと、
(ⅰ)1試合目でAが勝者のとき
AA
ACBAA
ACBACBAA
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
ACBACBACBA・・・・・CBAA
のように、Aは3m-1試合目（m：自然数）で優勝することになる。
(ⅱ)1試合目でBが勝者のとき
BCAA
BCACBAA
BCACBACBAA
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
BCACBACBACBA・・・・・CBAA
のように、Aは3m+1試合目（m：自然数）で優勝することになる。
各試合における勝者は、それぞれ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ の確率で決定するので、
ちょうどn試合目でAが優勝する確率をpnとおくと、
・nが3の倍数でないとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n=\underline{\sf \left(\frac{1}{2}\right)^n}\end{align*}}$
・nが3の倍数のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n=\underline{\sf 0}\end{align*}}$
(1)
(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_5=\underline{\sf \left(\frac{1}{2}\right)^5}\end{align*}}$
(3)
1試合目でAが勝ち、総試合数が3m回以下でAが優勝する確率は、
(2)の(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf &\ \sf \left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^5+\ldots +\left(\frac{1}{2}\right)^{3m-1}\\ &=\sf \frac{\frac{1}{4}\left\{1-\left(\frac{1}{8}\right)^m\right\}}{1-\frac{1}{8}}\\ &=\sf \frac{2}{7}-\frac{2}{7}\left(\frac{1}{8}\right)^m\end{align*}}$
1試合目でBが勝ち、総試合数が3m回以下でAが優勝する確率は、
(2)の(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf &\ \sf \ \left(\frac{1}{2}\right)^4+\left(\frac{1}{2}\right)^7+\ldots +\left(\frac{1}{2}\right)^{3m-2}\\ &=\sf \frac{\frac{1}{16}\left\{1-\left(\frac{1}{8}\right)^{m-1}\right\}}{1-\frac{1}{8}}\\ &=\sf \frac{1}{14}-\frac{4}{7}\left(\frac{1}{8}\right)^m\end{align*}}$
よって、総試合数が3m回以下でAが優勝する確率は、
これらの和なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{7}-\frac{2}{7}\left(\frac{1}{8}\right)^m+\frac{1}{14}-\frac{4}{7}\left(\frac{1}{8}\right)^m=\underline{\sf \frac{5}{14}-\frac{6}{7}\left(\frac{1}{8}\right)^m}\end{align*}}$
いわゆる巴戦ってやつです。巴戦に関する問題はよく出題されていますが、
丁寧に書き上げていきさえすれば、たいていの問題は簡単に解決です！
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第３問
座標平面上の2つの放物線
A： y=x2
B： y=-x2+px+q
が点(-1，1)で接している。ここで、pとqは実数である。さらに、tを
正の実数とし、放物線Bをx軸の正の向きに2t、y軸の正の向きにt
だけ平行移動して得られる放物線をCとする。
(１) pとqの値を求めよ。
(２) 放物線AとCが囲む領域の面積をS(t)とする。ただし、AとCが
領域を囲まないときはS(t)=0と定める。S(t)を求めよ。
(３) t＞0におけるS(t)の最大値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x^2\ \ ,\ \ g\ (x)=-x^2+px+q\end{align*}}$ とおくと、導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=2x\ \ ,\ \ g\ '(x)=-2x+p\end{align*}}$
AとBは点(-1，1)で接するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (-1)=g\ (-1)\ \ \Leftrightarrow\ \ 1=-1+p+q\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(-1)=g\ '(-1)\ \ \Leftrightarrow\ \ -2=2+p\end{align*}}$
これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf p=-4\ \ ,\ \ q=-2}\end{align*}}$
(2)
(1)で求めたp、qに対して、Cの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-t=-\left(x-2t\right)^2-4\left(x-2t\right)-2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=-x^2+\left(4t-4\right)x-4t^2+9t-2\end{align*}}$
であり、これとAの式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2=-x^2+\left(4t-4\right)x-4t^2+9t-2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2x^2-\left(4t-4\right)x+4t^2-9t+2=0\end{align*}}$ ・・・・・・(#)
(#)の判別式Dは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D/4&=\sf \left(2t-2\right)^2-2\left(4t^2-9t+2\right)\\ &=\sf -4t^2+10t\\ &=\sf -2t\left(2t-5\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (i)\0\lt t<\frac{5}{2}\end{align*}}$ のとき
D＞0となるので、(#)は異なる2つの実数解をもつ。
それらをx1、x2 （x1＜x2）とおくと、解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_1+x_2=2t-2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_1x_2=2t^2-\frac{9}{2}t+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(x_2-x_1\right)^2&=\sf \left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\\ &=\sf \left(2t-2\right)^2-4\left(2t^2-\frac{9}{2}t+1\right)\\ &=\sf -4t^2+10t\end{align*}}$
となり、A、Cの位置関係は右図のようになるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S(t)&=\sf \int_{x_1}^{x_2}\bigg\{-x^2+\left(4t-4\right)x-4t^2+9t-2-x^2\bigg\}dx\\ &=\sf -2\int_{x_1}^{x_2}\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)dx\\ &=\sf \frac{1}{3}\left(x_2-x_1\right)^3\\ &=\sf \frac{1}{3}\left\{\left(x_2-x_1\right)^2\right\}^{\frac{3}{2}}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{1}{3}\left(-4t^2+10t\right)^{\frac{3}{2}}}\end{align*}}$ 
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ \frac{5}{2}\leqq t\end{align*}}$ のとき
D≦0より、AとCが領域を囲まないので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(t)=\underline{\sf 0}\end{align*}}$
(3)
(2)の(ⅰ)で求めたS(t)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(t)=\frac{1}{3}\left\{-4\left(t-\frac{5}{4}\right)^2+\frac{25}{4}\right\}^{\frac{3}{2}}\end{align*}}$
と変形できるので、S(t)の最大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S(t)_{max}&=\sf S\left(\frac{5}{4}\right)\\ &=\sf \frac{1}{3}\cdot\left(\frac{25}{4}\right)^{\frac{3}{2}}\\ &=\sf \frac{1}{3}\cdot\left(\frac{5}{2}\right)^{3}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{125}{24}}\end{align*}}$
よくある問題です。東大にしては易しいですな。
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第4問
以下の問いに答えよ。ただし、(1)については、結論のみを書けばよい。
(1) nを正の整数とし、3nを10で割った余りをanとする。anを求めよ。
(2) nを正の整数とし、3nを4で割った余りをbnとする。bnを求めよ。
(3) 数列{xn}を次のように定める。
$\small\sf{\begin{align*} \sf x_1=1\ \ ,\ \ x_{n+1}=3^{x_n}\ \ \ \left(n=,1,2,3\ldots\right)\end{align*}}$
x10を10で割った余りを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
mod10の合同式を考えると、
31≡3
32≡9
33≡27≡7
34≡21≡1
35≡3
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
なので、mを自然数として、
n=4m-3のとき、an=3
n=4m-2のとき、an=9
n=4m-1のとき、an=7
n=4mのとき、an=1
(2)
mod4の合同式を考えると、
31≡3
32≡9≡1
33≡3
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
なので、
nが奇数のとき、bn=3
nが偶数のとき、bn=1
(3)
x8は奇数なので、(2)より $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_9=3^{x_8}\end{align*}}$ を4で割ると3余る。
よって、(1)より $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_{10}=3^{x_9}\end{align*}}$ を10で割ると7余る。
(3)は(1)、(2)をうまく使いましょう。
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