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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2016東京大 理系数学1



第1問

   eを自然数の底、すなわち $\small\sf{\begin{align*} \sf e=\lim_{t\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^t \end{align*}}$ とする。すべての正の実数x
   に対し、次の不等式が成り立つことを示せ。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(1+\frac{1}{x}\right)^x\lt e<\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+\frac{1}{2}}\end{align*}}$



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  1. 2018/11/22(木) 01:11:00|
  2. 大学入試(数学) .関東の大学 .東京大 理系 2016
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2016東京大 理系数学2



第2問

  A、B、Cの3つのチームが参加する野球の大会を開催する。以下の方式で
  試合を行い、2連勝したチームが出た時点で、そのチームを優勝チームと
  して大会は終了する。
   (a) 1試合目でAとBが対戦する
   (b) 2試合目で、1試合目の勝者と、1試合目で待機していたCが対戦する
   (c) k 試合目で優勝チームが決まらない場合は、k試合目の勝者と、
      k試合目で待機していたチームがk+1試合目で対戦する。ここで
      kは2以上の整数とする

  なお、すべての対戦において、それぞれのチームが勝つ確率は $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ で、
  引き分けはないものとする。

 (1) nを2以上の整数とする。ちょうどn試合目でAが優勝する確率を求めよ。

 (2) mを正の整数とする。総試合数が3m回以下でAが優勝したとき、Aの最後
    の対戦相手がBである条件付き確率を求めよ。



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2016東京大 理系数学3



第3問

  aを1<a<3をみたす実数とし、座標空間内の4点P1(1,0,1)、P2(1,1,1)、
  P3(1,0,3)、Q(0,0,a)を考える。直線P1Q、P2Q、P3Qとxy平面の交点を
  それぞれR1、R2、R3として、三角形R1R2R3の面積をS(a)とする。S(a)を最小
  にするaと、そのときのS(a)の値を求めよ。




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2016東京大 理系数学4



第4問

  zを複素数とする。複素数平面上の3点A(1)、B(z)、C(z2)が
  鋭角三角形をなすようなzの範囲を求め、図示せよ。



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2016東京大 理系数学5



第5問

  kを正の整数とし、10進法で表された小数点以下k桁の実数
         $\small\sf{\begin{align*} \sf 0.a_1a_2\cdots a_k=\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2}+\cdots +\frac{a_k}{10^k}\end{align*}}$
  を1つとる。ここで、a1、a2、・・・、akは0から9までの整数で、
  ak≠0とする。

 (1) 次の不等式をみたす正の整数nをすべて求めよ。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf 0.a_1a_2\cdots a_k\leqq \sqrt{n}-10^k<0.a_1a_2\cdots a_k+10^{-k}\end{align*}}$

 (2) pが5・10k-1以上の整数ならば、次の不等式をみたす正の整数
    mが存在することを示せ。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf 0.a_1a_2\cdots a_k\leqq \sqrt{n}-p<0.a_1a_2\cdots a_k+10^{-k}\end{align*}}$

 (3) 実数xに対し、r≦x<r+1をみたす整数rを[x]で表す。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{s}-[\sqrt{s}\ ]=0.a_1a_2\cdots a_k\end{align*}}$   
     をみたす正の整数sは存在しないことを示せ。




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2016東京大 理系数学6



第6問

  座標空間内を、長さ2の線分ABが次の2 条件(a)、(b)を
  みたしながら動く。
    (a) 点Aは平面z=0上にある
    (b) 点C(0,0,1)が線分AB上にある
  このとき、線分ABが通過することのできる範囲をKとする。
  Kと不等式z≧1の表す範囲との共通部分の体積を求めよ。



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