第1問
次の に適する数または式を、解答用紙の同じ記号のついた
の中に記入せよ。
(2) 2016と2800の最大公約数はd= キ であり、最小公倍数は ク
である。 また、方程式2016x+2800y=dの整数解のうち、|x|+|y|が
最小になるのものは、x= ケ 、y= コ である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
キ 112 ク 50400 ケ 7 コ -5
【解説】
キ
ユークリッドの互除法を用いると
2800=2016+784
2016=784・2+448
784=448+336
448=336+112
336=112・3
となるので、2016と2800の最大公約数はd=112
ク
キより、
2016=112・18、 2800=112・25
なので、2016と2800の最小公倍数は、
112・18・25=50400
ケコ
与えられた方程式は
2016x+2800y=112 ⇔ 18x+25y=1
と変形できる。
25=18+7
18=7・2+4
7=4+3
4=3+1
より、
1=4-3
=4-(7-4)
=-7+4・2
=-7+(18-7・2)・2
=18・2-7・5
=18・2-(25-18)・5
=25・(-5)+18・7
なので、
18x+25y=25・(-5)+18・7
⇔ 18(x-7)=25(-y-5)
と変形できる。よって、整数kを用いて
x-7=25k ⇔ x=25k+7
-y-5=18k ⇔ y=-18k-5
と表せるので、
|x|+|y|=|25k+7|+|-18k-5|
・k≧0のとき
|x|+|y|=(25k+7)+(18k+5)=43k+12≧12
・k≦-1のとき
|x|+|y|=(-25k-7)+(-18k-5)=-43k-12≧31
よって、k=0のとき、|x|+|y|は最小値12をとり、
そのときのx、yの値は
x=7、y=-5
最後が面倒ですね。
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- 2016/02/22(月) 23:57:00|
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第2問
△OABにおいて、線分OAを3：1に外分する点をM、線分OBを2：1に
外分する点をNとする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ として、次の問いに答えよ。
(1) 実数s、tは0＜s＜1、0＜t＜1を満たす。線分ANを1-s：sに内分
する点をP、線分BMを1-t：tに内分する点をQとする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$、s
を用いて表せ。また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$、tを用いて表せ。
(2) 2直線AN、BMの交点をDとするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$を用いて表せ。
(3) 2直線OD、ABの交点をEとするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OE}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$を用いて表せ。
(4) 直線EPが直線OBに平行で、直線EQが直線OAに平行であるとき、
△OABの面積Sと△EPQの面積Tについて $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{T}{S}\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
点M、Nはそれぞれ、線分OAを3：1に外分する点、
線分OBを2：1に外分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\sf a}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf ON}=2\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
点Pは線分ANを1-s：sに内分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=s\overrightarrow{\sf OA}+\left(1-s\right)\overrightarrow{\sf ON}=\underline{\sf s\overrightarrow{\sf a}+2\left(1-s\right)\overrightarrow{\sf b}}\end{align*}}$
点Qは線分BMを1-t：sに内分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=t\overrightarrow{\sf OB}+\left(1-t\right)\overrightarrow{\sf OM}=\underline{\sf \frac{3}{2}\left(1-t\right)\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}}\end{align*}}$
(2)
(1)より、ANとBMの交点Dは、実数u、vを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}=u\overrightarrow{\sf a}+2\left(1-u\right)\overrightarrow{\sf b}=\frac{3}{2}\left(1-v\right)\overrightarrow{\sf a}+v\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
と2通りに表すことができ、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$と$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ は一次独立なので、
係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf u=\frac{3}{2}\left(1-v\right)\ \ ,\ \ 2\left(1-u\right)=v\end{align*}}$ ．
これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf u=\frac{3}{4}\ ,\ v=\frac{1}{2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}=\underline{\sf \frac{3}{4}\overrightarrow{\sf a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf b}}\end{align*}}$
(3)
(2)で求めた$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$ の式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}=\frac{3\overrightarrow{\sf a}+2\overrightarrow{\sf b }}{4}=\frac{5}{4}\cdot\frac{3\overrightarrow{\sf a}+2\overrightarrow{\sf b }}{5}\end{align*}}$
と変形でき、EはODとABの交点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OE}=\underline{\sf \frac{3\overrightarrow{\sf a}+2\overrightarrow{\sf b }}{5}}\end{align*}}$
(4)
OA=x、OB=y、∠AOB=$\scriptsize\sf{\theta}$ とおく。
(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}=\frac{5}{4}\overrightarrow{\sf OE}\end{align*}}$
なので、DO：DE=5：1である。
ON//EPより、△DEP∽△DONなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf EP=\frac{1}{5}ON=\frac{2}{5}y\end{align*}}$
OM//EQより、△DEQ∽△DOMなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf EQ=\frac{1}{5}OM=\frac{3}{10}x\end{align*}}$
また、ON//EP、OM//EQより、∠QEP=∠AOB=$\scriptsize\sf{\theta}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}xy\sin\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{10}x\cdot\frac{2}{5}y\sin\theta=\frac{3}{50}xy\sin\theta\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{T}{S}=\underline{\sf \frac{3}{25}}\end{align*}}$
(4)は、相似に気づくと楽です。
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- 2016/02/23(火) 23:54:00|
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第3問
複素数
$\small\sf{\begin{align*} \sf a=\left(\sqrt3-1\right)+\left(\sqrt3+1\right)i\end{align*}}$
について、次の問いに答えよ。
(1) a2を計算せよ。
(2) aを極形式で表せ。ただし、aの偏角$\small\sf{\theta}$ の範囲は0≦$\small\sf{\theta}$ ＜2$\small\sf{\pi}$ とする。
(3) 方程式z3=aを解き、解を極形式で表せ。
(4) nを自然数とする。複素数wnを
$\small\sf{\begin{align*} \sf w_n=\left(1+i\right)a^n\end{align*}}$
によって定めるとき、wnが実数となる最小の自然数nを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2=\left(4-2\sqrt3\right)-\left(4+2\sqrt3\right)+2\left(3-1\right)i=\underline{\sf -4\sqrt3+4i}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\ \ \ \left(r>0\ ,\ 0\leqq \theta <2\pi\right)\end{align*}}$
とおくと、ド・モアブルの定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2=r^2\left(\cos 2\theta+i\sin 2\theta\right)\end{align*}}$ ・・・・・・①
一方、(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2=\sf 8\left(-\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}i\right)=\sf 8\left(\cos\frac{5}{6}\pi+i\sin\frac{5}{6}\pi\right)\end{align*}}$ ・・・・・・②
なので、①、②を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r^2=8\ \ \Leftrightarrow\ \ r=2\sqrt2\ (>0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\theta=\frac{5}{6}\pi+2n\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=\frac{5}{12}\pi+n\pi\end{align*}}$
ここで、aは実部・虚部ともに正なので、$\scriptsize\sf{\theta}$ は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\theta<\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の角である。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\underline{\sf 2\sqrt2\left(\cos\frac{5}{12}\pi+i\sin\frac{5}{12}\pi\right)}\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z=R\left(\cos\phi+i\sin\phi\right)\ \ \ \left(R>0\ ,\ 0\leqq \phi <2\pi\right)\end{align*}}$
とおくと、ド・モアブルの定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z^3=R^3\left(\cos 3\phi+i\sin3\phi\right)\end{align*}}$ ・・・・・・③
となり、これと(2)を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf R^3=2\sqrt2\ \ \Leftrightarrow\ \ R=\sqrt2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3\phi=\frac{5}{12}\pi+2n\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ \phi=\frac{5}{36}\pi+\frac{2}{3}n\pi\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z=\underline{\sf \sqrt2\left\{\cos\left(\frac{5}{36}\pi+\frac{2}{3}n\pi\right)+i\sin\left(\frac{5}{36}\pi+\frac{2}{3}n\pi\right)\right\}\ \ \ \left(n=0,1,2\right)}\end{align*}}$
(4)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf w_n&=\sf \left(1+i\right)\ a^n\\ &=\sf \sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\cdot\left\{2\sqrt2\left(\cos\frac{5}{12}\pi+i\sin\frac{5}{12}\pi\right)^n\right\}\\ &=\sf \left(\sqrt2\right)^{3n+1}\left\{\cos\left(\frac{5n}{36}\pi+\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{5n}{36}\pi+\frac{\pi}{4}\right)\right\}\end{align*}}$
これが実数になるとき、kを整数とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \arg w_n=\frac{5n}{36}\pi+\frac{\pi}{4}=k\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ 5n-12k=3\end{align*}}$
これを満たす最小の自然数nは、n=9である。
最後ごまかしていますが、不定方程式は適当に解いてくださいｗｗ
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- 2016/02/23(火) 23:57:00|
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第4問
nを自然数とする。関数fn(x)を
$\small\sf{\begin{align*} \sf f_n(x)=1+\sum_{k=1}^{2n}\left(-1\right)^kx^k\end{align*}}$
で定める。aを0＜a≦1を満たす定数として、次の問いに答えよ。
(1) 定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^a\frac{dx}{1+x}\end{align*}}$ を求めよ。
(2) 次の等式が成立することを示せ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^af_n(x)dx=\sum_{k=1}^{2n+1}\frac{\left(-1\right)^{k+1}a^k}{k}\end{align*}}$
(3) 次の不等式が成立することを示せ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf 0<\int_0^a\left(f_n(x)-\frac{1}{1+x}\right)dx<\frac{1}{2n+2}\end{align*}}$
(4) 無限級数 $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k+1}a^k}{k}\end{align*}}$ の和を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f_n(x)&=\sf 1+\sum_{k=1}^{2n}\left(-1\right)^kx^k\\ &=\sf 1-x+x^2-x^3+\ldots +x^{2n}\end{align*}}$ ・・・・・・(#)
(1)
0＜a≦1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^a\frac{dx}{1+x}=\bigg[\log\left|1+x\right|\bigg]_0^a=\underline{\sf \log\left(a+1\right)}\end{align*}}$
(2)
(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^af_n(x)dx&=\sf \int_0^a\left(1-x+x^2-x^3+\ldots +x^{2n}\right)dx\\ &=\sf \left[x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\ldots +\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right]_0^a\\ &=\sf a-\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{3}-\frac{a^4}{4}+\ldots +\frac{a^{2n+1}}{2n+1}\\ &=\sf \sum_{k=1}^{2n+1}\frac{\left(-1\right)^{k+1}a^k}{k}\end{align*}}$
(3)
(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f_n(x)-\frac{1}{1+x}&=\sf \left(1-x+x^2-x^3+\ldots +x^{2n}\right)-\frac{1}{1+x}\\ &=\sf \frac{1-\left(-x\right)^{2n+1}}{1-\left(-x\right)}-\frac{1}{1+x}\\ &=\sf \frac{1+x^{2n+1}}{1+x}\end{align*}}$
となり、0≦xより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq \frac{1+x^{2n+1}}{1+x}\leqq x^{2n+1}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq f_n(x)-\frac{1}{1+x}\leqq x^{2n+1}\end{align*}}$ ．
この不等式が0≦x≦a の範囲で常に成り立つので
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0<\int_0^a\left(f_n(x)-\frac{1}{1+x}\right)dx&<\sf \int_0^ax^{2n+1}dx\\ &=\sf \left[\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\right]_0^a\\ &=\sf \frac{a^{2n+2}}{2n+2}\\ &\leqq \sf \frac{1}{2n+2}\ \ \ \ \left(\because\ 0\lt a\leqq 1\right)\end{align*}}$
よって、題意は示された。
(4)
(3)の不等式において
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2n+2}=0\end{align*}}$
なので、はさみうちの原理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^a\left(f_n(x)-\frac{1}{1+x}\right)dx=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^af_n(x)dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^a\frac{dx}{1+x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{2n+1}\frac{\left(-1\right)^{k+1}a^k}{k}=\lim_{n\rightarrow\infty}\log\left(1+a\right)\end{align*}}$ ←(1)、(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k+1}a^k}{k}=\underline{\sf \log\left(1+a\right)}\end{align*}}$
(3)さえクリアできれば完答できそうです。
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- 2016/02/24(水) 23:57:00|
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