第1問
正の数からなる2つの数列{an}と{bn}は、ｎ≧3について、
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2}\ \ ,\ \ b_n=\sqrt{b_{n-1\ }b_{n-2}}\end{align*}}$
を満たすものとする。次の問いに答えよ。
(1) {an}の階差数列を{cn}とすると、{cn}は等比数列になることを示し、
その公比を求めよ。
(2) ｎ≧3について、anをa1、a2、ｎを用いて表せ。
(3) b1=1、b2=2のとき、ｎ≧3についてlog2bnをｎを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
{an}の階差数列を{cn}とすると、階差数列の定義より、
cn=an+1－an．
これに与えられた漸化式を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_n=\frac{a_{n}+a_{n-1}}{2}-a_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{a_{n}-a_{n-1}}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{c_{n-1}}{2}\end{align*}}$
よって、{cn}は公比 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2}\end{align*}}$ の等比数列となる。
(2)
(1)の{cn}に対して、
c1=a2－a1 ･････①
また、(1)より{cn}の一般項は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_n=c_1\ \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\end{align*}}$
ｎ≧2のｎに対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\ c_k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\ c_1\ \left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a_1+\frac{c_1\ \bigg(1-\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\bigg)}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}\end{align*}}$
これに①を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\underline{\ a_1+\frac{2}{3}(a_2-a_1)\ \bigg(1-\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\bigg)\ \ }\end{align*}}$
これは、ｎ=1のときも満たす。
(3)
数列{bn}の項はすべて正なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=\sqrt{b_{n-1\ }b_{n-2}}\end{align*}}$
の両辺の対数(底2)をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_2\ b_n=\log_2\ \sqrt{b_{n-1\ }b_{n-2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\log_2\ b_{n-1\ }+\log_2\ b_{n-2}}{2}\end{align*}}$
ここで、an=log2bnとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2}\end{align*}}$
これよりanの一般項を求めると、(2)の結果より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=a_1+\frac{2}{3}(a_2-a_1)\ \bigg(1-\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\bigg)\end{align*}}$
これに、
a1=log2b1=0 、 a2=log2b2=1
を代入して整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_2\ b_n=a_n=\underline{\frac{2}{3}\ \bigg(1-\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\bigg)\ \ }\end{align*}}$
(1)→(2)→(3)と、うまく誘導に乗ってください。
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- 2012/01/19(木) 23:57:00|
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第2問
実数rに対し、ｎ≦r＜ｎ+1となる整数ｎを[ｎ]と表すことにする。
正の整数ｍについて、ｆ(ｍ)=[ｍ－log2(ｍ+1)]とおく。
次の問いに答えよ。
(1) ｍ+1=2sとなる整数sがあれば、ｆ(ｍ+1)=ｆ(ｍ)となることを示せ。
(2) ｍ+1=2sとなる整数sがなければ、ｆ(ｍ+1)=ｆ(ｍ)+1となることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
正の整数ｍに対して、
ｇ(ｍ)=ｍ－log2(ｍ+1)
とおくと、
ｇ(ｍ+1)=ｍ+1－log2(ｍ+2)
任意の正数ｍに対して、
2s≦ｍ+1＜ｍ+2＜2･2s ･･････①
となる整数sが存在する。
底2の対数をとると、
log22s≦log2(ｍ+1)＜log2(ｍ+2)＜log22･2s
⇔ s≦log2(ｍ+1)＜log2(ｍ+2)＜s+1
各辺に－1をかけると、
－s－1＜－log2(ｍ+2)＜－log2(ｍ+1)≦－s ･････①’
まず、
ｍ－s＜ｍ+1－log2(ｍ+2)＜ｍ+1－s
⇔ ｍ－s＜ｇ(ｍ+1)＜ｍ－s+1
⇔ ｆ(ｍ+1)=ｍ－s ･････②
(1)
①において、2s=ｍ+1のとき
ｇ(ｍ)=ｍ－log22s=ｍ－s
ｍ、sは整数なので、
ｆ(ｍ)=[ｇ(ｍ)]=[ｍ－s]=ｍ－s
これと②より、
ｆ(ｍ+1)=ｆ(ｍ)
(2)
①において、2s＜ｍ+1のとき、
①’より、
－s－1＜－log2(ｍ+1)＜－s
⇔ ｍ－s－1＜ｍ－－log2(ｍ+1)＜ｍ－s
⇔ ｍ－s－1＜ｇ(ｍ)＜ｍ－s
⇔ ｆ(ｍ)=ｍ－s－1
これと②より、
ｆ(ｍ+1)=ｆ(ｍ)+1
ガウス記号に関する問題ですが、とらえにくいかもしれませんね。
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- 2012/01/20(金) 23:57:00|
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第3問
a、bを正の実数とし、座標平面上の放物線C：y=ax2+bを考える。
ｔ、sは正の実数とし、点P(ｔ，aｔ2+b)におけるCの接線をＬP、
点Q(s，as2+b)におけるCの接線をＬQで表す。ＬPは原点を通って
いるものとする。次の問いに答えよ。
(1) ＬPの傾きが1未満になるための必要十分条件を、aとbを用いて表せ。
(2) ＬPの傾きは1未満とし、ＬPとx軸のなす鋭角を$\small\sf{\theta}$ と表す。QをＬQと
x軸のなす鋭角が2$\small\sf{\theta}$ となるようにとるとき、ＬQの傾きをaとbを用いて
表せ。
(3) a、bが
$\small\sf{\begin{align*} \sf a+b=\frac{1}{2}\end{align*}}$
をみたすとき、ＬPの傾きは1未満であることを示せ。
(4) a、bが
$\small\sf{\begin{align*} \sf a+b=\frac{1}{2}\end{align*}}$
をみたすものとし、Qを(2)のようにとる。ＬQの傾きが最大になるような
a、bを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
ｆ(x)=ax2+bとすると、ｆ’(x)=2axとなるので、
点P(ｔ，aｔ2+b)における接線ＬPは、
y－(aｔ2+b)=2aｔ(x－ｔ)
⇔ y=2aｔx－aｔ2+b
これが原点を通るので、
0=－aｔ2+b
ｔ＞0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\sqrt{\frac{b}{a}}\end{align*}}$
よって、ＬPの傾きをｍとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m=2at=2a\sqrt{\frac{b}{a}}=2\sqrt{ab}\end{align*}}$ ･･････①
ｍ＜1となるための必要十分条件は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 2\sqrt{ab}<1\ \ }\end{align*}}$
である。
(2)
(1)より、ＬPの傾きｍ=tan$\scriptsize\sf{\theta}$ ･･････②
また、ＬQの傾きをｍ’とすると、題意より、
ｍ’=tan2$\scriptsize\sf{\theta}$
これにtanの倍角公式と①、②を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m'=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2m}{1-m^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{4\sqrt{ab}}{1-4ab}\ \ }\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a+b=\frac{1}{2}\end{align*}}$ ･････③
a、b＞0なので、相加・相乗平均より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a+b\geqq 2\sqrt{ab}\end{align*}}$ ･･････④
①、③より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\geqq m\end{align*}}$ ･･････④’
よって、ＬPの傾きｍは1未満である。
(4)
a、ｔ＞0と(3)より、
0＜ｍ＜1
⇔ 0°＜$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜45°
⇔ 0°＜2$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜90°
この範囲で、tan$\scriptsize\sf{\theta}$ およびtan2$\scriptsize\sf{\theta}$ は単調増加なので、
ＬQの傾きｍ’=tan2$\scriptsize\sf{\theta}$ が最大
⇔ 2$\scriptsize\sf{\theta}$ が最大
⇔ $\scriptsize\sf{\theta}$ が最大
⇔ ｍ=tan$\scriptsize\sf{\theta}$ が最大
④’より、ｍの最大値は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ であり、
最大値をとるのは④において、a=bのとき。
これと③より、ｍ’が最大となるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=b=\frac{1}{4}\ \ }\end{align*}}$
のときである。
市大の問題は、それほど難しくはないのですが、
なんとも答案が書きにくい問題が多いような気がします＾＾；
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- 2012/01/21(土) 23:57:00|
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第4問
確率pで表が出るコインが2枚ある。それらをA、Bとする。Xさんは表が
2回出るまでコインAを投げ続け、Yさんは表が3回出るまでコインBを
投げ続ける。次の問いに答えよ。
(1) Aの裏がちょうどｋ回出る確率akをpとｋを用いて表せ。
(2) Bの裏がちょうどｋ回出る確率bkをpとｋを用いて表せ。
(3) Aの裏が出る回数とBの裏が出る回数の和が3である確率cをpを
用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
1～ｋ+1回目に表1回と裏ｋ回が出て、ｋ+2回目に表が出ればよい。
ak=k+1C1 p(1－p)k･p
=(ｋ+1)p2(1－p)k
(2)
1～ｋ+2回目に表2回と裏ｋ回が出て、ｋ+3回目に表が出ればよい。
bk=k+2C2 p2(1－p)k･p
= $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ (ｋ+2)(ｋ+1)p3(1－p)k
(3)
Aの裏が出る回数をx回、Bの裏が出る回数をy回とすると、
x+y=3となるのは、
(x，y)=(0，3)、(1，2)、(2，1)、(3，0)
の4通りの場合が考えられる。
それぞれの確率は、
a0 b3=p2・10p3(1－p)3
=10p5(1－p)3
a1 b2=2p2(1－p)・6p3(1－p)2
=12p5(1－p)3
a2 b1=3p2(1－p)2・3p3(1－p)
=9p5(1－p)3
a3 b0=4p2(1－p)3・p3
=4p5(1－p)3
よって、x+y=3となる確率cは、
c=a0 b3+a1 b2+a2 b1+a3 b0
=35p5(1－p)3
これは一番とっつきやすいと思います。
落とさないように！
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- 2012/01/22(日) 23:57:00|
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