第1問
次の に適する数を、解答用紙の同じ記号のついた の中に
記入せよ。
(2) 座標平面上の曲線C：y=xexの点(1，e)における法線をLとする。
Lとx軸の交点は( キ ，0)であり、Lとy軸の交点は(0， ク )
である。また、C、Lとy軸で囲まれた図形をDとすると、Dの面積は
ケ であり、Dをx軸のまわりで1回転させてできる回転体の体積
は コ である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2e^2+1\end{align*}}$ ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf e+\frac{1}{2e}\end{align*}}$ ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf e+\frac{1}{4e}-1\end{align*}}$ コ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{12}\left(9e^2+\frac{1}{e^2}+9\right)\end{align*}}$
【解説】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=xe^x\end{align*}}$ とおくと、導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=e^x+xe^x=\left(x+1\right)e^x\end{align*}}$
なので、法線Lの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-e=-\frac{1}{2e}\left(x-1\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-\frac{1}{2e}x+e+\frac{1}{2e}\end{align*}}$
キク
Lのx切片は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=-\frac{1}{2e}x+e+\frac{1}{2e}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\underline{\sf 2e^2+1}\end{align*}}$
Lのy切片は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\underline{\sf e+\frac{1}{2e}}\end{align*}}$
ケ
0≦x≦1の範囲でLは常にCの上側にあるので、
Dの面積をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^1\left(-\frac{1}{2e}x+e+\frac{1}{2e}-xe^x\right)dx\end{align*}}$
で求めることができる。
部分積分法より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int xe^xdx=xe^x-\int e^xdx=\left(x-1\right)e^x+C_1\end{align*}}$
なので（C1は積分定数）、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \left[-\frac{1}{4e}x^2+\left(e+\frac{1}{2e}\right)x-\left(x-1\right)e^x\right]_0^1\\ &=\sf \underline{\sf e+\frac{1}{4e}-1}\end{align*}}$
コ
Dの回転体の体積をVとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\pi\int_0^1\left\{\left(-\frac{1}{2e}x+e+\frac{1}{2e}\right)^2-\left(xe^x\right)^2\right\}dx\end{align*}}$
で求めることができる。
部分積分法より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int x^2e^{2x}dx&=\sf \frac{1}{2}x^2e^{2x}-\int xe^{2x}dx\\ &=\sf \frac{1}{2}x^2e^{2x}-\frac{1}{2}xe^{2x}+\frac{1}{2}\int e^{2x}dx\\ &=\sf \frac{1}{4}\left(2x^2-2x+1\right)e^{2x}+C_2\end{align*}}$
なので（C1は積分定数）、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf \pi\bigg[-\frac{2e}{3}\left(-\frac{1}{2e}x+e+\frac{1}{2e}\right)^3-\frac{1}{4}\left(2x^2-2x+1\right)e^{2x}\bigg]_0^1\\ &=\sf \underline{\sf \frac{\pi}{12}\left(9e^2+\frac{1}{e^2}+9\right)}\end{align*}}$
まぁよくある問題です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2016/02/20(土) 23:54:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2016(理工)
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第2問
複素数平面上の相異なる3点A(a)、B(b)、C(c)に対して
$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(3+9i\right)a-\left(8+4i\right)b+\left(5-5i\right)c=0\end{align*}}$
が成立するとき、次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{b-c}{a-c}\end{align*}}$ の実部と虚部を求めよ。
(2) ∠ACBと $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{BC}{AC}\end{align*}}$ を求めよ。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{AB}{AC}\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 5-5i=\left(8+4i\right)-\left(3+9i\right)\end{align*}}$ なので、与式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(3+9i\right)a-\left(8+4i\right)b+\left\{\left(8+4i\right)-\left(3+9i\right)\right\}c=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(3+9i\right)\left(a-c\right)=\left(8+4i\right)\left(b-c\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{b-c}{a-c}=\frac{3+9i}{8+4i}=\frac{3}{4}\cdot\frac{\left(1+3i\right)\left(2-i\right)}{\left(2+i\right)\left(2-i\right)}=\frac{3}{4}\left(1+i\right)\end{align*}}$
と変形できる。よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf Re\ \frac{b-c}{a-c}=\frac{3}{4}\ \ ,\ \ Im\ \frac{b-c}{a-c}=\frac{3}{4}}\end{align*}}$
(2)
(1)で求めた複素数を極形式で表すと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{b-c}{a-c}=\frac{3\sqrt2}{4}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \angle ACB=arg\ \frac{b-c}{a-c}=\underline{\sf \frac{\pi}{4}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{BC}{AC}=\left|\frac{b-c}{a-c}\right|=\underline{\sf \frac{3\sqrt2}{4}}\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3+9i=\left(8+4i\right)-\left(5-5i\right)\end{align*}}$ なので、与式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{\left(8+4i\right)-\left(5-5i\right)\right\}a-\left(8+4i\right)b+\left(5-5i\right)c=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(5-5i\right)\left(c-a\right)=\left(8+4i\right)\left(b-a\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{b-a}{c-a}=\frac{5-5i}{8+4i}=\frac{5}{4}\cdot\frac{\left(1-1i\right)\left(2-i\right)}{\left(2+i\right)\left(2-i\right)}=\frac{1}{4}\left(1-3i\right)\end{align*}}$
と変形できる。よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{AB}{AC}=\left|\frac{b-a}{c-a}\right|=\frac{1}{4}\sqrt{1^2+3^2}=\underline{\sf \frac{\sqrt{10}}{4}}\end{align*}}$
式の変形さえできれば、難しい問題じゃありません。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2016/02/20(土) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2016(理工)
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第3問
実数tに対して、直線L：y=x+t と直線m：y=-x+$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{t^2+4}\end{align*}}$ を考える。
次の問いに答えよ。
(1) 2直線L、mの交点Pの座標をtを用いて表せ。また、直線Lとx軸
との交点Qの座標をtを用いて表せ。
(2) tが実数全体を動くとき、点Pの軌跡を求めよ。
(3) tが-$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt5\end{align*}}$≦t≦0の範囲で動くとき、線分PQが通過する領域の面積
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L:y=x+t\ \ ,\ \ m:y=-x+\sqrt{t^2+4}\end{align*}}$
(1)
2直線の式を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=x+t=-x+\sqrt{t^2+4}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{\sqrt{t^2+4}-t}{2}\ ,\ y=\frac{\sqrt{t^2+4}+t}{2}\end{align*}}$
また、Lのx切片は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=x+t\ \ \Leftrightarrow\ \ x=-t \end{align*}}$
なので、点P、Qの座標はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P\left(\frac{\sqrt{t^2+4}-t}{2}\ ,\ \frac{\sqrt{t^2+4}+t}{2}\right)\ \ ,\ \ Q\left(-t\ ,\ 0\right)}\end{align*}}$
(2)
点Pの座標を(X，Y)とおくと、(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=\frac{\sqrt{t^2+4}-t}{2}\ ,\ Y=\frac{\sqrt{t^2+4}+t}{2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y-X=\frac{\sqrt{t^2+4}-t}{2}+\frac{\sqrt{t^2+4}+t}{2}=t\end{align*}}$ ．
これを代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=\frac{\sqrt{\left(Y-X\right)^2+4}-\left(Y-X\right)}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ X+Y=\sqrt{\left(Y-X\right)^2+4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(X+Y\right)^2=\left(Y-X\right)^2+4\ \ ,\ \ X+Y\geqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ XY=1\ \ ,\ \ Y\geqq -X\end{align*}}$
となるので、点P(X，Y)の軌跡は、
双曲線xy=1のy≧-xを満たす部分
である（右図）。
(3)
t=0に対応する直線L、点P、QをそれぞれL0、P0、Q0とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_0:y=x\ \ ,\ \ P_0\left(1,1\right)\ \ ,\ \ Q_0\left(0,0\right)\end{align*}}$
t=-$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt5\end{align*}}$ に対応する直線L、点P、QをそれぞれL1、P1、Q1とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_1:y=x-\sqrt5\ \ ,\ \ P_1\left(\frac{3+\sqrt5}{2},\frac{3-\sqrt5}{2}\right)\ \ ,\ \ Q_1\left(\sqrt5,0\right)\end{align*}}$
tが-$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt5\end{align*}}$≦t≦0の範囲で動くとき、Pは(2)で求めた曲線（Cとする）上を
P1からP0まで動き、Qはx軸上をQ1からQ0まで動く。
よって、このとき線分PQが通過する部分は下図のようになる。
この面積をSとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \frac{1}{2}\cdot 1^2+\int_1^{\frac{3+\sqrt5}{2}}\frac{1}{x}\ dx-\frac{1}{2}\left(\frac{3+\sqrt5}{2}-\sqrt5\right)^2\\ &=\sf \frac{1}{2}+\bigg[\log |x|\bigg]_1^{\frac{3+\sqrt5}{2}}-\frac{7-3\sqrt5}{4}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{3\sqrt5-5}{4}+\log\frac{3+\sqrt5}{2}}\end{align*}}$
これはそれほど難しくありませんね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2016/02/21(日) 23:54:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2016(理工)
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第4問
2以上の自然数nに対し、
$\small\sf{\begin{align*} \sf F_n(\theta)=\frac{\sin n\theta}{\sin\theta}\ \ \ \left(0<\theta<\pi\right)\end{align*}}$
として、次の問いに答えよ。
(1) n≧3のとき、Fn+1($\small\sf{\theta}$ )-Fn-1($\small\sf{\theta}$ )をcosn$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。
(2) nが偶数のとき、Fn($\small\sf{\theta}$ )をcos$\small\sf{\theta}$ 、cos2$\small\sf{\theta}$ 、cos3$\small\sf{\theta}$ 、・・・、
cos(n-1)$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。
(3) mを自然数とするとき、数学的帰納法を用いて、等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf F_{2^m}\left(\theta\right)=2^m\cos\theta\cos 2\theta\cos 2^2\theta\ldots\cos 2^{m-1}\theta\end{align*}}$
が成立することを示せ。
(4) 自然数k、Lに対して、定積分$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi}\cos kx\cos Lx\ dx\end{align*}}$ を求めよ。
(5) 自然数mに対して、定積分$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi}\left(\cos x\cos 2x\cos 2^2x\ldots \cos 2^{m-1}x\right)^2dx\end{align*}}$
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
和→積の公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf F_{n+1}(\theta)-F_{n-1}(\theta)&=\sf \frac{\sin\left(n+1\right)\theta-\sin\left(n-1\right)\theta}{\sin\theta}\\ &=\sf \frac{2\cos n\theta\sin\theta}{\sin\theta}\\ &=\sf \underline{\sf 2\cos n\theta}\end{align*}}$
(2)
(1)より、n≧4の偶数nに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F_{n}(\theta)-F_{n-2}(\theta)=2\cos\left(n-1\right)\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F_{n-2}(\theta)-F_{n-4}(\theta)=2\cos\left(n-3\right)\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F_{n-4}(\theta)-F_{n-6}(\theta)=2\cos\left(n-5\right)\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F_{6}(\theta)-F_{4}(\theta)=2\cos 5\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F_{4}(\theta)-F_{2}(\theta)=2\cos 3\theta\end{align*}}$
が成り立ち、これらの式の和をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F_n(\theta)=F_2(\theta)+2\left\{\cos 3\theta+\cos 5\theta+\ldots +\cos (n-1)\theta\right\}\end{align*}}$
を得る。ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F_2(\theta)=\frac{\sin 2\theta}{\sin\theta}=\frac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin\theta}=2\cos\theta\end{align*}}$ ・・・・・・(#)
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F_n(\theta)=\underline{\sf 2\left\{\cos\theta+\cos 3\theta+\cos 5\theta+\ldots +\cos (n-1)\theta\right\}}\end{align*}}$
これはn=2のときも成り立つ。
(3)
(ⅰ) m=2のときは、(#)よりOK
(ⅱ) m=Mのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F_{2^M}\left(\theta\right)=\frac{\sin 2^M\theta}{\sin\theta}=2^M\cos\theta\cos 2\theta\cos 2^2\theta\ldots\cos 2^{M-1}\theta\end{align*}}$
が成り立つと仮定すると、倍角公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf F_{2^{M+1}}(\theta)&=\sf \frac{\sin2^{M+1}\theta}{\sin\theta}\\ &=\sf \frac{2\sin2^M\theta\cos2^M\theta}{\sin\theta}\\ &=\sf 2\cdot F_{2^M}(\theta)\cdot\cos2^M\theta\\ &=\sf 2^{M+1}\cos\theta\cos 2\theta\cos 2^2\theta\ldots\cos 2^{M-1}\theta\cos2^M\theta \end{align*}}$
となるので、m=M+1のときも成り立つ。
以上より、任意の自然数mに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F_{2^m}\left(\theta\right)=2^m\cos\theta\cos 2\theta\cos 2^2\theta\ldots\cos 2^{m-1}\theta\end{align*}}$
が成立する。
(4)
(Ⅰ) k=Lのとき
半角公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^{\pi}\cos^2kx\ dx&=\sf \int_0^{\pi}\frac{1+\cos2x}{2}dx\\ &=\sf \frac{1}{2}\left[x+\frac{1}{2}\sin2x\right]_0^{\pi}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{\pi}{2}}\end{align*}}$
(Ⅱ) k≠Lのとき
積→和の公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^{\pi}\cos kx\cos Lx\ dx&=\sf \int_0^{\pi}\frac{\cos\left(k+L\right)x+\cos\left(k-L\right)x}{2}dx\\ &=\sf \frac{1}{2}\left[\frac{1}{k+L}\sin\left(k+L\right)x+\frac{1}{k-L}\sin\left(k-L\right)x\right]_0^{\pi}\\ &=\sf \underline{\sf 0}\end{align*}}$
(5)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi}\left(\cos x\cos 2x\cos 2^2x\ldots \cos 2^{m-1}x\right)^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi}\left(\frac{1}{2^m}\ F_{2^m}(x)\right)^2dx\end{align*}}$ ←(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2^{2m}}\int_0^{\pi}\bigg\{2\left(\cos\theta+\cos 3\theta+\ldots +\cos (2^m-1)\theta\right)\bigg\}^2dx\end{align*}}$ ←(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2^{2m-2}}\int_0^{\pi}\left\{\cos^2\theta+\cos^2 3\theta+\ldots +\cos^2 (2^m-1)\theta\right\}dx\end{align*}}$ ←(4)(Ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2^{2m-2}}\cdot \frac{\pi}{2}\cdot 2^{m-1}\end{align*}}$ ←(4)(Ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\sf \frac{\pi}{2^m}}\end{align*}}$
(4)の場合分けに気づきましょう。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2016/02/21(日) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2016(理工)
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
