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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2016同志社大 理系(全学部) 数学1



第1問

  次の    に適する数または式を、解答用紙の同じ記号のついた
      の中に記入せよ。

 (1) 0≦$\small\sf{\theta}$ ≦ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ とする。関数 $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (\theta)=\sin\theta+\sqrt3\cos\theta\end{align*}}$ は最小値 ア 
    $\small\sf{\theta}$ = イ  でとる。関数 $\small\sf{\begin{align*} \sf g\ (\theta)=\sqrt3\ f\ (\theta)-2\cos\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)\end{align*}}$ は最小値
     ウ  を$\small\sf{\theta}$ = エ  でとる。

 (2) 箱から玉を1個取り出し、この玉に1個の玉を新たに加えた合計2個の玉
    を箱に戻す試行を繰り返す。新たに加える玉の色は白あるいは黒のみと
    する。最初に、2個の白玉と3個の黒玉が入っている箱を考える。新たに
    加える玉の色は取り出した玉と同色とすると、3回目の試行において白玉
    を取り出す確率は オ  、n回目の試行において白玉を取り出す確率Pn
    は カ  、極限 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\end{align*}}$ Pn キ  である。
    次に、3個の白玉と4個黒玉が入っている箱を考える。新たに
    加える玉の色は取り出した玉と異なる色とすると、3回目の試行において
    白玉を取り出す確率は ク  、n回目の試行において白玉を取り出す確率
    をQnとすると、Qnは漸化式 Qn=  ケ  Qn-1+ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6+n}\end{align*}}$ (n≧2)を満たし、
    極限 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\end{align*}}$ Qn コ  である。
         


2016同志社大 理系(全学部) 数学2



第2問

  次の問いに答えよ。

 (1) 関数 $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (u)=\log\left(\sqrt{u}+1\right)-\log\left(\sqrt{u}+1\right)\end{align*}}$ の導関数f’(u)を求めよ。

 (2) 関数 $\small\sf{\begin{align*} \sf F\ (x)=\log\left(\sqrt{e^{2x}+1}-1\right)-\log\left(\sqrt{e^{2x}+1}+1\right)\end{align*}}$ の導関数F’(x)
    を求めよ。

 (3) 等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{e^{2x}+1}=\frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}+1}}+\frac{1}{\sqrt{e^{2x}+1}}\end{align*}}$ を用いて、不定積分$\small\sf{\begin{align*} \sf \int\sqrt{e^{2x}+1}\ dx\end{align*}}$
    を求めよ。

 (4) 曲線 $\small\sf{\begin{align*} \sf y=e^x\ \ \left(\frac{1}{2}\log 8\leqq x\leqq\frac{1}{2}\log 24\right)\end{align*}}$ の長さを求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2016/02/18(木) 23:51:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2016(全学部)
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2016同志社大 理系(全学部) 数学3



第3問

  座標空間内の2点A(0,1,5)、B(5,6,0)を通る直線をLとする。
  点P(4,8,13)および直線L上の2点Q、Rを頂点とする△PQRが
  正三角形であるとする。次の問いに答えよ。

 (1) 直線Lに点Pから垂線を下ろし、直線Lとの交点をHとする。点H
    の座標を求めよ。

 (2) 正三角形PQRの一辺の長さを求めよ。

 (3) 四面体PQRSが正四面体になるようなすべての点Sの座標を求
    めよ。




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  1. 2016/02/18(木) 23:54:00|
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2016同志社大 理系(全学部) 数学4



第4問

  nを自然数、kを0以上の整数とする。また
         $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)\left| x\sin\left(nx\right)\right|\ \ ,\ \ x_k=\frac{k\pi}{n}\ ,\ \alpha_k=\frac{x_k+x_{k+1}}{2}\end{align*}}$
  とする。次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf T_k=\int_{x_k}^{\alpha _k}f\ (x)\ dx\end{align*}}$ とする。Tkをn、kを用いて表し、極限$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=0}^n T_k\end{align*}}$
    を求めよ。

 (2) xk≦x≦xk+1の範囲で、関数f(x)が最大値をとるときのxの値を
    $\small\sf{\beta}$ kとする。$\small\sf{\begin{align*} \sf U_k=\int_{x_k}^{\beta _k}f\ (x)\ dx\end{align*}}$ とおくと、ある定数bを用いて、
    $\small\sf{\begin{align*} \sf U_k=\frac{k\pi +b\left|\sin\left(n\beta _k\right)\right|}{n^2}\end{align*}}$ と表される。定数bの値を求めよ。
    また、極限$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=0}^n U_k\end{align*}}$ を求めよ。

 (3) xk≦x≦$\small\sf{\alpha}$ kの範囲で、関数 $\small\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=\left|x\cos\left(nx\right)\right|\end{align*}}$ が最大値をとる
    ときのxの値を$\small\sf{\gamma}$ kとする。この$\small\sf{\gamma}$ kと(2)の$\small\sf{\beta}$ kに対して
    $\small\sf{\begin{align*} \sf V_k=\int_{\gamma _k}^{\beta _k}f\ (x)\ dx\end{align*}}$ とおく。極限$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=0}^n V_k\end{align*}}$ を求めよ。



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  1. 2016/02/19(金) 23:57:00|
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