第1問
1から20までの整数を1つずつ書いた20枚のカードが入った袋がある。
その袋からカードを2回引く。ただし、1回目に引いたカードを袋に戻して
から2回目のカードを引く。1回目に引いたカードに書かれた整数をaとし、
2回目に引いたカードに書かれた整数をbとする。
(1) a、bが2または3を公約数にもつ確率を求めよ。
(2) a、bが2または3または5を公約数にもつ確率を求めよ。
(3) nを2以上40以下の整数とする。a+b=nとなる確率を、nを用いて表せ。
(5) nを1以上20以下の整数とする。a、bの最小値がn以下となる確率を、
nを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
2数a、bの決め方の総数は202通り
(1)
1～20に、2の倍数は10個、3の倍数は6個、6の倍数は3個あるので、
aとbが2を公約数にもつ場合は 102通り
aとbが3を公約数にもつ場合は 62通り
aとbが2と3を公約数にもつ場合は 32通り
よって、a、bが2または3を公約数にもつ確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{10^2+6^2-3^2}{20^2}=\underline{\sf \frac{127}{400}}\end{align*}}$
(2)
1～20に、5の倍数は4個、10の倍数は2個、15の倍数は1個あり、
30の倍数はないので、
aとbが5を公約数にもつ場合は 42通り
aとbが2と5を公約数にもつ場合は 22通り
aとbが3と5を公約数にもつ場合は 12通り
よって、a、bが2または3または5を公約数にもつ確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{10^2+6^2+4^2-3^2-2^2-1^2}{20^2}=\underline{\sf \frac{69}{200}}\end{align*}}$
(3)
(ⅰ) 2≦n≦21のとき、a+b=nとなるa、bの組は
(a，b)=(1，n-1)、(2，n-2)、…、(n-1，1)
のn-1通りあるので、求める確率は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \frac{n-1}{400}}\end{align*}}$
(ⅱ) 21＜n≦40のとき、a+b=nとなるa、bの組は
(a，b)=(20，n-20)、(19，n-19)、…、(n-20，20)
の41-n通りあるので、求める確率は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \frac{41-n}{400}}\end{align*}}$
(4)
a、bの最小値がn以下となる事象の余事象は、
n+1≦a≦20 かつ n+1≦b≦20
を満たす場合なので、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\left(\frac{20-n}{20}\right)^2=\underline{\sf \frac{40n-n^2}{400}}\end{align*}}$
(3)を強引にまとめてしまうと
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{20-\left|n-21\right|}{400}\end{align*}}$
となります。
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- 2016/08/12(金) 23:57:00|
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第2問
実数a，bに対して、座標空間の3点O(0，0，0)、P(1，0，a)、Q(0，2，b)
を考える。三角形OPQの面積をSとする。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ のなす角を$\small\sf{\theta}$ とするとき、cos$\small\sf{\theta}$ をa、bを用いて表せ。
(2) Sをa、bを用いて表せ。
(3) 3点O、P、Qが定める平面上に点R(1，1，1)があるとき、aとbの関係を
求め、Sの最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\left(1,0,a\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OQ}=\left(0,2,b\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OP}|=\sqrt{a^2+1}\ \ ,\ \ |\overrightarrow{\sf OQ}|=\sqrt{b^2+4}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OQ}=ab\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta=\frac{\overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OQ}}{|\overrightarrow{\sf OP}||\overrightarrow{\sf OQ}|}=\underline{\sf \frac{ab}{\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+4\right)}}}\end{align*}}$
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin\theta&=\sf \sqrt{1-\cos^2\theta}\ \ (>0)\\ &=\sf \sqrt{1-\left(\frac{ab}{\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+4\right)}}\right)^2}\\ &=\sf \sqrt{\frac{4a^2+b^2+4}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+4\right)}}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \frac{1}{2}|\overrightarrow{\sf OP}||\overrightarrow{\sf OQ}|\sin\theta\\ &=\sf \frac{1}{2}\sqrt{a^2+1}\cdot\sqrt{b^2+4}\cdot\sqrt{\frac{4a^2+b^2+4}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+4\right)}}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{1}{2}\sqrt{4a^2+b^2+4}}\end{align*}}$
(3)
4点O、P、Q、Rが同一平面上にあるので、実数s、tを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=s\overrightarrow{\sf OP}+t\overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(0,2,b\right)=s\left(1,0,a\right)+t\left(1,1,1\right)=\left(s+t,t,sa+t\right)\end{align*}}$
と表すことができる。両辺の成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=s+t\end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2=t\end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=sa+t\end{align*}}$
これを解くと、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=-2\ \ ,\ \ t=2\end{align*}}$ より、aとbについての関係式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf b=-2a+2}\end{align*}}$
を得る。
これを(2)に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \frac{1}{2}\sqrt{4a^2+\left(-2a+2\right)^2+4}\\ &=\sf \sqrt{2a^2-2a+2}\\ &=\sf \sqrt{2\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{2}}\end{align*}}$
となるので、Sの最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{min}=\underline{\sf \sqrt{\frac{3}{2}}}\ \ \ \ \left(a=\frac{1}{2}\ ,\ b=1\right)\end{align*}}$
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- 2016/08/13(土) 23:57:00|
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第3問
以下の問に答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^x\sin^3tdt\end{align*}}$ を求めよ。
(2) 関数 $\small\sf{\begin{align*} \sf F(x)=\int_0^x\left(e^{3x}-e^{3t}\right)\sin^3tdt\end{align*}}$ をxについて微分せよ。
(3) F’(x)≧0を証明せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\cos t\ \ ,\ \ \frac{ds}{dt}=-\sin t\end{align*}}$
と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^x\sin^3tdt&=\sf \int_{\cos 0}^{\cos x}\sin^3t\cdot\frac{ds}{-\sin t}\\ &=\sf \int_{\cos 0}^{\cos x}\left(-\sin^2t\right)ds\\ &=\sf \int_{\cos 0}^{\cos x}\left(\cos^2t-1\right)ds\\ &=\sf \int_{\cos 0}^{\cos x}\left(s^2-1\right)ds\\ &=\sf \left[\frac{1}{3}s^3-s\right]_{\cos 0}^{\cos x}\\ &=\sf \underline{\frac{1}{3}\left(\cos^3x-3\cos x+2\right)}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf F(x)&=\sf \int_0^x\left(e^{3x}-e^{3t}\right)\sin^3tdt\\ &=\sf e^{3x}\int_0^x\sin^3tdt-\int_0^xe^{3t}\sin^3tdt \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf F\ '(x)&=\sf 3e^{3x}\int_0^x\sin^3tdt+e^{3x}\sin^3x-e^{3x}\sin^3x\\ &=\sf 3e^{3x}\int_0^x\sin^3tdt\\ &=\sf \underline{\sf e^{3x}\left(\cos^3x-3\cos x+2\right)}\ \ \ \left(\because\ (1)\right)\end{align*}}$
(3)
(2)で求めたF’(x)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ '(x)=e^{3x}\left(\cos x-1\right)^2\left(\cos x+2\right)\end{align*}}$
と因数分解でき、-≦cosx≦1かつe3x＞0より、F’(x)≧0が成り立つ。
(1)は3倍角の公式を用いても解けます。
(3) 因数分解に気づかない場合
・F’(x)の( )内をそのまま微分する
・関数f(x)=x3-3x+2 （－1≦x≦1）の増減を調べる
などの方法が考えられます。
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- 2016/08/14(日) 23:57:00|
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第4問
nを2以上の自然数とする。
(1) 方程式zn=1をみたす複素数zをすべて求めよ。
(2) c0、c1、・・・、cnを実数かつc0≠0とする。方程式
$\small\sf{\begin{align*} \sf c_0z^n+c_1z^{n-1}+\ldots +c_n=0\end{align*}}$
のすべての解を$\small\sf{\alpha}$ 1、$\small\sf{\alpha}$ 2、・・・、$\small\sf{\alpha}$ nとするとき、$\small\sf{\alpha}$ 1+$\small\sf{\alpha}$ 2+・・・+$\small\sf{\alpha}$ nを
c0、c1、・・・、cnを用いて表せ。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{n-1}\cos\frac{2k\pi}{n}\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
iを虚数単位とする。 実数r（＞0）と$\scriptsize\sf{\theta}$ を用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z=r\left(\cos\theta+i\ \sin\theta\right)\end{align*}}$
とおくと、ド・モアブルの定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z^n=1\ \ \Leftrightarrow\ \ r^n\left(\cos n\theta+i\ \sin n\theta\right)=\cos 0+i\ \sin 0\end{align*}}$
両辺の絶対値および偏角を比較すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r^n=1\ \ \Leftrightarrow\ \ r=1\ (>0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf n\theta=2k\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=\frac{2k\pi}{n}\ \ \left(k=1,2,\ldots ,n\right)\end{align*}}$
よって、方程式zn=1の解は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z=\underline{\sf \cos\frac{2k\pi}{n}+i\ \sin\frac{2k\pi}{n}\ \ \left(k=1,2,\ldots ,n\right)}\end{align*}}$
(2)
与えられた方程式の左辺は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_0z^n+c_1z^{n-1}+\ldots +c_n=c_0\left(z-\alpha_1\right)\left(z-\alpha_2\right)\ldots\left(z-\alpha_n\right)\end{align*}}$
と変形できるので、両辺のzn-1の項の係数を比較すると、
c0≠0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_1=-c_0\left(\alpha_1+\alpha_2+\ldots +\alpha_n\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ \alpha_1+\alpha_2+\ldots +\alpha_n=-\frac{c_1}{c_0}}\end{align*}}$
(3)
(2)において、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_0=1\ ,\ c_1=c_2=\ldots c_{n-1}=0\ ,\ c_n=-1\end{align*}}$
とすると、方程式zn=1のすべての解の和は、(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\left(\cos\frac{2k\pi}{n}+i\ \sin\frac{2k\pi}{n}\right)=-\frac{c_1}{c_0}=0\end{align*}}$
両辺の実部を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sf \sum_{k=1}^n\cos\frac{2k\pi}{n}=\left(\sum_{k=1}^{n-1}\cos\frac{2k\pi}{n}\right)+\cos 2\pi=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sum_{k=1}^{n-1}\cos\frac{2k\pi}{n}=-\cos 2\pi=\underline{\sf -1}\end{align*}}$
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- 2016/08/15(月) 23:57:00|
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