第1問 (理学部)
三角形ABCにおいて、辺ABを2：3に内分する点をP、辺ACを1：2に
内分する点をQとする。正の数mに対して、線分PCをm：1 に内分する
点をRとする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ =$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ =$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ とおく。次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AQ}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf QR}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ 、mを用いて表せ。
(3) |$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ |=3、|$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ |=2、∠BAC=60°であり、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf QR}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$ は垂直であるとき、
mの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
Pは辺ABを2：3に内分する点、Qは辺ACを1：2に内分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \overrightarrow{\sf AP}=\frac{2}{5}\overrightarrow{\sf b}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AQ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\sf c}}\end{align*}}$
(2)
Rは辺PCをm：1に内分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AR}=\frac{\overrightarrow{\sf AP}+m\overrightarrow{\sf AC}}{m+1}=\frac{2\overrightarrow{\sf b}+5m\overrightarrow{\sf c}}{5\left(m+1\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf QR}&=\sf \overrightarrow{\sf AR}-\overrightarrow{\sf AQ}\\ &=\sf \frac{2\overrightarrow{\sf b}+5m\overrightarrow{\sf c}}{5\left(m+1\right)}-\frac{1}{3}\overrightarrow{\sf c}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{6\overrightarrow{\sf b}+5\left(2m-1\right)\overrightarrow{\sf c}}{15\left(m+1\right)}}\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=3\cdot 2\cos 60^{\circ}=3\end{align*}}$
QRとBCが垂直なので、内積を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf QR}\cdot\overrightarrow{\sf BC}=\frac{6\overrightarrow{\sf b}+5\left(2m-1\right)\overrightarrow{\sf c}}{15\left(m+1\right)}\cdot\left(\overrightarrow{\sf c}-\overrightarrow{\sf b}\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 6\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}-6|\overrightarrow{\sf b}|^2+5\left(2m-1\right)|\overrightarrow{\sf c}|^2-5\left(2m-1\right)\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 18-54+20\left(2m-1\right)-15\left(2m-1\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf m=\frac{41}{10}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2016/08/02(火) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .奈良女子大 前期 2016
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第2問 (理学部)
座標平面上に3点A(t，1)、B(-1，0)、C(1，0)がある。ここで、tは実数
全体を動くものとする。三角形ABCの重心をD、外心をEとする。次の問
いに答えよ。
(1) 点Dと点Eの座標をtを用いて表せ。
(2) 線分DEの長さの2乗をtを用いて表し、それをf(t)とおく。関数y= f(t)
の増減、極値、グラフの凹凸および変曲点を調べて、そのグラフをかけ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
Dは△ABCの重心なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D\left(\frac{t-1+1}{3}\ ,\ \frac{1+0+0}{3}\right)=\underline{\sf \left(\frac{t}{3}\ ,\ \frac{1}{3}\right)}\end{align*}}$
一方、△ABCの外心Eは、辺BCの垂直二等分線上、すなわちy軸上に
あるので、その座標は(0，e)と表せる。よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AE=CE&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(t-0\right)^2+\left(1-e\right)^2=\left(1-0\right)^2+\left(0-e\right)^2 \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf e=\frac{t^2}{2}\end{align*}}$
より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf E\left(0\ ,\ \frac{t^2}{2}\right)}\end{align*}}$
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(t)=\left(0-\frac{t}{3}\right)^2+\left(\frac{t^2}{3}-\frac{1}{3}\right)^2=\frac{t^4}{4}-\frac{2}{9}t^2+\frac{1}{9}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(t)=t^3-\frac{4}{9}t=t\left(t-\frac{2}{3}\right)\left(t+\frac{2}{3}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(t)=3t^2-\frac{4}{9}\end{align*}}$
これらより、t≧0におけるf(t)の増減および凹凸は次のようになる。
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(-t)=\frac{\left(-t\right)^4}{4}-\frac{2}{9}\left(-t\right)^2+\frac{1}{9}=\frac{t^4}{4}-\frac{2}{9}t^2+\frac{1}{9}=f(t)\end{align*}}$
なので、y=f(t)のグラフはy軸について対称である。よって、
【極大値】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(0)=\underline{\sf \frac{1}{9}}\end{align*}}$
【極小値】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(\pm\frac{2}{3}\right)=\underline{\sf \frac{5}{81}}\end{align*}}$
【変曲点】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\pm\frac{2\sqrt3}{9}\ ,\ f\left(\pm\frac{2\sqrt3}{9}\right)\right)=\underline{\sf \left(\pm\frac{2\sqrt3}{9}\ ,\ \frac{61}{729}\right)}\end{align*}}$
また、y=f(t)のグラフの概形は下図のようになる。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2016/08/03(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .奈良女子大 前期 2016
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第3問 (理学部)
nを正の整数とする。1から6nまでの番号がつけられた6n枚のカードから
2枚を同時に選び、選んだ2枚の番号の積をXとする。Xが3の倍数となる
確率をPn、Xが6の倍数となる確率をQnとする。次の問いに答えよ。
(1) P1、Q1をそれぞれ求めよ。
(2) Pnをnを用いて表せ。
(3) Qnをnを用いて表せ。
(4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\end{align*}}$Pn、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\end{align*}}$Qnをそれぞれ求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
2枚の選び方の総数は、6C2=15通り。
Xが3の倍数になるような2枚の番号の組み合わせは
(1，3)、(1，6)、(2，3)、(2，6)、(3，4)、
(3，5)、(3，6)、(4，6)、(5，6)
の9通り。このうちXが6の倍数になるのは7通り。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_1=\frac{9}{15}=\underline{\sf \frac{3}{5}}\ \ ,\ \ Q_1=\underline{\sf \frac{7}{15}}\end{align*}}$
(2)
2枚の選び方の総数は、6nC215通り。
1から6nまでの整数ので、6で割ってk余る数全体の集合をAk
（k=0，1，2，…，5）とおくと、それぞれ集合の要素はすべてn個である。
Xが3の倍数にならないのは、選んだ2数がともに集合A1∪A2∪A4∪A5に
属する場合なので、4nC2通り。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_1&=\sf 1-\frac{_{4n}C_{2}}{_{6n}C_2}\\ &=\sf 1-\frac{4n\left(4n-1\right)}{6n\left(6n-1\right)}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{10n-1}{3\left(6n-1\right)}}\end{align*}}$
(3)
Xが6の倍数にならないのは、Xが2または3で割り切れないときである。
Xが2で割り切れないのは、選んだ2数がともに集合A1∪A3∪A5に
属する場合なので、3nC2通り。
Xが3で割り切れないのは、(2)と同様4nC2通り。
これらのうち、Xが2でも3でも割り切れないのは、選んだ2数がともに
集合A1∪A5に属する場合なので、2nC2通り。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Q_n&=\sf 1-\left(\frac{_{3n}C_2}{_{6n}C_2}+\frac{_{4n}C_2}{_{6n}C_2}-\frac{_{2n}C_2}{_{6n}C_2}\right)\\ &=\sf 1-\frac{3n\left(3n-1\right)+4n\left(4n-1\right)-2n\left(2n-1\right)}{6\left(6n-1\right)}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{15n-1}{6\left(6n-1\right)}}\end{align*}}$
(4)
(2)、(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}P_n&=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{10n-1}{3\left(6n-1\right)}\\ &=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{10-\frac{1}{n}}{3\left(6-\frac{1}{n}\right)}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{5}{9}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}Q_n&=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{15n-1}{6\left(6n-1\right)}\\ &=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{15-\frac{1}{n}}{6\left(6-\frac{1}{n}\right)}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{5}{12}}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2016/08/04(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .奈良女子大 前期 2016
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第4問 (生活環境部)
四面体ABCDにおいて、AB=3、AC=AD=5、BC=BD=4、CD=6
であるとする。次の問いに答えよ。
(1) 三角形BCDの面積を求めよ。
(2) 四面体ABCDの体積を求めよ。
(3) 辺CDの中点をM、点Bら直線AMへ下ろした垂線と直線AMの
交点をHとする。このとき、線分BHの長さを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
△BCDはBC=BD=4の二等辺三角形なので、CDの中点をMとすると、
BM⊥CD、 CM=DM=3
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BM=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt7\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle BCD=\frac{1}{2}\cdot6\cdot \sqrt7=\underline{\sf 3\sqrt7}\end{align*}}$
(2)
△ABCにおいて、
AB2+BC2=32+42=52=AC2
が成り立つので、AB⊥BCである。
同様に、△ABDにおいてもAB⊥BDとなるので、AB⊥平面BCDである。
よって、四面体ABCDにおいて、ABは△BCDを底面としたときの高さに
なるので、四面体ABCDの体積をVとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{1}{3}\cdot 3\sqrt7\cdot 3=\underline{\sf 3\sqrt7}\end{align*}}$
(3)
(1)と同様、△ACDも二等辺三角形なので、AM⊥CDであり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AM=\sqrt{5^2-3^2}=4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle ACD=\frac{1}{2}\cdot6\cdot 4=12\end{align*}}$
これと、BM⊥CDより平面ABM⊥CDなので、平面ABM⊥平面ACDである。
よって、BからAMへ下した垂線の足Hに対して、BH⊥平面ACDとなるので、
四面体ABCDにおいて、BHは△ACDを底面としたときの高さとなる。
このことと(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{1}{3}\cdot 12\cdot BH=3\sqrt7\ \ \Leftrightarrow\ \ BH=\underline{\sf \frac{3}{4}\sqrt7}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2016/08/05(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .奈良女子大 前期 2016
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第5問 (生活環境部)
aとdを整数とする。数列{an}を初項a、公差dの等差数列とする。
数列{an}の初項から第n項までの和をSnとする。次の問いに答えよ。
(1) Snをa、d、nを用いて表せ。
(2) n≦34 のときSn≦0、n≧35のときSn＞0であるとする。次の(ⅰ)、
(ⅱ)に答えよ。
(ⅰ) Snが最小となるnの値を求めよ。
(ⅱ) Snの最小値が-289のとき、aとdの値をそれぞれ求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
数列{an}を初項a、公差dの等差数列なので、一般項は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=a+\left(n-1\right)d\end{align*}}$
初項から第n項までの和は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\frac{n}{2}\left(a_1+a_n\right)=\underline{\sf \frac{n}{2}\bigg\{2a+\left(n-1\right)d\bigg\}}\end{align*}}$
(2)(ⅰ)
まず、 n≦34 のときSn≦0、n≧35のときSn＞0なのでd＞0である。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{34}=17\left(2a+33d\right)\leqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ a\leqq -\frac{33}{2}d\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{35}=35\left(a+17d\right)> 0\ \ \Leftrightarrow\ \ a>-17d\end{align*}}$
これらより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -17d\lt a\leqq -\frac{33}{2}d\end{align*}}$ ･･････(#)
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_n=a+\left(n-1\right)d<0&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf nd\lt d-a<18d\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf n<18\ \ \ \left(\because\ d>0\right)\end{align*}}$
なので、Snが最小になるのは、n=17のときである。
(2)(ⅱ)
(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{17}=\frac{17}{2}\left(2a+16d\right)=-289\ \ \Leftrightarrow\ \ a=-8d-17\end{align*}}$
これを(#)に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -17d<-8d-17\leqq -\frac{33}{2}d\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{17}{9}\lt d\leqq 2\end{align*}}$
dは整数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf d=2\ \ ,\ \ a=-33}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2016/08/06(土) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .奈良女子大 前期 2016
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第6問 (生活環境部)
6つの整数a、b、c、d、e、fはすべて0以上で、次の3条件（ア）、（イ）、
（ウ）をみたすとする。
（ア） a＞b＞c＞d
（イ） a=be+c
（ウ） b=cf+d
次の問いに答えよ。
(1) a=8 のとき、5つの整数b、c、d、e、fの組をすべて求めよ。
(2) c＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{2}\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。
(3) d＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{3}\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
整数b、c、dは8＞b＞c＞d≧0を満たすので、b=3，4，5，6，7である。
・b=7のとき
8=7・1+1、 7=1・7+0より、c=1，d=0，e=1，f=7
・b=6のとき
8=6・1+2、 6=2・3+0より、c=2，d=0，e=1，f=3
・b=5のとき
8=5・1+3、 5=3・1+2より、c=3，d=2，e=1，f=1
・b=4のとき
8=4・2+0より、c=0となるが、これはc＞d≧0を満たさない。
・b=3のとき
8=3・2+2、 3=2・1+1より、c=3，d=1，e=2，f=1
以上より、(b，c，d，e，f)の組は、
(7，1，0，1，7)、(6，2，0，1，3)、(5，3，2，1，1)、(3，2，1，2，1)
(2)
(ア)、(イ)より、be=a-c＞0 なので、e＞0すなわちe≧1である。
よって、
a=be+c≧b+c＞2c
なので、c＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{2}\end{align*}}$ が成り立つ。
(3)
(2)と同様に、d＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{b}{2}\end{align*}}$ が成り立つので、
a=be+c≧b+c＞2d+c＞3d
よって、d＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{3}\end{align*}}$ が成り立つ。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2016/08/07(日) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .奈良女子大 前期 2016
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
