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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2016京都工芸繊維大 後期数学1



第1問

  iを虚数単位とする。

 (1) $\small\sf{\alpha=1-\sqrt3\ i}$ とおく。次の条件(*)を満たす
    整数nをすべて求めよ。
    (*) $\small\sf{\alpha^n}$ は実数であり、不等式$\small\sf{\sf -1000\leqq \alpha^n\leqq -1}$ が成り立つ。

 (2) 次の条件(**)を満たす複素数z (z≠0)をすべて求めよ。
    (**) 複素数平面において3点$\small\sf{\begin{align*}\sf A(z)\ ,\ B(1)\ ,\ C\left( \frac{1}{z}\right)\end{align*}}$ が正三角形の
        異なる3頂点である。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2016/07/29(金) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都工芸繊維大 後期 2016
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2016京都工芸繊維大 後期数学2



第2問

  関数$\small\sf{\sf f(u)=3u^4+8u^3-2}$ と関数$\small\sf{\begin{align*} \sf g(x) =2\sin x-1\end{align*}}$ との合成関数$\small\sf{\begin{align*} \sf h(x)=f(g(x))\end{align*}}$
  を考える。

 (1) 区間 $\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{3}\lt x\lt\frac{2\pi}{3}\end{align*}}$ の範囲で関数h(x)の極値をすべて求めよ。

 (2) 定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{\pi}{2}}h(x)\sin 2xdx\end{align*}}$ を求めよ。



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  1. 2016/07/30(土) 23:57:00|
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2016京都工芸繊維大 後期数学3



第3問

  aを0<a<1を満たす実数とし、nを自然数とする。等式
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^nx^{4k-4}=\frac{1-x^{4n}}{1-x^4}\ \ \ \left(x^4\ne 1\right)\end{align*}}$
  の両辺をx=0からx=aまで積分すると、等式
         $\small\sf{\begin{align*} \sf (*)\ \sum_{k=1}^n\frac{a^{4k-3}}{4k-3}=\int_0^a\frac{1-x^{4n}}{1-x^4}\ dx\end{align*}}$
  が成り立つことが分かる。ただし、2行目の等式の左辺において、
  x0は1とする。

 (1) 次の不等式が成り立つことを示せ。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq\int_0^a\frac{x^{4n}}{1-x^4}dx\leqq\frac{1}{1-a^4}\cdot\frac{a^{4n+1}}{4n+1}\end{align*}}$

 (2) 等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{1-x^4}=A\left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}\right)+\frac{B}{1+x^2}\end{align*}}$ がxについての恒等式と
    なるような定数A、Bの値を求めよ。

 (3) a=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt3}\end{align*}}$ のとき、無限級数 $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty}\frac{a^{4k-3}}{4k-3}\end{align*}}$ の和を求めよ。ただし、(*)を
    証明なしに用いてよい。




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  1. 2016/07/31(日) 23:57:00|
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2016京都工芸繊維大 後期数学4



第4問

  自然数nに対し、(n+2)個の文字からなる文字列のうち、次の条件(ⅰ)
  および(ⅱ)を満たすものを考える。
   (ⅰ) どの文字もA、B、Cのいずれかである。
   (ⅱ) その文字列の中に同じ文字が続けて3つ以上並ぶことはない。
  このような文字列のうち、末尾の2文字が同じものの総数をpnとし、
  末尾の2文字が異なるものの総数をqnとする。

 (1) p1、q1を求めよ。

 (2) pn+1、qn+1をpn、qnを用いて表せ。

 (3) 数列{rn}、{sn} を
      $\small\sf{\sf r_n=q_n-(1-\sqrt3 )p_n\ ,\ \ s_n=q_n-(1+\sqrt3 )p_n}$
    で定める。{rn}、{sn}はいずれも等比数列であることを示せ。

 (4) pn、qnを求めよ。




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  1. 2016/08/01(月) 23:57:00|
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