第1問
iを虚数単位とする。
(1) $\small\sf{\alpha=1-\sqrt3\ i}$ とおく。次の条件(*)を満たす
整数nをすべて求めよ。
(*) $\small\sf{\alpha^n}$ は実数であり、不等式$\small\sf{\sf -1000\leqq \alpha^n\leqq -1}$ が成り立つ。
(2) 次の条件(**)を満たす複素数z （z≠0）をすべて求めよ。
(**) 複素数平面において3点$\small\sf{\begin{align*}\sf A(z)\ ,\ B(1)\ ,\ C\left( \frac{1}{z}\right)\end{align*}}$ が正三角形の
異なる3頂点である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha=1-\sqrt3\ i=2\left(\cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3}\right)\end{align*}}$
なので、ド・モアブルの定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha^n=2^n\left(￥cos\frac{n\pi}{3}-i\sin\frac{n\pi}{3}\right)\end{align*}}$
これが負の実数になるのは、kを整数として
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \arg \alpha^n=\frac{n\pi }{3}=\pi+2k\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ n=3\left(2k+1\right)\end{align*}}$
のときである。このとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha^n=-2^{3\left(2k+1\right)}\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^3=8\ \ ,\ \ 2^9=512\ \ ,\ \ 2^{15}=32768\end{align*}}$
なので、(*)を満たすnはn=3，9である。
(2)
△ABCは正三角形なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB=CB\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{AB}{CB}=\left|\frac{z-1}{\frac{1}{z}-1}\right|=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \angle ABC=\frac{\pi}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ \arg\frac{z-1}{\frac{1}{z}-1}=\pm\frac{\pi}{3}\end{align*}}$
これらより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{z-1}{\frac{1}{z}-1}=\cos\left(\pm\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\pm\frac{\pi}{3}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -z=\frac{1\pm\sqrt3\ i}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ z=\underline{\sf -\frac{1\pm\sqrt3\ i}{2}}\end{align*}}$
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- 2016/07/29(金) 23:57:00|
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第2問
関数$\small\sf{\sf f(u)=3u^4+8u^3-2}$ と関数$\small\sf{\begin{align*} \sf g(x) =2\sin x-1\end{align*}}$ との合成関数$\small\sf{\begin{align*} \sf h(x)=f(g(x))\end{align*}}$
を考える。
(1) 区間 $\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{3}\lt x\lt\frac{2\pi}{3}\end{align*}}$ の範囲で関数h(x)の極値をすべて求めよ。
(2) 定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{\pi}{2}}h(x)\sin 2xdx\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h(x)=3\left(2\sin x-1\right)^4+8\left(2\sin x-1\right)^3-2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h\ '(x)&=\sf \left\{12\left(2\sin x-1\right)^3+24\left(2\sin x-1\right)^2\right\}\cdot 2\cos x\\ &=\sf 24\left(2\sin x-1\right)^2\left(2\sin x+1\right)\cos x\end{align*}}$
より、h(x)の増減は次のようになる。
よって、極小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\left(-\frac{\pi}{6}\right)=f(-2)=\underline{\sf -18}\end{align*}}$
極大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\left(\frac{\pi}{2}\right)=f(1)=\underline{\sf 9}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf u=g(x)=2\sin x-1\ \ ,\ \ \frac{du}{dx}=2\cos x\end{align*}}$
と置換すると、x：0→$\scriptsize\sf{\pi}$ /2に対応するuはu：-1→1なので、
求める定積分をIとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf I&=\sf \int_0^{\pi/2}f\left(g(x)\right)\sin 2x\ dx\\ &=\sf \int_{-1}^1f\left(u\right)\cdot 2\sin x\cos x\cdot\frac{du}{2\cos x}\\ &=\sf \int_{-1}^1f(u)\sin x du\\ &=\sf \int_{-1}^1\left(3u^4+8u^3-2\right)\cdot\frac{u+1}{2}\ du\\ &=\sf \frac{1}{2}\int_{-1}^1\left(3u^5+11u^4+8u^3-2u-2\right)du\\ &=\sf \int_0^1\left(11u^4-2\right)du\\ &=\sf \bigg[\frac{11}{5}u^5-2u\bigg]_0^1\\ &=\sf \underline{\sf \frac{1}{5}} \end{align*}}$
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- 2016/07/30(土) 23:57:00|
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第3問
aを0＜a＜1を満たす実数とし、nを自然数とする。等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^nx^{4k-4}=\frac{1-x^{4n}}{1-x^4}\ \ \ \left(x^4\ne 1\right)\end{align*}}$
の両辺をx=0からx=aまで積分すると、等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf (*)\ \sum_{k=1}^n\frac{a^{4k-3}}{4k-3}=\int_0^a\frac{1-x^{4n}}{1-x^4}\ dx\end{align*}}$
が成り立つことが分かる。ただし、2行目の等式の左辺において、
x0は1とする。
(1) 次の不等式が成り立つことを示せ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq\int_0^a\frac{x^{4n}}{1-x^4}dx\leqq\frac{1}{1-a^4}\cdot\frac{a^{4n+1}}{4n+1}\end{align*}}$
(2) 等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{1-x^4}=A\left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}\right)+\frac{B}{1+x^2}\end{align*}}$ がxについての恒等式と
なるような定数A、Bの値を求めよ。
(3) a=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt3}\end{align*}}$ のとき、無限級数 $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty}\frac{a^{4k-3}}{4k-3}\end{align*}}$ の和を求めよ。ただし、(*)を
証明なしに用いてよい。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
0≦x≦a＜1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq 1-a^4\leqq 1-x^4\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leqq \frac{1}{1-x^4}\leqq \frac{1}{1-a^4}\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leqq \frac{x^{4n}}{1-x^4}\leqq \frac{x^{4n}}{1-a^4}\end{align*}}$
この不等式が0≦x≦aの範囲で常に成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq \int_0^a\frac{x^{4n}}{1-x^4}dx&\leqq \sf \int_0^a\frac{x^{4n}}{1-a^4}dx\\ &=\sf \frac{1}{1-a^4}\left[\frac{x^{4n+1}}{4n+1}\right]_0^a\\ &=\sf \frac{1}{1-a^4}\cdot\frac{a^{4n+1}}{4n+1}\end{align*}}$
よって、題意は示された。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{1-x^4}&=\sf A\left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}\right)+\frac{B}{1+x^2} \\ &=\sf \frac{2A}{1-x^2}+\frac{B}{1+x^2}\\ &=\sf \frac{2A\left(1+x^2\right)+B\left(1-x^2\right)}{\left(1-x^2\right)\left(1+x^2\right)}\\ &=\sf \frac{\left(2A-B\right)x^2+2A+B}{1-x^4}\end{align*}}$
これが任意のxに対して成り立つので、両辺の係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2A-B=2A+B-1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf A=\frac{1}{4}\ ,\ B=\frac{1}{2}}\end{align*}}$
(3)
求める和をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n\frac{a^{4k-3}}{4k-3}\\ &=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^a\frac{1-x^{4n}}{1-x^4}dx\ \ \ \left(\because\ (*)\ \right)\\ &=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^a\frac{1}{1-x^4}dx-\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^a\frac{x^{4n}}{1-x^4}dx\end{align*}}$
ここで、(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq \lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^a\frac{x^{4n}}{1-x^4}dx\leqq \frac{1}{1-a^4}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a^{4n+1}}{4n+1}\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a^{4n+1}}{4n+1}=0\ \ \ \ \left(\because\ 0\lt a=\frac{1}{\sqrt3}<1\right)\end{align*}}$
なので、はさみうちの原理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^a\frac{x^{4n}}{1-x^4}dx=0\end{align*}}$
である。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^a\frac{1}{1-x^4}dx\\ &=\sf \int_0^a\frac{1}{1-x^4}dx\\ &=\sf \int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\left\{\frac{1}{4}\left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}\right)+\frac{1}{2\left(1+x^2\right)}\right\}dx\ \ \ \ \left(\because\ (2)\right)\end{align*}}$
ここで
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\frac{1}{4}\left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}\right)dx&=\sf \frac{1}{4}\bigg[-\log\left|1-x\right|+\log\left|1+x\right|\bigg]_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\\ &=\sf \frac{1}{4}\left\{-\log\left(1-\frac{1}{\sqrt3}\right)+\log\left(1+\frac{1}{\sqrt3}\right)\right\}\\ &=\sf \frac{1}{4}\log\frac{1+\frac{1}{\sqrt3}}{1-\frac{1}{\sqrt3}}\\ &=\sf \frac{1}{4}\log\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\\ &=\sf \frac{1}{4}\log\left(\sqrt3+2\right)\end{align*}}$
一方、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\tan\theta\ \ ,\ \ \frac{dx}{d\theta}=\frac{1}{\cos^2\theta}\end{align*}}$
と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\frac{1}{2\left(1+x^2\right)}\ dx&=\sf \frac{1}{2}\int_0^{\pi /6}\frac{1}{1+\tan^2\theta}\cdot\frac{d\theta}{\cos^2\theta}\\ &=\sf \frac{1}{2}\int_0^{\pi /6}d\theta\\ &=\sf \frac{1}{2}\bigg[\ \theta\ \bigg]_0^{\pi /6}\\ &=\sf \frac{\pi}{12}\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\underline{\sf \frac{1}{4}\log\left(2+\sqrt3\right)+\frac{\pi}{12}}\end{align*}}$
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第4問
自然数nに対し、(n+2)個の文字からなる文字列のうち、次の条件(ⅰ)
および(ⅱ)を満たすものを考える。
(ⅰ) どの文字もA、B、Cのいずれかである。
(ⅱ) その文字列の中に同じ文字が続けて3つ以上並ぶことはない。
このような文字列のうち、末尾の2文字が同じものの総数をpnとし、
末尾の2文字が異なるものの総数をqnとする。
(1) p1、q1を求めよ。
(2) pn+1、qn+1をpn、qnを用いて表せ。
(3) 数列{rn}、{sn} を
$\small\sf{\sf r_n=q_n-(1-\sqrt3 )p_n\ ,\ \ s_n=q_n-(1+\sqrt3 )p_n}$
で定める。{rn}、{sn}はいずれも等比数列であることを示せ。
(4) pn、qnを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
以下、並べる文字を○、□、△の記号で書き、異なる記号は
異なる文字を表すことにする。
(1)
同じ文字が3文字続くことはないので、3文字の並べ方の総数は
33-3=24通り
このうち、末尾の2文字が同じものは
122、133、211、233、311、322
の6通りある。よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_1=\underline{\sf 6}\ \ ,\ \ q_1=24-6=\underline{\sf 18}\end{align*}}$
(2)
n+2文字並べたときの末尾2文字が ○○のとき、さらに1文字書き足すと
末尾3文字は ○○□ または ○○△ となる。
n+2文字並べたときの末尾2文字が ○□のとき、さらに1文字書き足すと
末尾3文字は ○□○ または ○□△ または ○□□ となる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf p_{n+1}=q_n\ \ ,\ \ q_{n+1}=2p_n+2q_n}\end{align*}}$
(3)
(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r_{n+1}&=\sf q_{n+1}-\left(1-\sqrt3\right)p_{n+1}\\ &=\sf \left(2p_n+2q_n\right)-\left(1-\sqrt3\right)q_n\\ &=\sf \left(1+\sqrt3\right)q_n+2p_n\\ &=\sf \left(1+\sqrt3\right)\left(q_n+\frac{2}{1+\sqrt3}p_n\right)\\ &=\sf \left(1+\sqrt3\right)\left\{q_n-\left(1-\sqrt3\right)p_n\right\}\\ &=\sf \left(1+\sqrt3\right)r_n\end{align*}}$
となるので、数列{rn}は公比1+$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ の等比数列をなす。
同様に計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s_{n+1}=\left(1-\sqrt3\right)s_n\end{align*}}$
となるので、数列{sn}は公比1-$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ の等比数列をなす。
(4)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r_1&=\sf q_1-\left(1-\sqrt3\right)p_1\\ &=\sf 18-6\left(1-\sqrt3\right)\\ &=\sf 3\left(4+2\sqrt3\right)\\ &=\sf 3\left(1+\sqrt3\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s_1&=\sf q_1-\left(1+\sqrt3\right)p_1\\ &=\sf 3\left(4-2\sqrt3\right)\\ &=\sf 3\left(1-\sqrt3\right)^2\end{align*}}$
これと(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r_n=\left(1+\sqrt3\right)^{n-1}r_1\ \ \Leftrightarrow\ \ q_1-\left(1-\sqrt3\right)p_n=3\left(1+\sqrt3\right)^{n+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s_n=\left(1-\sqrt3\right)^{n-1}s_1\ \ \Leftrightarrow\ \ q_1-\left(1+\sqrt3\right)p_n=3\left(1-\sqrt3\right)^{n+1}\end{align*}}$
これら2式の差をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt3\ p_n=3\left\{\left(1+\sqrt3\right)^{n+1}-\left(1-\sqrt3\right)^{n+1}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p_n=\underline{\sf \frac{\sqrt3}{2}\left\{\left(1+\sqrt3\right)^{n+1}-\left(1-\sqrt3\right)^{n+1}\right\}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_n=p_{n+1}=\underline{\sf \frac{\sqrt3}{2}\left\{\left(1+\sqrt3\right)^{n+2}-\left(1-\sqrt3\right)^{n+2}\right\}}\end{align*}}$
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- 2016/08/01(月) 23:57:00|
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