第1問
空間内の平面$\small\sf{\alpha}$ 上に平行四辺形OABCがあり、
OA=2、 OC=3、 ∠AOC= $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{3}\end{align*}}$
とする。点Cを通り$\small\sf{\alpha}$ に垂直な直線状に点Dがあり、
CD=1
とする。3点O、B、Dを通る平面を$\small\sf{\beta}$ とし、Cを通り$\small\sf{\beta}$ に垂直な直線との
交点をHとする。
(1) △OBDの面積を求めよ。
(2) 線分CHの長さを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
四角形OABCは平行四辺形なので、∠OCB= $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2\pi}{3}\end{align*}}$
△OBCにおいて余弦定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OB^2=3^2+2^2-2\cdot 3\cdot 2\cos\frac{2\pi}{3}=19\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ OB=\sqrt{19}\end{align*}}$
また、CD⊥$\scriptsize\sf{\alpha}$ より、∠OCD=∠BCD=90°なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OD=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\ \ ,\ \ BC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5\end{align*}}$
△OBDにおいて余弦定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\angle ODB=\frac{-\left(\sqrt{19}\right)^2+\left(\sqrt{10}\right)^2+\left(\sqrt5\right)^2}{2\sqrt{10}\cdot\sqrt5}=-\frac{\sqrt2}{5}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\angle ODB=\sqrt{1-\left(-\frac{\sqrt2}{5}\right)^2}=\frac{\sqrt{23}}{5}\ (>0)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OBD=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{10}\cdot\sqrt5\cdot\frac{\sqrt{23}}{5}=\underline{\sf \frac{\sqrt{46}}{2}}\end{align*}}$
(2)
四面体OBCDにおいて、
△OBCを底面とみなすとCDが高さになり、
△OBDを底面とみなすとCHが高さになるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OBC\times CD=\triangle OBD\times CH\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2\sin\frac{2\pi}{3}\right)\cdot 1=\frac{\sqrt{46}}{2}\cdot CH\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ CH=\underline{\sf \frac{3\sqrt{138}}{46}}\end{align*}}$
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- 2016/07/10(日) 23:57:00|
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第2問
aを実数とする。関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=e^{ax}\left(1-\frac{2}{x}\right)\ \ \ \left(x>0\right)\end{align*}}$
を考える。f’(x)=0となる正の実数xの個数をkとする。
(1) k=0となるようなaの値の範囲を求めよ。
(2) k=1となるようなaの値の範囲を求めよ。k=1のとき、f’(x)=0となる
正の実数xをtとする。関数f(x)がx=tにおいて極値をとるかどうかを
調べよ。
(3) k=2となるようなaの値の範囲を求めよ。k=2のとき、f’(x)=0となる
正の実数xをt1、t2 （t1＜t2）とする。関数f(x)がx=t1およびx=t2の
それぞれにおいて極値をとるかどうかを調べよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
f(x)の導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)&=\sf ae^{ax}\left(1-\frac{2}{x}\right)+e^{ax}\cdot\frac{2}{x^2}\\ &=\sf \frac{e^{ax}}{x^2}\left(ax^2-2ax+2\right)\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h(x)=ax^2-2ax+2=a\left(x-1\right)^2+2-a\ \ \ \left(x>0\right)\end{align*}}$
とおくと、x＞0の範囲で常に $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{e^{ax}}{x^2}>0\end{align*}}$ なので、
f’(x)の符号はh(x)の符号と一致し、
kは方程式h(x)=0の正の実数解の個数と一致する。
(1)
a=0のとき、h(x)=2≠0なので、k=0である。
a≠0のとき、放物線y=h(x)の軸はx=1なので、判別式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D/4=a^2-2a\end{align*}}$
を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=0\ \ \Leftrightarrow\ \ D/4<0\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt a<2\end{align*}}$
以上より、求めるaの値の範囲は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf 0\leqq a<2}\end{align*}}$
(2)
・a＜0のとき
放物線y=h(x)は上に凸であり、そのy切片は正なので、
方程式h(x)=0は正の解と負の解を1つずつもつ。
よって、このときk=1となる。
また、正の解をx=tとすると、
0＜x＜tの範囲でh(x)＞0
t＜xの範囲でh(x)＜0
となるので、f(x)はx=tで極大値をとる。
・a＞0のとき
放物線y=h(x)は下に凸であり、軸はx=1（＞0）なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ k=1\ \ \Leftrightarrow\ \ D/4=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a=2\end{align*}}$
このとき、つねにh(x)≧0なので、f(x)はx=tで極値をとらない。
(3)
a＞0のとき
放物線y=h(x)は上に凸であり、そのy切片は正、軸はx=1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ k=2\ \ \Leftrightarrow\ \ D/4>0\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \underline{\ 2\lt a}\end{align*}}$
このとき、h(x)=0の2解t1、t2 （t1＜t2）に対して、
x＜t1の範囲でh(x)＞0
t1＜x＜t2の範囲でh(x)＜0
t2＜xの範囲でh(x)＞0
なので、f(x)はx=t1で極大値、x=t2で極小値をとる。
a=0の場合を忘れないように。
グラフを描けば分かりやすいのですが、手抜きでスミマセン＾＾；；
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- 2016/07/11(月) 23:57:00|
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第3問
a、bを実数とする。0≦x≦$\small\sf{\pi}$ を定義域とする2つの関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\left\{\begin{matrix} \sf \frac{x\sin x}{1-\cos x}& \sf \left(0\lt x\leqq\pi\right)\\ \sf a& \sf \left(x=0\right)\end{matrix}\right.\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf g(x)=\left\{\begin{matrix} \sf \frac{\sin x}{\sqrt{x}}& \sf \left(0\lt x\leqq\pi\right)\\ \sf b& \sf \left(x=0\right)\end{matrix}\right.\end{align*}}$
を考える。f(x)、$\small\sf{\begin{align*} \sf g(x)\end{align*}}$ はともにx=0で連続であるとする。
(1) a、bの値を求めよ。
(2) xy平面において、連立不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \left\{\begin{matrix} \sf 0\leqq x\leqq\pi\\ \sf 0\leqq y\leqq f(x)g(x)\end{matrix}\right.\end{align*}}$
の表す領域Dを考える。Dをx軸のまわりに1回転してできる
回転体の体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f(x)はx=0で連続なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(0)=\lim_{x\rightarrow +0}f(x)\ \ \Leftrightarrow\ \ a&=\sf\lim_{x\rightarrow +0}\frac{x\sin x}{1-\cos x}\\ &=\sf \lim_{x\rightarrow +0} \frac{x\sin x\left(1+\cos x\right)}{1-\cos^2 x}\\ &=\sf \lim_{x\rightarrow +0} \frac{x}{\sin x}\cdot\left(1+\cos x\right)\\ &=\sf 1\cdot\left(1+1\right)\\ &=\sf \underline{\ 2} \end{align*}}$
また、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(x)\end{align*}}$ もx=0で連続なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g(0)=\lim_{x\rightarrow +0}g(x)\ \ \Leftrightarrow\ \ b&=\sf \lim_{x\rightarrow +0}\frac{\sin x}{\sqrt{x}}\\ &=\sf \lim_{x\rightarrow +0} \frac{\sin x}{x}\cdot\sqrt{x}\\ &=\sf 1\cdot 0\\ &=\sf \underline{\ 0} \end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)g(x)&=\sf \frac{x\sin x}{1-\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\sqrt{x}}\\ &=\sf \frac{\sqrt{x}\sin^2 x}{1-\cos x}\\ &=\sf \frac{\sqrt{x}\left(1-\cos^2 x\right)}{1-\cos x}\\ &=\sf \sqrt{x}\left(1+\cos x\right)\ (\geqq 0)\end{align*}}$
より、求める回転体の体積をVとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf \pi\int_0^{\pi}\left\{\sqrt{x}\left(1+\cos x\right)\right\}^2dx\\ &=\sf \pi\int_0^{\pi}\left(1+2\cos x+\cos^2x\right)dx\\ &=\sf \sf \pi\int_0^{\pi}x\left(1+2\cos x+\frac{1+\cos 2x}{2}\right)dx\\ &=\sf \sf \frac{\pi}{2}\int_0^{\pi}\left(3x+4x\cos x+x\cos 2x\right)dx\\ &=\sf \sf \frac{\pi}{2}\left[\frac{3x^2}{2}+4x\sin x+\frac{x}{2}\sin 2x\right]_0^{\pi}-\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi}\left(4\sin x+\frac{1}{2}\sin 2x\right)dx\\ &=\sf \frac{3\pi^3}{4}-\frac{\pi}{2}\left[-4\cos x-\frac{1}{4}\cos 2x\right]_0^{\pi}\\ &=\sf \underline{\ \frac{3\pi^3}{4}-4\pi}\end{align*}}$
(1) 連続の定義を覚えてますか？
(2) (1)が出来なくても解けます＾＾
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- 2016/07/12(火) 23:57:00|
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第4問
赤球、白球合わせて2個以上入っている袋に対して、次の操作(*)を考える。
(*)袋から同時に2個の球を取り出す。取り出した2個の球が同じ色である
場合は、その色の球を1個だけ袋に入れる。
赤球3個と白球2個が入っている袋に対して一度操作(*)を行い、その結果得
られた袋に対してもう一度操作(*)を行った後に、袋に入っている赤球と白球
の個数をそれぞれr、wとする。
(1) 赤球3個と白球2個が入っている袋から2個の球を取り出すとき、取り出した
赤球の個数がkである確率をpkとする。p0、p1、p2の値を求めよ。
(2) r=wとなる確率を求めよ。
(3) r＞wとなる確率を求めよ。
(4) r＞wであったときのr+w=2となる条件付き確率を求めよ。
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【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_0=\frac{_2C_2}{_5C_2}=\underline{\frac{1}{10}}\ \ ,\ \ p_1=\frac{_3C_1\cdot _2C_1}{_5C_2}=\underline{\frac{3}{5}}\ \ ,\ \ p_2=\frac{_3C_2}{_5C_2}=\underline{\frac{3}{10}}\end{align*}}$
(2)
2個の球の取り出し方には、
(ア) 2個とも白球 (イ) 赤白1個ずつ (ウ) 2個とも赤球
の3つの場合がある。
また、以下では、袋の中の球の個数を【赤球の個数，白球の個数】のように
表すことにする。
r=wとなるのは次の2つの場合がある。
① (イ)→(ウ)の順に取り出すと、【3，2】→【2，1】→【1，1】と変化する
② (ウ)→(イ)の順に取り出すと、【3，2】→【2，2】→【1，1】と変化する
よって、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_1\cdot\frac{_2C_2}{_3C_2}+p_2\cdot\frac{_2C_1\cdot _2C_1}{_4C_2}=\underline{\sf \frac{2}{5}}\end{align*}}$
(3)
r＞wとなるのは次の4つの場合がある。
③ (ア)→(イ)の順に取り出すと、【3，2】→【3，1】→【2，0】と変化する
④ (ア)→(ウ)の順に取り出すと、【3，2】→【3，2】→【2，1】と変化する
⑤ (イ)→(イ)の順に取り出すと、【3，2】→【2，1】→【1，0】と変化する
⑥ (ウ)→(ア)の順に取り出すと、【3，2】→【2，2】→【2，1】と変化する
よって、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_0\cdot\frac{_3C_1\cdot _1C_1}{_4C_2}+p_0\cdot\frac{_3C_2}{_4C_2}+p_1\cdot\frac{_2C_1\cdot _1C_1}{_3C_2}+p_2\cdot\frac{_2C_2}{_4C_2}=\underline{\sf \frac{11}{20}}\end{align*}}$
(4)
r＞wかつr+w=2、すなわち【2，0】となるのは(3)の③の場合である。
よって、求める条件付確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{p_0\cdot\frac{_3C_1\cdot _1C_1}{_4C_2}}{\frac{11}{20}}=\underline{\sf \frac{1}{11}}\end{align*}}$
図にまとめれば分かりやすいのでしょうけど、手抜きですみません＾＾；；
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- 2016/07/13(水) 23:57:00|
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