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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2016大阪府立大 工学部 数学1(1)



第1問

 (1) 複素数$\small\sf{\alpha}$ =$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt3+i}{\sqrt3-i}\end{align*}}$ に対して、
         $\small\sf{\beta}$ =$\small\sf{\alpha}$ 3、 γ=$\small\sf{\alpha}$ +$\small\sf{\alpha}$ 2+$\small\sf{\alpha}$ 3+・・・+$\small\sf{\alpha}$ 100
    とするとき、$\small\sf{\beta}$ とγをそれぞれ極形式で表せ。
         



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  1. 2017/05/06(土) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 中期 2016(工)
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2016大阪府立大 工学部 数学1(2)



第1問

 (2) 当たりくじ5本を含む13本のくじがある。このくじを、A、B、C、Dの4人が
    この順に1本ずつ引くとし、引いたくじはもとに戻さないとする。このとき、
    以下の確率を既約分数で求めよ。
 (ⅰ) 4人のうち少なくとも1人が当たる確率P1
 (ⅱ) 4人のうち少なくとも2人が当たる確率P2
 (ⅲ) 4人のうち少なくとも1人が当たりくじを引いたとわかっているとき、Dが
    当たる条件付き確率P3



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  1. 2017/05/07(日) 23:57:00|
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2016大阪府立大 工学部 数学2



第2問

  空間内に平行六面体OADB‐CEFGがあり、平行四辺形OADBのある平面を$\small\sf{\alpha}$ 、
  平行四辺形CEFGのある平面を$\small\sf{\beta}$ とする。また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ と
  するとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OA}\right|=5\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OB}\right|=3\sqrt3\end{align*}}$ 、 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=15\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf c}=5\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=-3\end{align*}}$ であるとする。
  このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) 点Cから平面$\small\sf{\alpha}$ に垂線CHを下ろす。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ で表せ。

 (2) 平面$\small\sf{\beta}$ 上に点Pをとり、点Pから平面$\small\sf{\alpha}$ に垂線PQを下ろす。ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CP}\end{align*}}$ を実数
    s、tにより、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CP}=s\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ と表す。このとき、点Pが三角形CEGの内部または
    周上にあり、かつ、点Qが三角形OABの内部または周上にあるためのs、tの
    条件を求めよ。

 (3) 三角形OABの面積をSとする。また、s、tが(2)で求めた条件を満たしながら
    動くとき、平面$\small\sf{\beta}$ における点Pの存在範囲が表す図形の面積をTとする。
    このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{T}{S}\end{align*}}$ を求めよ。
 
    2016115610203a.gif
解答はこちら↓

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  1. 2017/05/08(月) 23:57:00|
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2016大阪府立大 工学部 数学3



第3問

  数列{an}は次の条件を満たすとする。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=e\ \ ,\ \ a_2=e^2\ \ ,\ \ a_{n+2}=\frac{\left(a_{n+1}\right)^{p+1}}{\left(a_n\right)^p}\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
  ただし、eは自然対数の底で、pは正の定数とする。このとき、以下の
  問いに答えよ。

 (1) bn=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{a_{n+1}}{a_n}\end{align*}}$ とするとき、bn+1をbnおよびpを用いて表せ。

 (2) bnをnとpを用いて表せ。

 (3) anをnとpを用いて表せ。




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  1. 2017/05/09(火) 23:57:00|
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2016大阪府立大 工学部 数学4



第4問

   nを自然数として、x≧0で定義された曲線
      C: y=xe-nx
  を考える。このとき、以下の問いに答えよ。ただし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}xe^{-x}=0\end{align*}}$ であることは
  証明なしに用いてよい。

 (1) x≧0のとき,関数 y=xe-nx の極値、凹凸を調べて、そのグラフをかけ。

 (2) 曲線C上の点(a,ae-nx) (a>0)における接線が、この点以外で曲線Cと
    共有点をもたないとする。このときのaの条件を求めよ。

 (3) (2)の条件を満たす最大のaをanとおく。このとき、極限値
         $\small\sf{\begin{align*} \rm I=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\int_0^{a_n}xe^{-nx}dx}{\int_0^{n}xe^{-nx}dx}\end{align*}}$
    を求めよ。




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  1. 2017/05/10(水) 23:57:00|
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2016大阪府立大 工学部 数学5



第5問

  0<x≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ に対して、関数f(x)を
         $\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\int_{\frac{\pi}{2}}^x\left(\sin\theta\right)\log\left(\sin\theta\right)d\theta\end{align*}}$
  と定める。このとき、以下の問いに答えよ。ただし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow +0}t\log t=0\end{align*}}$ が
  成り立つことは証明なしに用いてよい。

 (1) f(x)を求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +0}f(x)\end{align*}}$ を求めよ。




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  1. 2017/05/11(木) 23:57:00|
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