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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2016大阪府立大 前期文系 数学1



第1問

  1から10までの自然数が1つずつ書かれた10個の玉が袋に入っている。
  この袋の中から5個の玉を同時に取り出す。取り出した5個の玉に書かれ
  た数を小さい方から順にX1、X2、X3、X4、X5とする。このとき、以下の問
  いに答えよ。

 (1) X3=3となる確率を求めよ。

 (2) X5-X1=7となる確率を求めよ。

 (3) X1がX3の約数となり、かつX3がX5となる確率を求めよ。




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  1. 2016/06/04(土) 23:51:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 前期 2016(文系)
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2016大阪府立大 前期文系 数学2



第2問

  下図のような1辺の長さが1の立方体OABC-DEFGに対し、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf c}\ ,\ \overrightarrow{\sf OD}=\overrightarrow{\sf d}\end{align*}}$
  とおく。0<t<$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ となるtに対して、辺AEをt:1-tに内分する点をP、
  辺CDを2t:1-2tに内分する点をQとする。O、P、Qの定める平面を
  $\small\sf{\alpha}$ とし、平面$\small\sf{\alpha}$ と直線BFとの交点をRとすると、四角形OPQRは平行
  四辺形である。平行四辺形OPRQの面積をS、四角錐DOPRQの体積
  をVとする。このとき、以下の問いに答えよ。

       図01
解答はこちら↓

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  1. 2016/06/04(土) 23:54:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 前期 2016(文系)
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2016大阪府立大 前期文系 数学3



第3問

  以下の問いに答えよ。

 (1) 次の等式が成り立つことを示せ。
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \cos\left(\alpha+\beta\right)\sin\alpha-\cos\alpha\sin\left(\alpha-\beta\right)=\cos 2\alpha\sin \beta\end{align*}}$

 (2) k、nを自然数とし、$\small\sf{\theta}$ はsin$\small\sf{\theta}$ ≠0とする。(1)の等式で$\small\sf{\alpha}$ =k$\small\sf{\theta}$ 、
    $\small\sf{\beta}$ =$\small\sf{\theta}$ とおくことにより次の等式が成り立つことを示せ。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\cos 2\theta=\frac{\cos\left(n+1\right)\theta\sin n\theta}{\sin\theta}\end{align*}}$

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{100}\cos^2\frac{k\pi}{100}\end{align*}}$ の値を求めよ。




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  1. 2016/06/05(日) 23:54:00|
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2016大阪府立大 前期文系 数学4



第4問

  正の実数aに対して、y=ax2のグラフをC1、$\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{a^2-1}{a}x^2+\frac{2}{a}x-\frac{1}{a}\end{align*}}$
  のグラフをC2とする。このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) C1とC2の共有点は(1,a)のみであることを示せ。

 (2) C2とx軸の0<x<1の部分との交点は、点 $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{a+1},0\right)\end{align*}}$ のみで
    あることを示せ。

 (3) C1の0≦x≦1の部分、C2の $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a+1}\end{align*}}$ ≦x≦1の部分、およびx軸の
    0≦x≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a+1}\end{align*}}$ の部分のとで囲まれる図形の面積をSとする。Sを
    aを用いて表せ。

 (4) aがすべての正の実数を動くとき、(3)で求めた面積Sの最大値を
    求めよ。




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  1. 2016/06/05(日) 23:57:00|
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