第1問
次の に適する数を、解答用紙の同じ記号のついた の
中に記入せよ。
(1) 微分して
となる。これを利用すれば、
である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{d}{dx}\ \log\left(2x+\sqrt{4x^2+1}\right)=\frac{1}{2x+\sqrt{4x^2+1}}\cdot\left(2+\frac{8x}{2\sqrt{4x^2+1}}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2x+\sqrt{4x^2+1}}\cdot \frac{4x+2\sqrt{4x^2+1}}{\sqrt{4x^2+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{\sqrt{4x^2+1}}\end{align*}}$ ･･････ア
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{d}{dx}\left(x\sqrt{4x^2+1}\right)=\sqrt{4x^2+1}\ +\ x\cdot\frac{8x}{2\sqrt{4x^2+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{4x^2+1}\ +\frac{4x^2}{\sqrt{4x^2+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{4x^2+1}\ +\frac{(4x^2+1)-1}{\sqrt{4x^2+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\sqrt{4x^2+1}\ -\frac{1}{\sqrt{4x^2+1}}\end{align*}}$ ･････イ
(アの式）+(イの式)×2 を計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{d}{dx}\ \log\left(2x+\sqrt{4x^2+1}\right)+2\frac{d}{dx}\left(x\sqrt{4x^2+1}\right)=4\sqrt{4x^2+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \sqrt{4x^2+1}=\frac{d}{dx}\Bigg(\frac{1}{4}\log\left(2x+\sqrt{4x^2+1}\right)+\frac{1}{2}\left(x\sqrt{4x^2+1}\right)\Bigg)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1\sqrt{4x^2+1}\ dx=\left[\frac{1}{4}\log\left(2x+\sqrt{4x^2+1}\right)+\frac{1}{2}\left(x\sqrt{4x^2+1}\right)\right]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \ \frac{1}{4}\log\left(2+\sqrt{5}\right)+\frac{1}{2}\sqrt{5}\ \ }\end{align*}}$
アとイは計算するだけです。
これらをうまく使えば、ウも簡単ですね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/12/16(日) 02:05:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2010(全学部)
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第1問
次の に適する数を、解答用紙の同じ記号のついた の中に
記入せよ。
(2) 連続関数ｆ(x)が関係式
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{e^{2x}}{2(e-1)}\int_0^1\ e^{-y}\ f\ (y)\ dy\ +\ \int_0^{\frac{1}{2}}\ f\ (y)\ dy\ +\ \int_0^{\frac{1}{2}}\ \sin^2(\pi\ y)\ dy\end{align*}}$
を満たすとき、ｆ(x)は次のようにして決定できる。まず、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \ \int_0^{\frac{1}{2}}\ \sin^2(\pi\ y)\ dy=\end{align*}}$ エ
である。次に、
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=Ae^{2x}+B\end{align*}}$ （A、Bは定数）
とおくと、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1\ e^{-y}\ f\ (y)\ dy=\end{align*}}$ オ A+ カ B
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{1}{2}}\ f\ (y)\ dy=\end{align*}}$ キ A+ ク B
である。したがって、上の関係式から、A、Bについての連立1次
方程式を得る。その解を求めると、
A= ケ 、B= コ
となる。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(2)
半角公式を用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \int_0^{\frac{1}{2}}\ \sin^2(\pi\ y)\ dy=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{1}{2}}\ \{1-\cos(2\pi y)\}\ dy\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left[\ y-\frac{1}{2\pi}\sin(2\pi y)\right]_0^{\frac{1}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left(\ \frac{1}{2}-\frac{1}{2\pi}\sin(\pi)\right)-(0-0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\end{align*}}$ ･･････エ
次に、ｆ(y)=Aｅ2y+B より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1\ e^{-y}\ f\ (y)\ dy=\int_0^1\ \left(A\ e^{y}+B\ e^{-y}\right)\ dy\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\ A\ e^{y}-B\ e^{-y}\right]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(A\ e-B\ e^{-1})-(A-B)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(e-1)\ A+\frac{e-1}{e}\ B\end{align*}}$ ･･････オカ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{1}{2}}\ f\ (y)\ dy=\int_0^{\frac{1}{2}}\ \left(A\ e^{2y}+B\right)\ dy\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\ \frac{A}{2}\ e^{2y}-B\ y\ \right]_0^{\frac{1}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\ \frac{A}{2}\ e-\frac{B}{2}\ \right)-\left(\frac{A}{2}-0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}(e-1)\ A+\frac{1}{2}\ B\end{align*}}$ ･･････キク
これらを与式に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\ e^{2x}+B=\frac{e^{2x}}{2(e-1)}\left((e-1)\ A+\frac{e-1}{e}\ B \right)+\left(\frac{1}{2}(e-1)\ A+\frac{1}{2}\ B\right)+\frac{1}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ A\ e^{2x}+B=\left(\frac{1}{2}\ A+\frac{1}{2e}\ B \right)\ e^{2x}+\frac{1}{2}(e-1)\ A+\frac{1}{2}\ B+\frac{1}{4}\end{align*}}$
係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\frac{1}{2}\ A+\frac{1}{2e}\ B \end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B=\frac{1}{2}(e-1)\ A+\frac{1}{2}\ B+\frac{1}{4}\end{align*}}$
これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ A=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ B=\frac{e}{2}\ \ }\end{align*}}$ ･･････ケコ
誘導に乗ってそのまま計算しましょう。
しかしまぁ、なんとも深みのない問題ですねぇ＾＾；；
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/12/17(月) 02:06:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2010(全学部)
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第2問
座標空間内の互いに異なる4点A、B、C、Dについて、
$\small\sf{\begin{align*} \sf |\ \overrightarrow{\sf AC}\ |=|\ \overrightarrow{\sf BD}\ |\end{align*}}$
が成立しているとする。また、線分AB、CD、AD、BCの中点をそれぞれ
Ｍ、Ｎ、Ｋ、Ｌとする。ただし、ＭとＮ、およびＫとＬはそれぞれ異なる点で
ある。次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MN}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BD}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(2) 内積
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MN}\ \cdot\ (\ \overrightarrow{\sf AC}-\overrightarrow{\sf BD}\ )\end{align*}}$
を計算せよ。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MN}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ のなす角$\small\sf{\alpha\ \ （0\leqq\alpha\leqq\pi)}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MN}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BD}\end{align*}}$ のなす角$\small\sf{\beta\ \ (0\leqq\beta\leqq\pi)}$
が等しいことを示せ。
(4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MN}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf KL}\end{align*}}$ のなす角を計算せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\ \overrightarrow{\sf AC}\ |=|\ \overrightarrow{\sf BD}\ |\end{align*}}$ ･･････(※)
(1)
始点をAにそろえて考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MN}=\overrightarrow{\sf AN}-\overrightarrow{\sf AM}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{\sf AC}+\overrightarrow{\sf AD}\right)-\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf AC}+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{\sf AD}-\overrightarrow{\sf AB}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2}\overrightarrow{\sf AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf BD}\ \ }\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MN}\ \cdot\ (\ \overrightarrow{\sf AC}-\overrightarrow{\sf BD}\ )=\frac{1}{2}(\ \overrightarrow{\sf AC}+\overrightarrow{\sf BD}\ )\ \cdot\ (\ \overrightarrow{\sf AC}-\overrightarrow{\sf BD}\ )\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left(\ |\overrightarrow{\sf AC}|^2-|\overrightarrow{\sf BD}|^2\ \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 0\ \ }\end{align*}}$ ← (※)より
(3)
(2)の結果より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MN}\ \cdot\ \overrightarrow{\sf AC}=\overrightarrow{\sf MN}\ \cdot\ \overrightarrow{\sf BD}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\sf MN}|\ |\overrightarrow{\sf AC}|\ \cos\alpha=|\overrightarrow{\sf MN}|\ |\overrightarrow{\sf BD}|\ \cos\beta\end{align*}}$
ここで、ＭとＮは異なる点なので、 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf MN}|\ne0\end{align*}}$ ．
これと(※)より、
cos$\scriptsize\sf{\alpha}$ =cos$\scriptsize\sf{\beta}$ ．
0≦$\scriptsize\sf{\alpha}$ ≦$\scriptsize\sf{\pi}$ 、0≦$\scriptsize\sf{\beta}$ ≦$\scriptsize\sf{\pi}$ なので、
$\scriptsize\sf{\alpha}$ =$\scriptsize\sf{\beta}$
(4)
(1)と同様に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf KL}=\overrightarrow{\sf AL}-\overrightarrow{\sf AK}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{\sf AB}+\overrightarrow{\sf AC}\right)-\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf AD}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf AC}-\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{\sf AD}-\overrightarrow{\sf AB}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf BD}\end{align*}}$
これと(1)の結果を用いて内積を計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MN}\ \cdot\ \overrightarrow{\sf KL}=\frac{1}{2}(\ \overrightarrow{\sf AC}+\overrightarrow{\sf BD}\ )\ \cdot\ \frac{1}{2}(\ \overrightarrow{\sf AC}-\overrightarrow{\sf BD}\ )\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\left(\ |\overrightarrow{\sf AC}|^2-|\overrightarrow{\sf BD}|^2\ \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf = 0\end{align*}}$ ← (※)より
また、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MN}\end{align*}}$ と $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf KL}\end{align*}}$ のなす角を$\scriptsize\sf{\theta}$ （0≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦$\scriptsize\sf{\pi}$ ）とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MN}\ \cdot\ \overrightarrow{\sf KL}=|\overrightarrow{\sf MN}|\ |\overrightarrow{\sf KL}|\ \cos\theta\end{align*}}$
ここで、ＭとＮおよびＫとＬはそれぞれ異なる点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf MN}|\ne0\ \ ,\ \ |\overrightarrow{\sf KL}|\ne0\end{align*}}$ ．
cos$\scriptsize\sf{\theta}$ =0
0≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦$\scriptsize\sf{\pi}$ なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \theta=\underline{\ \frac{\pi}{2}\ \ }\end{align*}}$
(4)で、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}|\overrightarrow{\sf MN}|\ne0\ \ ,\ \ |\overrightarrow{\sf KL}|\ne0}\end{align*}}$
についてもきちんと言及しておきましょう。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/12/18(火) 02:07:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2010(全学部)
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第3問
行列A、B、E、Ｏを
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf 2&-1\\ -2& 3\end{pmatrix}\ \ ,\ \ B=\begin{pmatrix}\sf 0 &1\\ 0 &0\end{pmatrix}\ \ ,\ \ E=\begin{pmatrix}\sf 1 &0\\ 0 &1\end{pmatrix}\ \ ,\ \ O=\begin{pmatrix}\sf 0 &0\\ 0 &0\end{pmatrix}\end{align*}}$
とする。次の問いに答えよ。
(1) 等式 A2－5A+4E=Ｏ が成立することを示せ。
(2) 正の2実数x、yに対し、Z=xA+yEとする。Z2=Aが成立する
ようにx、yを定めよ。
(3) 任意の2次の正方行列Wについて、等式 BW=WB が成立すれば
W=uB+vE (u、vは実数)
と表せることを示せ。
(4) 等式 Y2=B を満たす2次の正方行列は存在しないことを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
行列Aに対して、ハミルトン・ケーリーの定理より
A2－(2+3)A+{2･3－(－1)･(－2)}E=Ｏ
⇔ A2－5A+4E=Ｏ
(2)
Z=xA+yEをZ2=Aに代入すると、
(xA+yE)2=A
AとEは可換なので、
x2A2+2xyA+y2E2=A
これに、(1)で得られるA2=5A－4Eを代入して整理すると、
(5x2+2xy－1)A=(4x2－y2)E ･･････①
ここで、
p=5x2+2xy－1、 q=4x2－y2
とおいて、①式に成分を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p\begin{pmatrix}\sf 2 &-1\\ \sf -2 & 3\end{pmatrix}=q\begin{pmatrix}\sf 1 &0\\ 0 &1\end{pmatrix}\end{align*}}$
成分を比較すると、
2p=q かつ －p=0 かつ －2p=0 かつ 3p=1
すなわち、
p=5x2+2xy－1=0 ････② かつ
q=4x2－y2=0 ････③
であればよい。
まず、③において、x＞0かつy＞0なので、
y－2x
これを②に代入すると、
5x2+4x2－1=0
となるが、x＞0かつy＞0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x=\frac{1}{3}\ \ ,\ \ y=\frac{2}{3}\ \ }\end{align*}}$
(3)
a、b、c、dを実数とする。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf w=\begin{pmatrix}\sf a &\sf b\\ \sf c&\sf d\end{pmatrix}\end{align*}}$
とおいて、BW=WBに代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf 0 &1\\ 0 &0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf a &b\\ \sf c &\sf d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf a &\sf b\\ \sf c&\sf d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\ \ \Leftrightarrow\ \ \begin{pmatrix}\sf c&\sf d\\ 0 &0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 0 &\sf a\\ 0 &\sf c\end{pmatrix}\end{align*}}$
成分を比較すると、
c=0 かつ a=d
となる。よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf w=\begin{pmatrix}\sf a &\sf b\\ 0 &\sf a\end{pmatrix}=b\begin{pmatrix}\sf 0 &1\\ 0 &0\end{pmatrix}+a\begin{pmatrix}\sf 1 &0\\ 0 &1\end{pmatrix}=bB+aE\end{align*}}$．
ここで、ｕ=b、ｖ=aとおくと、題意を満たすことになる。
(4)
Y2=BとなるYが存在すると仮定すると、
BY2=Y3=Y2B
が成り立つので、(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=uB+vE=\begin{pmatrix}\sf v &u\\ 0\ &\sf v\end{pmatrix}\end{align*}}$
となる実数ｕ、ｖが存在する。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y^2=\begin{pmatrix}\sf v &\sf u\\ 0 &\sf v\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf v &\sf u\\ 0 &\sf v\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf v^2&\sf 2uv\\ 0 &\sf v^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 0 &1\\ 0&0\end{pmatrix}=B\end{align*}}$
で、成分を比較すると、
ｖ2=0 かつ 2ｕｖ=0
これらを同時に満たす実数ｕ、ｖは存在し得ないので、
Y2=BとなるYは存在しない。
(4)が少し難しいです。うまく(3)の結論と結びつけることができましたか？
最悪の場合、以下のような誘導を一切無視した方法でもＯＫだと思います。
Y2=BとなるYが存在すると仮定し、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=\begin{pmatrix}\sf e&\sf f\\ \sf g&\sf h\end{pmatrix} \end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf e&\sf f\\ \sf g &\sf h\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf e&\sf f\\ \sf g&\sf h\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf a^2+bc&\sf b(a+d)\\ \sf c(a+d)&\sf d^2+bc\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 0 &1\\ 0& 0\end{pmatrix}\end{align*}}$
成分を比較すると、
a2+bc=d2+bc=0 ････④
b(a+d)=1 ････⑤
c(a+d)=0 ････⑥
⑤、⑥より、c=0
これを④に代入すると、a=d=0
これは⑤に矛盾するので、Y2=BとなるYは存在しない。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/12/19(水) 02:08:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2010(全学部)
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第4問
関数ｆn(x) （ｎ=1，2，3，････）を
$\small\sf{\begin{align*} \sf f_{\ n}(x)=1+\sum_{k=1}^{2n}\ (-x^2)^k\end{align*}}$
と定める。次の問いに答えよ。
(1) 0＜x＜1であるxについて、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}f_{\ n}(x)\end{align*}}$ を計算せよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\ \frac{dx}{1+x^2}\end{align*}}$ を計算せよ。
(3) ｎ=1，2，3，････に対して次の不等式が成立することを示せ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf 0<\int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\left(f_{\ n}(x)-\frac{1}{1+x^2}\right)dx<\frac{1}{4n+3}\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^{4n+3}\end{align*}}$
(4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\ f_{\ n}(x)\ dx=\frac{1}{\sqrt3}+\sum_{k=1}^{2n}\ \frac{(-1)^k}{2k+1}\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^{2k+1}\end{align*}}$ が成立することを示せ。
(5) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty}\ \frac{(-1)^k}{2k+1}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}\end{align*}}$ を計算せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
等比数列の和の公式を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f_{\ n}(x)=1+\frac{-x^2\ \{\ 1-(-x^2)^{2n}\ \}}{1-(-x^2)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(1+x^2)-x^2+x^2 \cdot x^{4n}}{1+x^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1+x^{\ 4n+2}}{1+x^2}\end{align*}}$
ここで、0＜x＜1であるxに対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ x^{\ 4n+2}=0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}f_{\ n}(x)=\underline{\ \frac{1}{1+x^2}\ \ }\end{align*}}$
(2)
x=tan$\scriptsize\sf{\theta}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{d\theta}=\frac{1}{\cos^2\theta}\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x\ :\ 0\rightarrow\frac{1}{\sqrt3}\end{align*}}$ に対して $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \theta\ :\ 0\rightarrow\frac{\pi}{6}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_1=\int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\ \frac{dx}{1+x^2}=\int_0^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{1+\tan^2\theta}\cdot \frac{d\theta}{\cos^2\theta}\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_1=\int_0^{\frac{\pi}{6}}\ d\theta=\underline{\ \frac{\pi}{6}\ \ }\end{align*}}$
(3)
(1)で求めたｆ(x)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f_{\ n}(x)-\frac{1}{1+x^2}=\frac{x^{\ 4n+2}}{1+x^2}\end{align*}}$．
0＜x＜1のxに対して常に
x4n+2＞0 、 1＜1+x2
が成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{x^{\ 4n+2}}{1+x^2}\lt x^{4n+2}\end{align*}}$．
よって、両辺を積分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\ \frac{x^{\ 4n+2}}{1+x^2}\ dx<\int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\ x^{4n+2}\ dx\end{align*}}$．
右辺を計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\ x^{4n+2}\ dx=\left[\frac{x^{\ 4n+3}}{4n+3}\right]_0^{\frac{1}{\sqrt3}}=\frac{1}{4n+3}\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^{4n+3}\end{align*}}$．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\left(f_{\ n}(x)-\frac{1}{1+x^2}\right)dx<\frac{1}{4n+3}\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^{4n+3}\end{align*}}$
続きは、次の記事にて。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/12/20(木) 02:09:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2010(全学部)
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第4問
関数ｆn(x) （ｎ=1，2，3，････）を
$\small\sf{\begin{align*} \sf f_{\ n}(x)=1+\sum_{k=1}^{2n}\ (-x^2)^k\end{align*}}$
と定める。次の問いに答えよ。
(1) 0＜x＜1であるxについて、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}f_{\ n}(x)\end{align*}}$ を計算せよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\ \frac{dx}{1+x^2}\end{align*}}$ を計算せよ。
(3) ｎ=1，2，3，････に対して次の不等式が成立することを示せ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf 0<\int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\left(f_{\ n}(x)-\frac{1}{1+x^2}\right)dx<\frac{1}{4n+3}\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^{4n+3}\end{align*}}$
(4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\ f_{\ n}(x)\ dx=\frac{1}{\sqrt3}+\sum_{k=1}^{2n}\ \frac{(-1)^k}{2k+1}\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^{2k+1}\end{align*}}$ が成立することを示せ。
(5) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty}\ \frac{(-1)^k}{2k+1}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}\end{align*}}$ を計算せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}f_{\ n}(x)=\underline{\ \frac{1}{1+x^2}\ \ }\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\ \frac{dx}{1+x^2}=\underline{\ \frac{\pi}{6}\ \ }\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\left(f_{\ n}(x)-\frac{1}{1+x^2}\right)dx<\frac{1}{4n+3}\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^{4n+3}\end{align*}}$
ここまでは、1つ前の記事でどうぞ。
(4)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\ f_{\ n}(x)\ dx=\int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\ \left(1+\sum_{k=1}^{2n}\ (-x^2)^k\right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\ dx+\int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\ \sum_{k=1}^{2n}\ (-1)^k\cdot x^{2k}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\sqrt3}\ +\sum_{k=1}^{2n}\ (-1)^k\int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\ x^{2k}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\sqrt3}\ +\sum_{k=1}^{2n}\ (-1)^k\ \left[\ \frac{1}{2k+1}\ x^{2k+1}\ \right]_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\sqrt3}+\sum_{k=1}^{2n}\ \frac{(-1)^k}{2k+1}\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^{2k+1}\end{align*}}$
2行目から3行目の変形がキモです。
∫ｆ(x)dx+∫ｇ(x)dx=∫{ｆ(x)+ｇ(x)}dx
なので、
∫{Σf(x)}dx = Σ{∫f(x)dx}
としてもOKです。
(5)
(2)、(4)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\left(f_{\ n}(x)-\frac{1}{1+x^2}\right)dx=\int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\ f_{\ n}(x)\ dx-\int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\ \frac{dx}{1+x^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\sqrt3}-\frac{\pi}{6}+\sum_{k=1}^{2n}\ \frac{(-1)^k}{2k+1}\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^{2k+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\sqrt3}-\frac{\pi}{6}+\frac{1}{\sqrt3}\sum_{k=1}^{2n}\ \frac{(-1)^k}{2k+1}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}\end{align*}}$
これと(3)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{1}{\sqrt3}-\frac{\pi}{6}+\frac{1}{\sqrt3}\sum_{k=1}^{2n}\ \frac{(-1)^k}{2k+1}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}<\frac{1}{4n+3}\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^{4n+3}\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{1}{\sqrt3}<1\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{4n+3}\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^{4n+3}=0\end{align*}}$
はさみうちの原理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \Bigg(\frac{1}{\sqrt3}-\frac{\pi}{6}+\frac{1}{\sqrt3}\sum_{k=1}^{2n}\ \frac{(-1)^k}{2k+1}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}\Bigg)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\ \sum_{k=1}^{2n}\ \frac{(-1)^k}{2k+1}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}=-1+\frac{\sqrt3}{6}\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \sum_{k=1}^{\infty}\ \frac{(-1)^k}{2k+1}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}=\underline{\ -1+\frac{\sqrt3}{6}\pi\ \ }\end{align*}}$
(5)は、(2)～(4)の結果を用いるだけです。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/12/21(金) 02:10:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2010(全学部)
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
