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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010同志社大 理系(全学部日程) 1(1)



第1問

  次の    に適する数を、解答用紙の同じ記号のついた   
  中に記入せよ。

 (1) 微分して
       図01
    となる。これを利用すれば、
       図02
    である。


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  1. 2018/12/16(日) 02:05:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2010(全学部)
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2010同志社大 理系(全学部日程) 1(2)



第1問

  次の    に適する数を、解答用紙の同じ記号のついた    の中に
  記入せよ。

 (2) 連続関数f(x)が関係式
      $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{e^{2x}}{2(e-1)}\int_0^1\ e^{-y}\ f\ (y)\ dy\ +\ \int_0^{\frac{1}{2}}\ f\ (y)\ dy\ +\ \int_0^{\frac{1}{2}}\ \sin^2(\pi\ y)\ dy\end{align*}}$
    を満たすとき、f(x)は次のようにして決定できる。まず、
      $\small\sf{\begin{align*} \sf \ \int_0^{\frac{1}{2}}\ \sin^2(\pi\ y)\ dy=\end{align*}}$  エ 
    である。次に、
      $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=Ae^{2x}+B\end{align*}}$  (A、Bは定数)
    とおくと、
      $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1\ e^{-y}\ f\ (y)\ dy=\end{align*}}$  オ  A+  カ  B
      $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{1}{2}}\ f\ (y)\ dy=\end{align*}}$  キ  A+  ク  B
    である。したがって、上の関係式から、A、Bについての連立1次
    方程式を得る。その解を求めると、
       A= ケ  、B= コ 
    となる。


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  1. 2018/12/17(月) 02:06:00|
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2010同志社大 理系(全学部日程) 2



第2問

  座標空間内の互いに異なる4点A、B、C、Dについて、
      $\small\sf{\begin{align*} \sf |\ \overrightarrow{\sf AC}\ |=|\ \overrightarrow{\sf BD}\ |\end{align*}}$
  が成立しているとする。また、線分AB、CD、AD、BCの中点をそれぞれ
  M、N、K、Lとする。ただし、MとN、およびKとLはそれぞれ異なる点で
  ある。次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MN}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BD}\end{align*}}$ を用いて表せ。
 (2) 内積
      $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MN}\ \cdot\ (\ \overrightarrow{\sf AC}-\overrightarrow{\sf BD}\ )\end{align*}}$
    を計算せよ。
 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MN}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ のなす角$\small\sf{\alpha\ \ (0\leqq\alpha\leqq\pi)}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MN}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BD}\end{align*}}$ のなす角$\small\sf{\beta\ \ (0\leqq\beta\leqq\pi)}$
    が等しいことを示せ。
 (4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MN}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf KL}\end{align*}}$ のなす角を計算せよ。



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  1. 2018/12/18(火) 02:07:00|
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2010同志社大 理系(全学部日程) 3



第3問

  行列A、B、E、Oを
     $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf 2&-1\\ -2& 3\end{pmatrix}\ \ ,\ \ B=\begin{pmatrix}\sf 0 &1\\ 0 &0\end{pmatrix}\ \ ,\ \ E=\begin{pmatrix}\sf 1 &0\\ 0 &1\end{pmatrix}\ \ ,\ \ O=\begin{pmatrix}\sf 0 &0\\ 0 &0\end{pmatrix}\end{align*}}$
  とする。次の問いに答えよ。

 (1) 等式 A2-5A+4E=O が成立することを示せ。
 (2) 正の2実数x、yに対し、Z=xA+yEとする。Z2=Aが成立する
    ようにx、yを定めよ。
 (3) 任意の2次の正方行列Wについて、等式 BW=WB が成立すれば
      W=uB+vE  (u、vは実数)
    と表せることを示せ。
 (4) 等式 Y2=B を満たす2次の正方行列は存在しないことを示せ。





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  1. 2018/12/19(水) 02:08:00|
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2010同志社大 理系(全学部日程) 4(1)~(3)




第4問

  関数fn(x) (n=1,2,3,・・・・)を
       $\small\sf{\begin{align*} \sf f_{\ n}(x)=1+\sum_{k=1}^{2n}\ (-x^2)^k\end{align*}}$
  と定める。次の問いに答えよ。

 (1) 0<x<1であるxについて、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}f_{\ n}(x)\end{align*}}$ を計算せよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\ \frac{dx}{1+x^2}\end{align*}}$ を計算せよ。

 (3) n=1,2,3,・・・・に対して次の不等式が成立することを示せ。
       $\small\sf{\begin{align*} \sf 0<\int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\left(f_{\ n}(x)-\frac{1}{1+x^2}\right)dx<\frac{1}{4n+3}\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^{4n+3}\end{align*}}$

 (4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\ f_{\ n}(x)\ dx=\frac{1}{\sqrt3}+\sum_{k=1}^{2n}\ \frac{(-1)^k}{2k+1}\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^{2k+1}\end{align*}}$ が成立することを示せ。

 (5) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty}\ \frac{(-1)^k}{2k+1}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}\end{align*}}$ を計算せよ。


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  1. 2018/12/20(木) 02:09:00|
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2010同志社大 理系(全学部日程) 4(4)(5)




第4問

  関数fn(x) (n=1,2,3,・・・・)を
       $\small\sf{\begin{align*} \sf f_{\ n}(x)=1+\sum_{k=1}^{2n}\ (-x^2)^k\end{align*}}$
  と定める。次の問いに答えよ。

 (1) 0<x<1であるxについて、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}f_{\ n}(x)\end{align*}}$ を計算せよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\ \frac{dx}{1+x^2}\end{align*}}$ を計算せよ。

 (3) n=1,2,3,・・・・に対して次の不等式が成立することを示せ。
       $\small\sf{\begin{align*} \sf 0<\int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\left(f_{\ n}(x)-\frac{1}{1+x^2}\right)dx<\frac{1}{4n+3}\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^{4n+3}\end{align*}}$

 (4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{1}{\sqrt3}}\ f_{\ n}(x)\ dx=\frac{1}{\sqrt3}+\sum_{k=1}^{2n}\ \frac{(-1)^k}{2k+1}\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^{2k+1}\end{align*}}$ が成立することを示せ。

 (5) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty}\ \frac{(-1)^k}{2k+1}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}\end{align*}}$ を計算せよ。


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  1. 2018/12/21(金) 02:10:00|
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