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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011東京大 理系数学1(1)




第1問

 座標平面において、点P(0,1)を中心とする半径1の円をCとする。
 aを0<a<1を満たす実数とし、直線y=a(x+1)とCとの交点をQ、
 Rとする。

 (1) △PQRの面積S(a)を求めよ。

 (2) aが0<a<1の範囲を動くとき、S(a)が最大となるaを求めよ。



2011東京大 理系数学2



第2問

   2(1)(2)(3).png





2011東京大 理系数学3



第3問

  Lを正定数とする。座標平面のx軸上の正の部分にある点P(t,0)に対し、
  原点O(0,0)を中心とし、点Pを通る円周上を、Pから出発して反時計回り
  に道のりLだけ進んだ点をQ(u(t),v(t))と表す。


 (1) u(t)、v(t)を求めよ。

 (2) 0<a<1の範囲の実数aに対し、積分
      $\small\sf{\begin{align*} \sf f(a)=\int_{a}^{1} \sqrt{\left\{u'(t)\right\}^2+\left\{v'(t) \right\}^2}dt\end{align*}}$
   を求めよ。

 (3) 極限 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a \rightarrow +0} \frac{f(a)}{\log a}\end{align*}}$ を求めよ。


2011東京大 理系数学4



第4問

  座標平面上の1点 $\small\sf{\begin{align*}\sf P\left(\frac{1}{2}\ ,\ \frac{1}{4}\right)\end{align*}}$ をとる。放物線 y=x2 上の2点
  $\small\sf{\sf Q\left(\alpha,\alpha^2\right)\ ,\ R\left(\beta,\beta^2\right)}$ を3点P、Q、RがQRを底辺とする
  二等辺三角形をなすように動かすとき、△PQRの重心G(X,Y)
  の軌跡を求めよ。




2011東京大 理系数学5(1)



第5問

  p、qを2つの正の整数とする。整数a、b、cで条件

     -q≦b≦0≦a≦p ……①
      b≦c≦a   ……②

  を満たすものを考え、このような a、b、c を [a,b:c]の形に並べたものを
  (p,q)パターンと呼ぶ。
  各 (p,q)パターン [a,b:c] に対して、
     w([a,b:c])=p-q-(a+b)
  とおく。

 (1) (p,q)パターンのうち、w([a,b:c])=-qとなるものの個数を求めよ。
   また、w([a,b:c])=pとなる (p,q)パターンの個数を求めよ。


  以下、p=qの場合を考える。

 (2) sを整数とする。(p,p)パターンで w([a,b:c])=-p+sとなるものの
    個数を求めよ。

 (3) (p,p)パターンの個数を求めよ。







2011東京大 理系数学6(1)



第6問

  
 (1) x,y を実数とし、x>0とする。tを変数とする二次関数
         f(t)=xt2+yt
   の0≦t≦1における最大値と最小値の差を求めよ。

 (2) 次の条件を満たす点(x,y)全体からなる座標平面内の領域をSとする。
     x>0かつ、実数zで0≦t≦1の範囲のすべての実数tに対して、
       0≦xt2+yt+z≦1
     を満たすようなものが存在する。
    Sの概形を図示せよ。

 (3) 次の条件を満たす点(x,y,z)全体からなる座標空間内の領域をVとする。
     0≦x≦1かつ、0≦t≦1の範囲のすべての実数tに対して、
       0≦xt2+yt+z≦1
     が成り立つ。
    Vの体積を求めよ。