第１問
(１) 5以下の異なる3個の自然数の総和として表される自然数は
何個あるか。
(２) 自然数m、nをm＜nのようにとる。 m個の自然数a1、a2、･･･
、amを
1≦a1＜a2＜･･･＜am≦n
のようにとり、和a1+a2+･･･+amを考える。この形で表される
自然数は何個あるか。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
最小の数は、1+2+3=6
最大の数は、3+4+5=12
その間の数も
1+2+4=7 1+3+4=8 2+3+4=9
2+3+5=10 2+4+5=11
のようにすべて異なる3個の自然数の総和として表せる。
よって、7個
(２)
最小の数（N1とする）は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf N_1=1+2+\ldots +m=\frac{1}{2}m\left(m+1\right)\end{align*}}$
最大の数（N2とする）は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf N_2=\left(n-m+1\right)+\left(n-m+2\right)+\ldots +n=\frac{1}{2}m\left(2n-m+1\right)\end{align*}}$
ここで、N1≦N＜N2を満たすあるNが
N=a1+a2+･･･+am
の形で表されているとすると、
・am-a1=m-1のとき
a1、a2、･･･、amは連続するm個の自然数なので、amの値を
1つ大きくすれば、N+１もm個の異なる自然数の和の形で
表すことができる。
・am-a1≧mのとき
ak+1-ak≧2 （1≦k≦m）となるkが存在するので、akの値を
1つ大きくすれば、N+１もm個の異なる自然数の和の形で
表すことができる。
これを繰り返していくと、N1≦N≦N2であるすべてのNが
N=a1+a2+･･･+am
の形で表すことができるので、求める個数の総数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf N_2-N_1+1&=\sf \frac{1}{2}m\left(2n-m+1\right)-\frac{1}{2}m\left(m+1\right)+1 \\ &=\sf \underline{m\left(n-m\right)+1} \end{align*}}$
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第２問
tを実数とし、a=t3+2(2+$\small\sf{\begin{align*}\sf \sqrt6\end{align*}}$)t2+3(1+2$\small\sf{\begin{align*}\sf \sqrt6\end{align*}}$)t+2(2+$\small\sf{\begin{align*}\sf \sqrt6\end{align*}}$)とする。
点(2，-2)を通り、傾きaの直線をLとする。Lと放物線y=x2が
交わらないtの範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
Lと放物線y=x2が接するときも、「交わらない」として考えることにする。
Lの方程式は
y-(-2)=a(x-2) ⇔ y=a(x-2)-2
これとy=x2を連立させると、
x2=a(x-2)-2 ⇔ x2-ax+2x+2=0
これが異なる2つの実数解を持たなければよいので、
判別式を考えると、
D=a2-4(2a+2)=a2-8a-8≦0
⇔ 4-2$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt6\end{align*}}$≦a≦4+2$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt6\end{align*}}$
・a≦4+2$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt6\end{align*}}$について
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t^3+2\left(2+\sqrt6\right)t^2+3\left(1+2\sqrt6\right)t+2\left(2+\sqrt6\right)\leqq 4+2\sqrt6\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t^3+2\left(2+\sqrt6\right)t^2+3\left(1+2\sqrt6\right)t\leqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t\left(t+3\right)\left(t+1+2\sqrt6\right)\leqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t\leqq 1-2\sqrt6\ ,\ -3\leqq t\leqq 0\end{align*}}$ ･･････(ⅰ)
・4-2$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt6\end{align*}}$≦aについて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 4-2\sqrt6\leqq t^3+2\left(2+\sqrt6\right)t^2+3\left(1+2\sqrt6\right)t+2\left(2+\sqrt6\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t^3+2\left(2+\sqrt6\right)t^2+3\left(1+2\sqrt6\right)t+4\sqrt6\geqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(t+1\right)\bigg\{t^2+\left(3+2\sqrt6\right)t+4\sqrt6\bigg\}\geqq 0\end{align*}}$ ･･････(ⅱ)
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(t\right)&=\sf t^2+\left(3+2\sqrt6\right)t+4\sqrt6 \\ &=\sf \left(t+\frac{3+2\sqrt6}{2}\right)^2-\frac{33-4\sqrt6}{4}\end{align*}}$
とおく。方程式f(t)=0の2解を$\scriptsize\sf{\alpha}$ 、$\scriptsize\sf{\beta}$ （$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＜$\scriptsize\sf{\beta}$ ）とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha=\frac{-3-2\sqrt6-\sqrt{33+8\sqrt6}}{2}\ ,\ \beta=\frac{-3-2\sqrt6+\sqrt{33+8\sqrt6}}{2}\end{align*}}$
-1、$\scriptsize\sf{\alpha}$ 、$\scriptsize\sf{\beta}$ の大小関係を調べると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(-1\right)=\left(-1\right)^2-\left(3+2\sqrt6\right)+4\sqrt6 =2\sqrt6-2\sqrt6 >0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{3+2\sqrt6}{2}<-1\end{align*}}$
なので、$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＜$\scriptsize\sf{\beta}$ ＜-１となる。
よって、不等式(ⅱ)の解は、
$\scriptsize\sf{\alpha}$ ≦t≦$\scriptsize\sf{\beta}$ 、 -1≦t
一方、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(-3\right)=\left(-3\right)^2-3\left(3+2\sqrt6\right)+4\sqrt6 =-2\sqrt6 <0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(-1-2\sqrt6\right)&=\sf \left(-1-2\sqrt6\right)^2+\left(3+2\sqrt6\right)\left(-1-2\sqrt6\right)+4\sqrt6 \\ &=\sf -2 <0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＜1-2$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt6\end{align*}}$＜-3＜$\scriptsize\sf{\beta}$
以上より、(ⅰ)、(ⅱ)をともに満たすようなtの値の範囲は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\alpha\leqq t\leqq -1-2\sqrt6\ ,\ -3\leqq t\leqq\beta\ ,\ -1\leqq t\leqq 0}\end{align*}}$
ただし、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha=\frac{-3-2\sqrt6-\sqrt{33+8\sqrt6}}{2}\ ,\ \beta=\frac{-3-2\sqrt6+\sqrt{33+8\sqrt6}}{2}\end{align*}}$
である。
毎年恒例の計算煩雑シリーズです！
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第３問
自然数の数列{an}を次のように定める。
a1=1 、a2=1 、an+2=an+1+6an （n=1，2，3，･･･）
次の問いに答えよ。
(１) 自然数nに対し、an+2-pan+1=q(an+1-pan)をみたすような数
p、qを求めることにより、数列{an}の一般項を求めよ。
(２) 自然数m、nに対し、am+n+1=am+1an+1+6amanが成り立つことを
証明せよ。
(３) 自然数m、nに対し、mがnで割り切れるとき、amはanで割り切れる
ことを証明せよ。
(４) a12を素因数分解せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
a1=1 、a2=1 、an+2=an+1+6an （n=1，2，3，･･･）
(１)
an+2-pan+1=q(an+1-pan)
⇔ an+2=(p+q)an+1-pqan
これと与えられた漸化式の係数を比較すると、
p+q=1、 pq=-6
解と係数の関係より、p、qはtについての二次方程式
t2-t+6=(t-3)(t+2)=0
の2解なので、
(p，q)=(3，-2)，(-2，3)
・(p，q)=(3，-2)のとき
an+2-3an+1=-2(an+1-3an)
より、数列{an+1-3an}は等比数列をなす。
an+1-3an=(-2)n-1(a2-3a1)=(-2)n ･･････(ⅰ)
・(p，q)=(-2，3)のとき
an+2+2an+1=3(an+1+2an)
より、数列{an+1+2an}は等比数列をなす。
an+1+2an=3n-1(a2+2a1)=3n ･･････(ⅱ)
(ⅱ)-(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 5a_n=3^n-\left(-2\right)^n\ \ \Leftrightarrow\ \ a_n=\underline{\frac{3^n-\left(-2\right)^n}{5}}\end{align*}}$
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{m+1}a_{n+1}+6a_{m}a_{n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{3^{m+1}-\left(-2\right)^{m+1}}{5}\cdot\frac{3^{n+1}-\left(-2\right)^{n+1}}{5}+6\cdot\frac{3^{m}-\left(-2\right)^{m}}{5}\cdot\frac{3^{n}-\left(-2\right)^{n}}{5}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{3^{m+n+2}-3^{m+1}\cdot\left(-2\right)^{n+1}-3^{m+1}\cdot\left(-2\right)^{n+1}+\left(-2\right)^{m+n+2}}{25}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf +6\cdot\frac{3^{m+n}-3^{m}\cdot\left(-2\right)^{n}-3^{m}\cdot\left(-2\right)^{n}+\left(-2\right)^{m+n}}{25}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{3\cdot 3^{m+n+1}+6\cdot 3^{m}\cdot\left(-2\right)^{n}+6\cdot 3^{m}\cdot\left(-2\right)^{n}-2\cdot\left(-2\right)^{m+n+1}}{25}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf +\frac{2\cdot3^{m+n+1}-6\cdot 3^{m}\cdot\left(-2\right)^{n}-6\cdot 3^{m}\cdot\left(-2\right)^{n}-3\left(-2\right)^{m+n+1}}{25}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{5\cdot 3^{m+n+1}-5\cdot\left(-2\right)^{m+n+1}}{25}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{3^{m+n+1}-\left(-2\right)^{m+n+1}}{5}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =a_{m+n+1}\end{align*}}$
(３)
2数x、yおよび自然数kに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(x-y\right)\left(x^{k-1}+x^{k-2}y+x^{k-3}y^2+\cdots +y^{k-1}\right)=x^k-y^k\end{align*}}$
が成り立つ。
mがnで割り切れるとき、自然数kを用いてm=knと表せるので、
x=3n、 y=(-2)n
とおくと、(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_m&=\sf a_{kn} \\ &=\sf \frac{3^{kn}-\left(-2\right)^{kn}}{5}\\ &=\sf \frac{x^{k}-y^{k}}{5}\\ &=\sf \frac{x-y}{5}\cdot\left(x^{k-1}+x^{k-2}y+x^{k-3}y^2+\cdots +y^{k-1}\right)\\ &=\sf a_n\left(x^{k-1}+x^{k-2}y+x^{k-3}y^2+\cdots +y^{k-1}\right) \end{align*}}$ ･･････(ⅲ)
x、yは整数なので、(ⅲ)式の( )内は整数になるため、
amはanで割り切れる。
(４)
与えられた漸化式より
a1=a2=1
a3=1+6・1=7
a4=7+6・1=13
a5=13+6・7=55
a6=55+6・13=133
a7=133+6・55=463
(２)の式において、m=6、n=5とすると、
a12=a7a6+6a6a5
=463・133+6・133・55
=133・(463+330)
=133・793
ここで、(３)より、a12は、a3=7とa4=13で割り切れるので、
a12を素因数分解すると、
a12=7・13・19・61
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第４問
(１) 異なる複素数$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ に対して、$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{z-\alpha}{z-\beta}\end{align*}}$ が純虚数となるようなzは、
複素数平面上でどのような図形を描くか。
(２) 2次方程式x2-2x+4=0の解を$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ とする。ただし、$\small\sf{\alpha}$ の虚部
は正であるとする。等式
$\small\sf{\begin{align*}\sf \arg\frac{z-\alpha^2}{z-\beta^2}=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
をみたすzが、複素数平面上で描く図形を図示せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
複素数平面上の3点、P(z)、A($\scriptsize\sf{\alpha}$ )、B($\scriptsize\sf{\beta}$ ) を考える。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{z-\alpha}{z-\beta}\end{align*}}$ が純虚数のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \arg\frac{z-\alpha}{z-\beta}=\pm\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
なので、∠BPA=±90°.
よって、点Pは線分ABを直径とする円周上を動く。
（ただし、2点A、Bを除く）
(２)
方程式x2-2x+4=0の2解は
$\scriptsize\sf{\alpha}$ =1+$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt3\end{align*}}$ i、 $\scriptsize\sf{\beta}$ =1-$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt3\end{align*}}$ i
なので、
$\scriptsize\sf{\alpha}$ 2=(1+$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt3\end{align*}}$ i)2=-2+2$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt3\end{align*}}$ i
$\scriptsize\sf{\beta}$ 2=(1-$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt3\end{align*}}$ i)2=-2-2$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt3\end{align*}}$ i
複素数平面上の3点、P(z)、C($\scriptsize\sf{\alpha}$ 2)、D($\scriptsize\sf{\beta}$ 2) を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \arg\frac{z-\alpha^2}{z-\beta^2}=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
なので、∠DPC=90°.
よって、点Pは下図のような線分CDを直径とする半円の周上を動く。
（ただし、2点C、Dを除く）
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