第１問
次の条件を満たす放物線をグラフとする2次関数が一つに定まるものを
すべて選べ。ただし、yがxの2次関数のもののみを考える。
ア、3点(-4，13)、(-1，1)、(2，7)を通る
イ、軸がx=3であり2点(-3，8)、(9，8)を通る
ウ、頂点(3，8)で点(5，1)を通る
エ、グラフがx軸と接していて、軸がx=2であり、点(5，9)を通る
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ア
y=ax2+bx+cとおくと、
点(-4，13)を通るので、13=16a-4b+c
点(-1，1)を通るので、1=a-b+c
点(2，7)を通るので、7=4a+2b+c
これらを連立させて解くと、a=b=c=1となり、2次関数は一つに定まる。
イ
y=a(x-3)2+qとおくと、
点(-3，8)を通るので、8=36a+q
点(9，8)を通るので、8=36a+q
これらを満たすa、qは無数にある。
ウ
y=a(x-3)2+8とおくと、
点(5，1)を通るので、1=4a+8
これを満たすaはただ一つである。
エ
y=a(x-2)2とおくと、
点(5，9)を通るので、9=9a
これを満たすaはただ一つである。
以上より、題意を満たすものは、ア、ウ、エ
ウとエは図をイメージできれば計算の必要はありません。
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第２問
関数
f(x)=x6+x4+5x2+5
の最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
t=x2とおき、関数
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf F(t)=t^3+t^2+5t+5\ \ (t\geq 0)\end{align*}}$
を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf F\ '(t)=3t^2+2t+5=3\left(t+\frac{1}{3}\right)^2+\frac{14}{3}>0'\end{align*}}$
なので、F(t)は単調に増加する。
よって、f(x)の最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf F(x)_{min}=F(t)_{min}=F(0)=\underline{\rm 5}\end{align*}}$
そのままxで微分してもできます
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第３問
表と裏の出る確率が同様に確からしいコインを10回投げる。
表が8回以上出る確率を求めよ。ただし、答えは百分率(%)で
表し、小数第2位を四捨五入することとする。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
表裏の出方の総数は210通り
表が8回出るのは、10C8=45通り
表が9回出るのは、10C9=10通り
表が10回出るのは、10C10=1通り
よって、表が8回以上出る確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{45+10+1}{2^{10}}=\frac{7}{128}=0.0546\ldots\end{align*}}$
百分率に直して四捨五入すると、5.5%である。
簡単ですが、割り算の筆算がイヤですｗｗｗ
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第４問
$\small\sf{\begin{align*}\sf \int_0^{\pi/2}\cos^2x\sin^3xdx\end{align*}}$
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t=\cos x\ \ ,\ \ \frac{dt}{dx}=-\sin x\end{align*}}$
と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\int_0^{\pi/2}\cos^2x\sin^3xdx&=\sf \int_1^0t^2\sin^3x\cdot\frac{dt}{-\sin x}\\ &=\sf \int_0^1t^2\left(1-t^2\right)dt\ \ \ \left(\because\ \sin^2x=1-\cos^2x=1-t^2\right)\\ &=\sf \int_0^1\left(t^2-t^4\right)dt\\ &=\sf \left[\frac{t^3}{3}-\frac{t^5}{5}\right]_0^1\\ &=\sf \underline{\sf \frac{2}{15}}\end{align*}}$
t=sinxの置換ではできません。
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第５問
1を解にもつ実数係数の方程式x3+ax2+bx+c=0のほかの2つの解を
$\small\sf{\begin{align*}\sf \alpha\ , \ \beta\end{align*}}$ とする。複素数平面上で$\small\sf{\begin{align*}\sf 1\ ,\ \alpha\ , \ \beta\end{align*}}$ が面積$\small\sf{\begin{align*}\sf 6\sqrt3\end{align*}}$ である正六角形
の異なる3頂点になっているという。この条件を満たすcの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
正六角形の一辺をLとおくと、面積が$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 6\sqrt3\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 6\cdot\frac{1}{2}L^2\sin\frac{\pi}{3}=6\sqrt3\ \ \Leftrightarrow\ \ L=2\ (>0)\end{align*}}$
また、実数係数の方程式なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha\end{align*}}$ と$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \beta\end{align*}}$ は共役な複素数である。
ここで、虚部が正の方を$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha\end{align*}}$ としても一般性を失わない。
この正六角形は実軸上の点1と、実軸について対称な2点$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha\end{align*}}$ 、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \beta\end{align*}}$ を頂点に
もつので、次の2つの場合が考えられる。
図のz1～z4の値はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_1=\sqrt3\ i\ \ ,\ \ z_2=-2+\sqrt3\ i\ \ ,\ \ z_3=2+\sqrt3\ i\ \ ,\ \ z_4=4+\sqrt3\ i\end{align*}}$
解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1\cdot \alpha\cdot \beta=-c\ \ \Leftrightarrow\ \ c=-\alpha\beta=-|\alpha|^2\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha=z_1\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c=-|\sqrt3|^2=\underline{\rm -3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha=z_2\end{align*}}$ のとき
α＝z2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c=-|-2+\sqrt3|^2=\underline{\rm -7}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha=z_3\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c=-|2+\sqrt3|^2=\underline{\rm -7}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha=z_4\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c=-|4+\sqrt3|^2=\underline{\rm -19}\end{align*}}$
この問題が一番難しいかもしれません。
とりあえずは後回しで！
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第６問
実数x、yが
x2+y2=1
を満たすとき、
(x+y)2
の最大値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
x2+y2=1 より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(x+y\right)^2&=\sf x^2+2xy+y^2\\ &=\sf 1+2xy\\ &\leq\sf 2|xy|\\ &=\sf 1+2\sqrt{x^2y^2}\\ &\leq\sf 1+\left(x^2+y^2\right)\\ &=\sf 2\end{align*}}$
となるので、最大値は2である。
上では相加相乗平均を使いましたが、普通に x=cosθ、y=sinθと置き換えてもできます。
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第７問
方程式
$\small\sf{\begin{align*}\sf x^2-\left(4\log_{10}2\right)x+\left(\log_{10}a\right)^2=0\ \ \left(a\gt 0\right)\end{align*}}$
が実数解をもたないようなaの範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D/4=\left(2\log_{10}2\right)^2-\left(\log_{10}a\right)^2\lt 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\log_{10}a+2\log_{10}2\right)\left(\log_{10}a-2\log_{10}2\right)\gt0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log_{10}a\lt -2\log_{10}2\ \ ,\ \ 2\log_{10}2\lt \log_{10}a\end{align*}}$
a＞0と底＞1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\sf 0\lt a\lt\frac{1}{4}\ \ ,\ \ 4\lt a}\end{align*}}$
スラスラスラーーー
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第８問
$\small\sf{\begin{align*}\sf y=\sin x\cos x+\sin x+\cos x\end{align*}}$
の最大値と最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t=\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\ \ \ \ \left(-\sqrt 2\leq t\leq\sqrt 2\right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t^2=\sin^2x+2\sin x\cos x+\cos^2x=1+2\sin x\cos x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\frac{t^2-1}{2}+t=\frac{1}{2}\left(t+1\right)^2-1\end{align*}}$
これをtの関数とみなしてf(t)とおくと、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\sqrt2\leqq t\leqq \sqrt2\end{align*}}$ の範囲における
最大値および最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y_{max}=f\left(\sqrt2\right)=\underline{\sf \sqrt2+\frac{1}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y_{min}=f\left(1\right)=\underline{\sf -1}\end{align*}}$
これはよくある問題ですね
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第９問
次の極限値を求めよ。
$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-e^{\sin x}}{x-\sin x}\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
関数f(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=e^x\ \ ,\ \ f\ '(x)=e^x\end{align*}}$
とおく。
また、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h=x-\sin x\end{align*}}$ とおくと、x→0のときh→0である。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-e^{\sin x}}{x-\sin x}&=\sf \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{\sin x}\left(e^{x-\sin x}-1\right)}{x-\sin x}\\ &=\sf e^0\cdot\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^h-e^0}{h}\\ &=\sf 1\cdot f\ '(0)\\ &=\sf e^0\\ &=\sf \underline{\sf 1}\end{align*}}$
微分係数の定義です。
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第10問
2つの平面2x-3y+z=1、3x+2y-z=-1の交線を含み、ベクトル
(1，2，3)に平行な平面の方程式を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
2x-3y+z=1 ･･････①
3x+2y-z=-1 ･･････②
①、②よりzおよびyを消去すると
y=5x ･･････③
z=13x+1 ･･････④
2平面①、②の交線をLとすると、L上の点(x，y，z)は、
③、④の2式を同時に満たす。
求める平面をPとし、実数a、b、cを用いてax+by+cz+d=0
とおくと、PはLを含むので、③、④を満たす。
よって、
ax+5bx+c(13x+1)+d=0
⇔ (a+5b+13c)x+c+d=0
これが任意のxに対して成り立つので、両辺の係数を比較すると
a+5b+13c=c+d=0
⇔ a=-5b-13c かつ d=-c
これより、Pの式は
(-5b-13c)x+by+cz-c=0
と表せ、Pはベクトル $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf n}\end{align*}}$ =(-5b-13c，b，c)と垂直である。
一方、Pはベクトル $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf d}\end{align*}}$ =(1，2，3)と平行なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf n}\end{align*}}$ と$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf d}\end{align*}}$ は垂直である。
これら2つのベクトルの内積を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf n}\cdot\overrightarrow{\sf d}=(-5b-13c)+2b+3c=0\ \ \Leftrightarrow\ \ b=-\frac{10}{3}c\end{align*}}$
よって、Pの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{11}{3}cx-\frac{10}{3}cy+cz-c=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf 11x-10y+3z-3=0}\end{align*}}$
「平面の方程式」は数Bの教科書にちょっとだけ載っていますが、
あまりちゃんと習っていないのでは？？
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