第１問
xy平面上の点で、x座標、y座標がともに整数である点を格子点という。
xy平面内の多角形Sに対し、Sに含まれる格子点の個数をn(S)と表す。
（但し、Sの辺上にある格子点も数えるものとする。）以下の多角形Sに
対して、n(S)を求めよ。
(１) (0，0)、(11，0)、(0，10)を頂点とする三角形。
(２) a、bはa＞bを満たす正整数とし、その最大公約数をdとおく。このとき、
(0，0)、(0，2b)、(a，b)、(a−b，0)を頂点とする四角形。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
領域0≦x≦11、 0≦y≦10に含まれる格子点
12×11=132個
2点(11，0)、(0，10)を結ぶ線分
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=-\frac{10}{11}x+10\ \ \ \left(0\leq x\leq 11\right)\end{align*}}$
上にある格子点は、(0，10)、(11，0)の2点のみ。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n\left(S\right)=\frac{132+2}{2}=\underline{\ 67}\end{align*}}$
(２)
a=dA、b=dBとおくと、AとBは互いに素な自然数である。
領域0≦x≦a、 0≦y≦2bに含まれる格子点は、
(a+1)(2b+1)個 ･･････①
領域0≦x≦a、 b≦y≦2bに含まれる格子点は、(a+1)(b+1)個
2点(a，b)、(0，2b)を結ぶ線分
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=-\frac{b}{a}x+2b=-\frac{B}{A}x+2b\ \ \ \left(0\leq x\leq a\right)\end{align*}}$
上にある格子点は、
(0，2b)、(A，2b-B)、(2A，2b-2B)、･･･、(da，2b-dB)=(a，b)
のd+1個
よって、領域
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\leq x\leq a\ ,\ b\leq y\leq 2b\ ,\ y>-\frac{B}{A}x+2b\end{align*}}$
に含まれる格子点の数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\left(a+1\right)\left(b+1\right)-\left(d+1\right)}{2}\end{align*}}$ 個 ･･････②
また、2点(a-b，0)、(a，b)を結ぶ線分は
y=x-a+b （a-b≦x≦a）
であり、領域a-b≦x≦a、0≦y≦b、y＜x-a+bに含まれる格子点は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0+1+2+\cdots +b=\frac{b\left(b+1\right)}{2}\end{align*}}$ 個 ･･････③
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf n\left(S\right)&=\sf \left(a+1\right)\left(2b+1\right)-\frac{\left(a+1\right)\left(b+1\right)-\left(d+1\right)}{2}-\frac{b\left(b+1\right)}{2} \\ &=\sf \underline{\frac{3ab-b^2+a+2b+d+2}{2}} \end{align*}}$
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- 2018/09/26(水) 19:55:23|
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第２問
実数aに対して以下の条件(F)を考える。
・条件(F)：不等式
$\small\sf{\begin{align*}\sf \left \lceil \cos x\cos y\right \rceil\lt a-\sin x\sin y\end{align*}}$
が任意の実数x、yに対して成り立つ。
但し、実数rに対して⌈r⌉はr以上の整数の中で最小のものを表す。
(１) a≧2ならば、aは条件(F)を満たすことを証明せよ。
(2) 条件(F)を満たす実数の中で、a=2は最小であることを証明せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
記号⌈ ⌉の定義より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left \lceil \cos x\cos y\right \rceil\lt\cos x\cos y+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left \lceil \cos x\cos y\right \rceil +\sin x\sin y&\lt\sf\cos x\cos y +\sin x\sin y+1\rm \\ &=\rm \cos\left(x-y\right)+1\\ &\rm \leqq 2\ \ \ \ \ \left(\because\ \cos\left(x-y\right)\leq 1\right)\\ &\leqq\sf a\ \ \ \ \ \left(\because\ a\geqq 2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left \lceil \cos x\cos y\right \rceil \lt a-\sin x\sin y\end{align*}}$
となり、条件(F)を満たす。
(２)
a＜2であるaに対して条件(F)が成り立つと仮定すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left \lceil \cos x\cos y\right \rceil +\sin x\sin y\lt a\lt 2\end{align*}}$
ここで、x=yとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left \lceil \cos^2x\right \rceil +\sin^2x\lt a\lt2\end{align*}}$ ･･････(*)
であり、cosx≠0のとき
0＜cos\ltsup>2\lt/sup>x≦1より、⌈cos\ltsup>2\lt/sup>x⌉=1
よって、(*)でx→$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の極限を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\left(\left\lceil \cos^2x\right \rceil +\sin^2x\right)=1+1=2\lt a\lt2\end{align*}}$
となり矛盾する。
よって、(F)を満たすaの最小値は2である。
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- 2018/09/26(水) 20:01:24|
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第３問
kは1より大きい整数で、nとjは不等式1+j(k−1)≦nを満たす正整数である。
このとき、k個の正整数からなる数列(a1，a2，･･･，ak)のうち、以下の2条件
を両方とも満たす数列の個数を求めよ。
・条件(ⅰ)： ak≦n
・条件(ⅱ)： 各i（1≦i≦k−1）に対してai+1−ai≧j
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
条件(ⅰ)(ⅱ)を満たす数列(a1，a2，･･･，ak)に対して、
数列(b1，b2，･･･，bk)を
bi=ai-(j-1)(i-1) （i=1，2，･･･，k）
と定義すると、数列(b1，b2，･･･，bk)は、2条件
・条件(ⅲ)：
ak=bk+(j-1)(k-1)≦n
⇔ bk≦n-(j-1)(k-1)
・条件(ⅳ)： 各i（1≦i≦k-1）に対してbi+1-bi≧1
を満たす。
すなわち、
1≦b1＜b2＜b3＜･･･＜bk≦n-(j-1)(k-1)
となる。
1～n-(j-1)(k-1)の自然数の中からk個の自然数を選び、
小さいほうから順にb1、b2、･･･、bkとすればよいので、
条件(ⅲ)(ⅳ)を満たす数列(b1，b2，･･･，bk)の個数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf _{n-\left(j-1\right)\left(k-1\right)}C_k\end{align*}}$ 個
よって、条件(ⅰ)(ⅱ)を満たす数列(a1，a2，･･･，ak)も同数あり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf _{n-\left(j-1\right)\left(k-1\right)}C_k=\underline{\frac{\big\{n-\left(j-1\right)\left(k-1\right)\big\}!}{k!\big\{n-j\left(k-1\right)-1\big\}}}\end{align*}}$ 個
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第４問
f(x)は複素数平面全体で定義された関数であり、以下の条件(N)を
満たすものとする。
・条件(N)： Re(f(z)f(w))=Re(zw)が任意の複素数z、wに対して
成り立つ。
（但し、複素数αに対して、Reαはαの実部を、αはαの共役複素数
を表す。）
(１) 複素数zの絶対値が1ならば、f(z)の絶対値も1であることを証明せよ。
(２) 以下の等式を証明せよ。
(a) 任意の複素数z、wに対してf(z+w)=f(z)+f(w)が成り立つ。
(b) 任意の実数rと任意の複素数zに対してf(rz)=rf(z)が成り立つ。
(３) 絶対値が1の複素数aを用いて、
f(z)=az または f(z)=az
と表せることを証明せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
複素数zに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Re\left(z\right)=\frac{z+\overline{z}}{2}\end{align*}}$
なので、条件(N)より
Re(f(z)f(w))=Re(zw)
⇔ f(z)f(w)+f(z)f(w)=zw+zw ･･････(ⅰ)
z=wとすると、
2f(z)f(z)=2zz ⇔ |f(z)|=|z| ･･････(ⅱ)
よって、|z|=1のとき|f(z)|=1となる。
(２)(a)
|f(z+w)-f(z)-f(w)|2
={f(z+w)-f(z)-f(w)}{f(z+w)-f(z)-f(w)}
=f(z+w)f(z+w)+f(z)f(z)+f(w)f(w)-{f(z+w)f(z)+f(z+w)f(z)}
-{f(z+w)f(w)+f(z+w)f(w)}+{f(z)f(w)+f(z)f(w)}
=|f(z+w)|2+|f(z)|2+|f(w)|2-{(z+w)z+(z+w)z}
-{(z+w)w+(z+w)w}+(zw+zw) ←(ⅰ)より
=|z+w|2+|z|2+|w|2-(z+w)(z+w)-zz-ww ←(ⅱ)より
=0
よって、
|f(z+w)-f(z)-f(w)|=0 ⇔ f(z+w)=f(z)+f(w)
(２)(b)
|f(rz)-rf(z)|2
={f(rz)-rf(z)}{f(rz)-rf(z)}
=f(rz)f(rz)+r2f(z)f(z)-r{f(rz)f(z)+f(rz)f(z)}
=|f(rz)|2+r2|f(z)|2-r{rzz+rzz} ←(ⅰ)より
=|rz|2+r2|z|2-2r2zz ←(ⅱ)より
=0
よって、
|f(rz)-rf(z)|=0 ⇔ f(rz)=rf(z)
(３)
z=x+yi （x、yは実数）とおくと、(２)(a)(b)より
f(z)=f(x+yi)=xf(1)+yf(i) ･･････(ⅲ)
ここで、(ⅰ)より
f(1)f(i)+f(1)f(i)=1・i+1・i=i-i=0
両辺にf(1)f(i)をかけると、
{f(1)}2f(i)f(i)+f(1)f(1){f(i)}2=0
⇔ {f(1)}2|f(i)|2+|f(1)|2{f(i)}2=0
⇔ {f(1)}2+{f(i)}2=0 ←(１)より
⇔ f(i)=±f(1)i
これと(ⅲ)より
f(z)=xf(1)±yf(1)i=f(1)(x±yi)
a=f(1)とおくと、(１)より|a|=|f(1)|=1
よって、
f(z)=az または f(z)=az
と表せる。
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- 2018/09/26(水) 20:03:14|
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