第１問
xは0≦x≦9を満たす整数とし。x3-9x2+18x=tとする。|t|の一の位が
0となるxをすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
t=x(x2-9x+18)=x(x-3)(x-6)
と因数分解できるので、t=0となるのは、x=0，3，6のときである。
また、x-3とx-6の一方は偶数なので、|t|の一の位が0になるのは、
x、x-3、x-6のいずれかが5の倍数であればよい。
0≦x≦9なので、
・x=5
・x-3=5 ⇔ x=8
・x-6=-5 ⇔ x=1
以上より、題意を満たすxは
x=0，1，3，5，6，8
因数分解に気づけば簡単です。
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- 2018/09/26(水) 19:14:56|
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第２問
sin$\small\sf{\theta}$ =tとする。sin5$\small\sf{\theta}$ をtの整式で表したときのt3の係数を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ド・モアブルの定理と二項定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos 5\theta+i\sin 5\theta&=\sf \left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^5\\ &=\sf \sum_{k=0}^5\ _5C_k\left(\cos\theta\right)^k\left(i\sin\theta\right)^{5-k}\end{align*}}$
両辺の虚数の項を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf i\sin 5\theta=\sf _5C_0\left(i\sin\theta\right)^{5}+_5C_2\left(\cos\theta\right)^2\left(i\sin\theta\right)^{3}+_5C_4\left(\cos\theta\right)^4\cdot i\sin\theta\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin\theta =t\ \ ,\ \ \cos^2\theta=1-\sin^2\theta=1-t^2\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf i\sin5\theta&=\sf \left(ti\right)^5+10\left(1-t^2\right)\left(ti\right)^3+5\left(1-t^2\right)^2\cdot ti\\ &=\sf i\left\{t^5-10t^3\left(1-t^2\right)+5t\left(1-2t^2+t^4\right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin 5\theta&=\sf 6t^5-20t^3+5t\end{align*}}$
よって、この式のt3の係数は-20である。
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- 2018/09/26(水) 19:18:42|
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第３問
不等式
$\small\sf{|x^2-2x-3|\gt 3}$|
を解け。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|x^2-2x-3\right|\gt 3\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-2x-3\lt -3\ \ or\ \ x^2-2x-3\gt 3\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (i)\ \ x^2-2x-3\lt -3&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x^2-2x\lt 0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x\left(x-2\right)\lt 0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 0\lt x\lt 2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (ii)\ \ x^2-2x-3\gt 3&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x^2-2x-6\gt 0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x\lt 1-\sqrt7\ ,\ 1+\sqrt7\lt x\end{align*}}$
(ⅰ)、(ⅱ)より、不等式の解は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\rm x\lt 1-\sqrt7\ \ ,\ \ 0\lt x\lt 2\ \ ,\ \ 1+\sqrt7\lt x}\end{align*}}$
普通に絶対値を外せば2,3分で解けるでしょ。
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- 2018/09/26(水) 19:23:07|
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第４問
$\small\sf{\begin{align*}\sf b=a+\frac{1}{a}\end{align*}}$ とする。$\small\sf{\begin{align*}\sf a^5+\frac{1}{a^5}\end{align*}}$ をbの多項式で表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a^5+\frac{1}{a^5}&=\sf \left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)\left(a^3+\frac{1}{a^3}\right)-\left(a^3\cdot\frac{1}{a^2}+a^2\cdot\frac{1}{a^3}\right)\\ &=\sf \left\{\left(a+\frac{1}{a}\right)^2-2a\cdot\frac{1}{a}\right\}\left\{\left(a+\frac{1}{a}\right)^3-3a\cdot\frac{1}{a}\left(a+\frac{1}{a}\right)\right\}-\left(a+\frac{1}{a}\right)\\ &=\sf \left(b^2-2\right)\left(b^3-b\right)-b\\ &=\sf \underline{\sf b^5-5b^3+5b}\end{align*}}$
これもせいぜい3分ってとこでしょ。
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- 2018/09/26(水) 19:25:39|
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第６問
$\small\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq x\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ において、曲線y=asinx （aは定数）をC1、曲線y=tanxを
C2とする。a＞1であるとき、2つの曲線C1とC2で囲まれる部分の面積
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sf a\sin x=\tan x&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a\sin x=\frac{\sin x}{\cos x}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \sin x\left(\frac{1}{\cos x}-a\right)=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \sin x=0\ ,\ \cos x=\frac{1}{a}\end{align*}}$
となり、a＞1なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos x=\frac{1}{a}"align="middle\end{align*}}$ となるxが $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt x\lt \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲に
ただ1つ存在する。その値をpとおくと、0＜x＜pの範囲で常に
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin x\left(\frac{1}{\cos x}-a\right)\lt 0\ \ \Leftrightarrow\ \ a\sin x\gt \tan x\end{align*}}$
が成り立つので、2曲線で囲まれた部分の面積をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \int_0^p\left(a\sin x-\tan x\right)dx\\ &=\sf \int_0^p\left\{a\sin x+\frac{\left(\cos x\right)'}{\cos x}\right\}dx\\ &=\sf \bigg[-a\cos x+\log\left|\cos x\right|\bigg]_0^p\\ &=\sf -a\left(\cos p-1\right)+\log\left|\cos p\right|-\log 1\\ &=\sf -a\left(\frac{1}{a}-1\right)+\log\left|\frac{1}{a}\right|\\ &=\sf \underline{\sf a-1-\log a}\end{align*}}$
tanxの積分は知ってますよね？
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- 2018/09/26(水) 19:32:01|
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第７問
$\small\sf{\begin{align*}\sf a_1=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ a_{n+1}=\frac{a_n}{2-a_n}\end{align*}}$
で与えられる数列{an}のa11を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
a1≠0より、a2≠0であり、以下も帰納的にan≠0
両辺の逆数をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{2-a_n}{a_n}=\frac{2}{a_n}-1\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{a_{n+1}}-1=2\left(\frac{1}{a_n}-1\right)\end{align*}}$
と変形できるので、数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left\{\frac{1}{a_n}-1\right\}\end{align*}}$ は等比数列をなす。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{a_n}-1=2^{n-1}\left(\frac{1}{a_1}-1\right)=2^{n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{a_n}=2^{n-1}+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_n=\frac{1}{2^{n-1}+1}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{11}=\frac{1}{2^{10}+1}=\underline{\rm \frac{1}{1025}}\end{align*}}$
真面目に解かなくても、a2、a3、a4、・・・と計算していけば、a11も類推できます（笑）
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- 2018/09/26(水) 19:33:55|
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第８問
y軸上に点A、x軸上に点Bという異なる2点をとる。線分ABをa：bに
外分する点をCとし、その座標を(p，q)とする。このときb２p２+a２q２
の値をp、qを用いずに表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
A、Bの座標をA(0，Y)、B(X，0)とおくと、Cは線分ABをa：bに
外分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(p,q\right)=\left(\frac{aX}{a-b}\ ,\ \frac{-bY}{a-b}\right)\end{align*}}$
と表せる。よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b^2p^2+a^2q^2&=\sf b^2\left(\frac{aX}{a-b}\right)^2+a^2\left(\frac{-bY}{a-b}\right)^2\\ &=\sf \frac{a^2b^2\left(X^2+Y^2\right)}{\left(a-b\right)^2}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{a^2b^2\ AB^2}{\left(a-b\right)^2}}\end{align*}}$
X、Yは消えないのですが、ABの長さを使っていいのか 何とも微妙な問題ですね・・・・
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- 2018/09/26(水) 19:34:51|
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第９問
一辺の長さが2である正四面体OABCがある。辺OA上にOD：DA=2：1、
辺BC上にBE：EC=3：2となるように点D、Eをとる。三角形ODEの面積
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf a}|=|\overrightarrow{\sf b}|=|\overrightarrow{\sf c}|=2\end{align*}}$ ・・・・・・(ⅰ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}=2\cdot 2\cdot\cos\frac{\pi}{3}=2\end{align*}}$ ・・・・・・(ⅱ)
点DはOAを2：1に内分する点、点EはBCを3：2に内分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf a}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OE}=\frac{2}{5}\overrightarrow{\sf b}+\frac{3}{5}\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
(ⅰ)、(ⅱ)を用いて計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf OD}|=\frac{2}{3}|\overrightarrow{\sf a}|=\frac{4}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf OE}|^2&=\sf \left|\frac{2}{5}\overrightarrow{\sf b}+\frac{3}{5}\overrightarrow{\sf c}\right|^2\\ &=\sf \frac{4}{25}|\overrightarrow{\sf b}|^2+\frac{12}{25}\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}+\frac{9}{25}|\overrightarrow{\sf c}|^2\\ &=\sf \frac{76}{25}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}&=\sf \frac{2}{3}\overrightarrow{\sf a}\cdot\left(\frac{2}{5}\overrightarrow{\sf b}+\frac{3}{5}\overrightarrow{\sf c}\right)\\ &=\sf \frac{4}{15}\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+\frac{6}{15}\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf c}\\ &=\sf \frac{4}{3}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle ODE&=\sf \frac{1}{2}\sqrt{\left|\overrightarrow{\sf OD}\right|^2\left|\overrightarrow{\sf OE}\right|^2-\left(\overrightarrow{\sf OD}\cdot\overrightarrow{\sf OE}\right)^2}\\ &=\sf \frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2\cdot\frac{76}{25}-\left(\frac{4}{3}\right)^2}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{2\sqrt{51}}{15}}\end{align*}}$
難しくはありませんが、計算が面倒です・・・・・焦らずに！！
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- 2018/09/26(水) 19:36:25|
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