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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2016京都府立医科大 数学1



第1問

  nは2以上の整数とする。変量xについてのデータの値をxk (1≦k≦n)とし、
  変量yについてのデータの値をyk (1≦k≦n)とする。変量zはデータの値が
  xkyk (1≦k≦n)である変量を表す。

 (1) 変量xとyのn個の値の組を(xk,yk) (1≦k≦n)としたときのxとyの共分散
    sxy (偏差の積の平均)について
        $\small\sf{\begin{align*}\sf s_{xy}=\overline{z}-\overline{x}\ \overline{y}\end{align*}}$
    が成り立つことを証明せよ。ここで$\small\sf{\begin{align*}\sf \overline{x},\ \overline{y},\ \overline{z}\end{align*}}$ はそれぞれ変量x、y、zについてのデータの
    値の平均値を表す。

  0以上の整数aと1以上の整数bに対し、aをbで割った余りをRb(a)と表す。L、mは
  2以上n以下の整数とする。変量xとyのn個の値の組を
        $\small\sf{\begin{align*}\sf (x_k,\ y_k)=\left(R_{L}\sf (k-1)+1\ ,\ R_m(k-1)+1\right)\ \ \ (1\leqq k\leqq n) \end{align*}}$
  としたときのxとyの相関係数をrとする。

 (2) L はnの約数とし、m=nであるとき、rを求めよ。

 (3) n=L(L+1) とし、m=L+1であるとき、rを求めよ。



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  1. 2019/01/28(月) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .京都府立医大 2016
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2016京都府立医科大 数学2



第2問

  zは0でない複素数とし、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \alpha=\frac{3}{4}\left(z+\overline{z}\right)\ ,\ \ \beta=\frac{3}{4}\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{\overline{z}}\right) \end{align*}}$
  とおく。ただしz はzに共役な複素数である。

 (1) $\small\sf{\begin{align*}\sf \beta=0\end{align*}}$ となるzはどのような複素数か述べよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*}\sf \alpha\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*}\sf \beta\end{align*}}$ がともに自然数となるzをすべて求めよ。

 (3) 複素数平面上において、(2)で求めたzに対応する点のすべてを周または内部に
    含む円を考え、そのような円のうち最小の面積をもつものをCとする。Cの中心を
    表す複素数とCの半径を求めよ。




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  1. 2019/01/29(火) 23:57:00|
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2016京都府立医科大 数学3



第3問

  a、bを正の実数とし、媒介変数表示
        $\small\sf{\begin{align*}\sf x=a\cos 2t\ ,\ \ y=b\sin 3t\ \ \ \left(0\leqq t\leqq\frac{\pi}{3}\right)\end{align*}}$
  で表されるxy平面上の曲線をCとする。

 (1) 実数$\small\sf{\begin{align*}\sf\theta \end{align*}}$ に対して、$\small\sf{\begin{align*}\sf\sin 3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta \end{align*}}$ であることを証明せよ。

 (2) yをxを用いて表せ。

 (3) xの関数yの増減を調べ、曲線Cの概形をかけ。

 (4) 曲線Cとx軸とで囲まれた図形をx軸のまわりに1回転させてできる立体の
   体積Vを求めよ。




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  1. 2019/01/30(水) 23:57:00|
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2016京都府立医科大 数学4



第4問

  xy平面上でx座標とy座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ。すべての整数$\small\sf{\begin{align*}\it l\end{align*}}$、mに対し、
  直線x=$\small\sf{\begin{align*}\it l\end{align*}}$ と直線y=mを引き、xy平面を格子点を頂点とする一辺の長さが1の正方形の集
  まりに分割する。その一つ一つの正方形(格子点を頂点とする1辺の長さが1の正方形)の
  内部を区画と呼ぶ。正の実数kに対して原点を通る直線Lk: y=kxをとり、Lkが通る区画
  について考える。ここでLkが区画を通るとは、直線Lkと区画が共有点をもつことをいう。
  自然数nに対して、不等式n-1<x<nで表されるxy平面上の領域をDnとする。Dnに含まれ、
  直線Lkが通る区画の個数をanとおく。

 以下kは無理数とする。

 (1) 直線Lkは原点以外に格子点を通らないことを証明せよ。

 (2) k<an<k+ 2であることを証明せよ。

 (3) Nを自然数とするとき、極限 $\small\sf{\begin{align*}\sf\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Na_n\end{align*}}$ を求めよ.

 (4) 0<k<1とする。自然数Nに対し、N以下の自然数nで an≧k+1 となるnの個数を
    ANとおく。極限 $\small\sf{\begin{align*}\sf\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{A_N}{N}\end{align*}}$ を求めよ。





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  1. 2019/01/31(木) 23:57:00|
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