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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2016大阪市立大 文系数学1



第1問

  x、yを整数とするとき、次の問いに答えよ。

 (1) x2+y2が3で割り切れるとき、xとyはともに3の倍数であることを示せ。

 (2) x2+y2が27で割り切れるとき、xとyはともに9の倍数であることを示せ。

 (3) nを正の整数とする。x2+y2が32n-1で割り切れるとき、xとyはともに3n
    倍数であることを示せ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2016/03/12(土) 23:54:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 文系 2016
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2016大阪市立大 文系数学2



第2問

  さいころの6つの面の中から2面を選んで赤色に塗る。残った4面の中から
  2面を選んで黒色に塗る。最後に残った2面は白色に塗る。なお、色を塗っ
  ても、さいころの目は判別できるものとする。このとき次の問いに答えよ。

 (1) 上のような各麺への色の塗り分け方は全部で何通りあるか。

 (2) 赤い面が向かい合うような、各麺への色の塗り分け方は何通りあるか。

 (3) 赤い面が隣り合うような、各麺への色の塗り分け方は何通りあるか。

 (4) 同じ色の面がすべて隣り合うような、各麺への色の塗り分け方は何通り
    あるか。

 (5) 同じ色の面がすべて向かい合うような、各麺への色の塗り分け方は何通
    りあるか。




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  1. 2016/03/12(土) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 文系 2016
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2016大阪市立大 文系数学3



第3問

  a、bは実数で、b>0とする。放物線y=x2と直線y=ax+bの2つの交点を
  P、Qとおく。次の問いに答えよ。

 (1) 線分PQの長さを、aとbを用いて表せ。

 (2) 直線y=ax+bが点 $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(1,\frac{5}{4}\right)\end{align*}}$ を通るときの、線分PQの長さの最小値を
    求めよ。




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  1. 2016/03/13(日) 23:54:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 文系 2016
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2016大阪市立大 文系数学4



第4問

  4面体OABCは、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OA}=9\ ,\ \overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=3\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=14\end{align*}}$
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=1\ ,\ \overrightarrow{\rm OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=3\ ,\ \overrightarrow{\rm AC}\cdot\overrightarrow{\sf BC}=5\end{align*}}$
  を満たすものとする。また、直線AB上の点Dを$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ が垂直になるように
  とり、実数mを
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}=m\overrightarrow{\sf OA}+\left(1-m\right)\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
  となるように定める。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
   とおくとき、次の問いに答えよ。

 (1) mの値を求めよ。

 (2) m<s<1を満たす実数sに対し、辺ABを(1-s):sに内分する点Pをとる。
    さらに、直線AC上の点Qを$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\end{align*}}$ が垂直になるようにとり、実数tを
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=t\overrightarrow{\sf a}+\left(1-t\right)\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
    となるように定める。tをsを用いて表せ。

 (3) (2)のtに対し、0<t<1が成り立つことを示せ。




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  1. 2016/03/13(日) 23:57:00|
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