第1問
x、yを整数とするとき、次の問いに答えよ。
(1) x2+y2が3で割り切れるとき、xとyはともに3の倍数であることを示せ。
(2) x2+y2が27で割り切れるとき、xとyはともに9の倍数であることを示せ。
(3) nを正の整数とする。x2+y2が32n-1で割り切れるとき、xとyはともに3nの
倍数であることを示せ。
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【解答】
(1)
mod3の合同式で考える。
・x≡y≡0のとき、x2+y2≡0+0≡0
・x≡±1、y≡0のとき、x2+y2≡1+0≡1
・x≡0、y≡±1のとき、x2+y2≡0+1≡1
・x≡±1、y≡±1のとき、x2+y2≡1+1≡2 （複号は任意）
以上より、x2+y2≡0となるのは、x≡y≡0のときである。
よって、x2+y2が3で割り切れるとき、xとyはともに3の倍数である。
(2)
x2+y2が27で割り切れるとき、整数kを用いて
x2+y2=27k ・・・・・・①
と表せる。
x2+y2は3でも割り切れるので、(1)より、xとyはともに3の倍数である。
よって、整数x1、y1を用いて
x=3x1、 y=3y1
と表すことができる。これらを①に代入すると、
(3x1)2+(3y1)2=27k ⇔ x12+y12=3k
となるので、(1)より、x1とy1はともに3の倍数である。
よって、整数x2、y2を用いて
x=3x1=9x2、 y=3y1=9y2
と表すことができるので、xとyは9の倍数である。
(3)
「x2+y2が32n-1で割り切れるとき、xとyはともに3nの倍数である」・・・・・・(#)
これを数学的帰納法で示す。
(ⅰ) n=1のときは(1)よりOK
(ⅱ) n=kのとき(#)が成り立つと仮定すると、
x2+y2が32k-1で割り切れるとき、xとyはともに3kの倍数である ・・・・・・②
n=k+1のとき
x2+y2が32k+1で割り切れるとき、整数kを用いて
x2+y2=32k+1k ・・・・・・③
このとき、x2+y2は32k-1でも割り切れるので、②より、xとyはともに
3kの倍数である。
よって、整数x1、y1を用いて
x=3kx1、 y=3ky1
と表すことができる。これらを③に代入すると、
(3x1k)2+(3y1k)2=32k+1k ⇔ x12+y12=3k
となるので、(1)より、x1とy1はともに3の倍数である。
よって、整数x2、y2を用いて
x=3kx1=3k+1x2、 y=3ky1=3k+1y2
と表すことができるので、xとyは3k+1の倍数である。
よって、n=k+1のときも(#)は成り立つ。
以上より、任意の自然数nに対して(#)は成り立つ。
(1) 面倒なので合同式でごまかしました。すみません。
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- 2016/03/12(土) 23:54:00|
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第2問
さいころの6つの面の中から2面を選んで赤色に塗る。残った4面の中から
2面を選んで黒色に塗る。最後に残った2面は白色に塗る。なお、色を塗っ
ても、さいころの目は判別できるものとする。このとき次の問いに答えよ。
(1) 上のような各麺への色の塗り分け方は全部で何通りあるか。
(2) 赤い面が向かい合うような、各麺への色の塗り分け方は何通りあるか。
(3) 赤い面が隣り合うような、各麺への色の塗り分け方は何通りあるか。
(4) 同じ色の面がすべて隣り合うような、各麺への色の塗り分け方は何通り
あるか。
(5) 同じ色の面がすべて向かい合うような、各麺への色の塗り分け方は何通
りあるか。
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【解答】
(1)
赤色の面の選び方は6C2通りあり、黒色の面の選び方は4C2通りあるので、
色の塗り分け方の総数は、
6C2×4C2=90通り
(2)
赤色の面が向かい合うような選び方は1と6、2と5、3と4の3通りあり、
黒色の面の選び方は4C2通りあるので、
3×4C2=18通り
(3)
赤色の面が隣り合うような選び方は、(1)、(2)より
6C2-3=12通り
黒色の面の選び方は4C2通りあるので、
12×4C2=72通り
(4)
赤色の面が隣り合うような選び方は、(3)と同様に12通りある。
残り4面の色の塗り分け方は全部で4C2通りあり、このうちで
黒色の面が向かい合う場合と白色の面が向かい合う場合がそれぞれ
1通りずつあるので、
12×(4C2-2)=48通り
(5)
赤色の面が向かい合うような選び方は、(2)と同様に3通りあり、
黒色の面が向かい合うような選び方は2通りあるので、
3×2=6通り
(4)が少し考えにくいかもしれません。
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- 2016/03/12(土) 23:57:00|
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第3問
a、bは実数で、b＞0とする。放物線y=x2と直線y=ax+bの2つの交点を
P、Qとおく。次の問いに答えよ。
(1) 線分PQの長さを、aとbを用いて表せ。
(2) 直線y=ax+bが点 $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(1,\frac{5}{4}\right)\end{align*}}$ を通るときの、線分PQの長さの最小値を
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
2式を連立させると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2=ax+b \Leftrightarrow x^2-ax-b=0\end{align*}}$ ・・・・・・(#)
となり、(#)の判別式をDとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D=a^2+4b>0\ \ \ \left(\because b>0\right)\end{align*}}$
なので、(#)は異なる2つの実数解をもつ。
それらをp、q（p＞q）とおくと、交点の座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(p,ap+b\right)\ ,\ Q\left(q,aq+b\right)\end{align*}}$
と表され、解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p+q=a , pq=-b\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf PQ&=\sf \sqrt{\left(p-q\right)^2+\bigg\{\left(ap+b\right)-\left(aq+b\right)\bigg\}^2}\\ &=\sf \sqrt{\left(1+a^2\right)\left(p-q\right)^2}\\ &=\sf \sqrt{\left(1+a^2\right)\bigg\{\left(p+q\right)^2-4pq\bigg\}}\\ &=rm \underline{\sf \sqrt{\left(1+a^2\right)\left(a^2+4b\right)}}\end{align*}}$
(2)
直線y=ax+bが点$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1,\frac{5}{4}\right)\end{align*}}$ を通るので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{4}=a+b\ \ \Leftrightarrow\ \ 4b=5-4a\end{align*}}$
これと(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PQ=\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(a^2-4a+5\right)}=\sqrt{a^4-4a^3+6a^2-4a+5}\end{align*}}$
根号の中をf(a)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f '(a)=4a^3-12a^2+12a-4=4\left(a-1\right)^3\end{align*}}$
なので、f(a)の増減は次のようになる。
よって、線分PQの長さの最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{f\left(1\right)}=\underline{\sf 2}\end{align*}}$
これは難しくないので外せません。
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- 2016/03/13(日) 23:54:00|
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第4問
4面体ＯABCは、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OA}=9\ ,\ \overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=3\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=14\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=1\ ,\ \overrightarrow{\rm OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=3\ ,\ \overrightarrow{\rm AC}\cdot\overrightarrow{\sf BC}=5\end{align*}}$
を満たすものとする。また、直線AB上の点Dを$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ が垂直になるように
とり、実数mを
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}=m\overrightarrow{\sf OA}+\left(1-m\right)\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
となるように定める。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
とおくとき、次の問いに答えよ。
(1) mの値を求めよ。
(2) m＜s＜1を満たす実数sに対し、辺ABを(1-s)：sに内分する点Pをとる。
さらに、直線AC上の点Qを$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\end{align*}}$ が垂直になるようにとり、実数tを
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=t\overrightarrow{\sf a}+\left(1-t\right)\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
となるように定める。tをsを用いて表せ。
(3) (2)のtに対し、0＜t＜1が成り立つことを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OD}\cdot\overrightarrow{\sf AB}&=\sf \bigg\{m\overrightarrow{\sf a}+\left(1-m\right)\overrightarrow{\sf b}\bigg\}\cdot\left(\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf a}\right)\\ &=\sf m\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+\left(1-m\right)|\overrightarrow{\sf b}|^2-m|\overrightarrow{\sf a}|^2-\left(1-m\right)\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b} \\ &=\sf 3m+14\left(1-m\right)-9m-3\left(1-m\right)\\ &=\sf -17m+11\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}\bot\overrightarrow{\sf AB}\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OD}\cdot\overrightarrow{\sf AB}=-17m+11=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf m=\frac{11}{17}}\end{align*}}$
(2)
点Pは辺ABを(1-s)：sに内分する点なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=s\overrightarrow{\sf a}+\left(1-s\right)\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}=\overrightarrow{\sf OQ}-\overrightarrow{\sf OP}=\left(t-s\right)\overrightarrow{\sf a}-\left(1-s\right)\overrightarrow{\sf b}+\left(1-t\right)\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf PQ}&=\sf \left\{s\overrightarrow{\sf a}+\left(1-s\right)\overrightarrow{\sf b}\right\}\cdot\left\{\left(t-s\right)\overrightarrow{\sf a}-\left(1-s\right)\overrightarrow{\sf b}+\left(1-t\right)\overrightarrow{\sf c}\right\}\\ &=\sf s\left(t-s\right)|\overrightarrow{\sf a}|^2-s\left(1-s\right)\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+s\left(1-t\right)\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf c}\\ &\ \ \sf \ \ \ +\left(1-s\right)\left(t-s\right)\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}-\left(1-s\right)^2|\overrightarrow{\sf b}|^2+\left(1-s\right)\left(1-t\right)\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}\\ &=\sf 9s\left(t-s\right)+s\left(1-t\right)+3\left(1-s\right)\left(t-2s\right)-14\left(1-s\right)^2+\left(1-s\right)\left(1-t\right)\\ &=\sf -17s^2+8st+20s-11\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OP}\bot\overrightarrow{\sf PQ}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf PQ}=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf -17s^2+8st+20s-11=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \underline{\sf t=\frac{17s^2-20s+11}{8s}}\ \ \ \ \left(\because\ s>0\right)\end{align*}}$
(3)
(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{17s^2-20s+11}{8s}=\frac{1}{8s}\left\{17\left(s-\frac{10}{17}\right)^2+\frac{87}{17}\right\}> 0\ \ \ \left(\because\ s>0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-t=\frac{-17s^2+28s-11}{8s}=-\frac{\left(17s-11\right)\left(s-1\right)}{8s}>0\ \ \ \left(\because\ \frac{11}{17}\lt s<1\right)\end{align*}}$
(2)の計算が面倒です。
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- 2016/03/13(日) 23:57:00|
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