第1問
rは0＜r＜1を満たす実数とする。次の問いに答えよ。ただし、0r=0とする。
(1) a≧0のとき、x≧0について、不等式$\small\sf{\begin{align*} \sf (a+x)^r\leqq a^r+x^r\end{align*}}$を示せ。
(2) ak≧0 (k=1，2，・・・，n)のとき、不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\sum_{k=1}^na_k\right)^r\leqq\sum_{k=1}^na_k^{\ r}\end{align*}}$
を示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
aをa≧0の定数と見なして関数f(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=a^r+x^r-\left(a+x\right)^r\ \ \ \left(x\geqq 0\right)\end{align*}}$
と定めると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)&=\sf rx^{r-1}-r\left(a+x\right)^{r-1}\\ &=\sf r\cdot\frac{\left(a+x\right)^{1-r}-x^{1-r}}{x^{1-r}\left(a+x\right)^{1-r}}\geqq 0\ \ \ \left(\because\ 0\lt r<1\ ,\ a\geqq 0\ ,\ x\geqq 0\right)\end{align*}}$
なので、f(x)は単調に増加する。
このことと
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(0)=a^r-a^r=0\end{align*}}$
より、x≧0で常にf(x)≧0となる。
よって、a≧0のとき、x≧0について、不等式(a+x)r≦ar+xrが成り立つ。
(2)
ak≧0 (k=1，2，・・・，n)のとき、不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\sum_{k=1}^na_k\right)^r\leqq \sum_{k=1}^na_k^{\ r}\end{align*}}$ ･･････(#)
が成り立つことを数学的帰納法で示す。
(ⅰ) n=1のときは、左辺=右辺=a1となり、(#)は成り立つ。
(ⅱ) n=Nのとき(#)が成り立つと仮定すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\sum_{k=1}^Na_k\right)^r\leqq \sum_{k=1}^Na_k^{\ r}\end{align*}}$ ･･････(ⅰ)
であり、このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{N+1}a_k^{\ r}-\left(\sum_{k=1}^{N+1}a_k\right)^r\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{N}a_k^{\ r}+\left(a_{N+1}\right)^r-\left(\sum_{k=1}^{N}a_k+a_{N+1}\right)^r\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \geqq \sum_{k=1}^{N}a_k^{\ r}+\left(a_{N+1}\right)^r-\left\{\left(\sum_{k=1}^{N}a_k\right)^r+\left(a_{N+1}\right)^r\right\}\end{align*}}$ ←(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{N}a_k^{\ r}-\left(\sum_{k=1}^{N}a_k\right)^r\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \geqq 0\end{align*}}$ ←(ⅰ)より
なので、n=N+1のときも(#)は成り立つ。
以上より、任意の自然数kに対して、不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\sum_{k=1}^na_k\right)^r\leqq \sum_{k=1}^na_k^{\ r}\end{align*}}$
が成り立つ。
(2)で上手く(1)を使いましょう！
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第2問
次の問いに答えよ。
(1) 0以上の整数nに対し、$\small\sf{\begin{align*} \sf C_n=\int_0^{\pi /2}\cos^nxdx\end{align*}}$ とおくとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf C_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}\ C_n\end{align*}}$
を示せ。
(2) 座標空間内で、連立不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf x^2+y^2\leqq 1\ \ ,\ \ z+2x^2-x^4\leqq 1\ \ ,\ \ x\geqq 0\ \ ,\ \ y\geqq 0\ \ ,\ \ z\geqq 0\end{align*}}$
の表す領域の体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
部分積分法を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf C_{n+2}&=\sf \int_0^{\pi /2}\cos^{n+2}xdx\\ &=\sf \int_0^{\pi /2}\cos x\cos^{n+1}xdx\\ &=\sf \bigg[\sin x\cos^{n+1}x\bigg]_0^{\pi /2}-\int_0^{\pi /2}\sin x\cdot\left(n+1\right)\cos^{n}\cdot\left(-\sin x\right)xdx\\ &=\sf 0+\left(n+1\right)\int_0^{\pi /2}\left(1-\cos^2x\right)\cos^{n}xdx\\ &=\sf \left(n+1\right)C_n-\left(n+1\right)C_{n+2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(n+2\right)C_{n+2}=\left(n+1\right)C_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ C_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}\ C_n\end{align*}}$
(2)
この立体を平面x=t （0≦t≦1）で切った時の断面は、不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq y\leqq \sqrt{1-t^2}\ \ ,\ \ 0\leqq z\leqq t^4-2t^2+1\end{align*}}$
で表される長方形となる。よって、立体の体積をVとすると、
0≦t≦1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\int_0^1\left(t^4-2t^2+1\right)\sqrt{1-t^2}\ dt=\int_0^1\left(1-t^2\right)^{\frac{5}{2}}\ dt\end{align*}}$ ．
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\in\theta\ \ \left(0\leqq \theta\leqq \frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$ と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{d\theta}=\cos\theta\ \ ,\ \ 1-t^2=1-\sin^2=\cos^2\theta\end{align*}}$
なので、(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf \int_0^{\pi /2}\left(\cos^2\theta\right)^{\frac{5}{2}}\cos\theta\ d\theta\\ &=\sf \int_{\pi /2}^0\cos^6\theta\ d\theta\\ &=\sf C_6\\ &=\sf \frac{5}{6}C_4\\ &=\sf \frac{5}{6}\cdot\frac{3}{4}C_4\\ &=\sf \frac{5}{6}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}C_0\\ &=\sf \frac{5}{16}\int_0^{\pi /2}d\theta\\ &=\sf \frac{5}{16}\bigg[\ \theta\ \bigg]_0^{\pi /2}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{5\pi}{32}}\end{align*}}$
(2)は(１)を使える形に持ち込みましょう。
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第3問
0＜r＜1を満たす実数rに対して、第1象限内の曲線C：xr+yr=1を考える。
曲線C上の点P(p，q)をとり、Lを点PにおけるCの接線とし、Lがx軸および
y軸と交わる点をそれぞれA、Bとする。次の問いに答えよ。
(1) 点Aと点Bの座標をp、q、rを用いて表せ。
(2) 点Pを曲線C上のどこにとっても線分ABの長さが同じになるようなrの値
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
点Pは曲線C上の点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p^r+q^r=1\end{align*}}$ ・・・・・・①
また、xr+yr=1の両辺をxで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf rx^{r-1}+ry^{r-1}\cdot\frac{dy}{dx}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{dy}{dx}=-\left(\frac{x}{y}\right)^{r-1}\end{align*}}$ ・・・・・・②
これらより、PにおけるCの接線Lの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L:y-q=-\left(\frac{p}{q}\right)^{r-1}\left(x-p\right)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf p^{r-1}x+q^{r-1}y-\left(p^r+q^r\right)=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf p^{r-1}x+q^{r-1}y-1=0\end{align*}}$
となる。
y=0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p^{r-1}x-1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=p^{1-r}\end{align*}}$
x=0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q^{r-1}y-1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ y=q^{1-r}\end{align*}}$
なので、A、Bの座標はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf A\left(p^{1-r},0\right)\ \ ,\ \ B\left(0,q^{1-r}\right)}\end{align*}}$
(2)
ABの長さの2乗をLとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\left(p^{1-r}\right)^2+\left(q^{1-r}\right)^2=p^{2-2r}+q^{2-2r}\end{align*}}$
であり、両辺をpで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dL}{dp}&=\sf \left(2-2r\right)p^{1-2r}+\left(2-2r\right)q^{1-2r}\cdot\frac{dq}{dp}\\ &=\sf \left(2-2r\right)\left\{p^{1-2r}+q^{1-2r}\cdot\left(-\frac{p}{q}\right)^{r-1}\right\}\\ &=\sf \left(2-2r\right)\left(p^{1-2r}-p^{r-1}q^{2-3r}\right)\\ &=\sf \left(2-2r\right)p^{1-2r}\left\{1-\left(\frac{p}{q}\right)^{2-3r}\right\}\end{align*}}$
PをC上のどこにとっても線分ABの長さが一定になるためには、
①を満たす任意の正数p、qに対して、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dL}{dp}=0\end{align*}}$ となればよい。
0＜r＜1、0＜p、0＜qなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dL}{dp}=0&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(\frac{p}{q}\right)^{2-3r}=1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \log\left(\frac{p}{q}\right)^{2-3r}=\log 1\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(2-3r\right)\left(\log q-\log p\right)=0\end{align*}}$
となり、これが任意の正数p、qに対して成り立てばよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2-3r=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf r=\frac{2}{3}}\end{align*}}$
有名な問題ですね。
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- 2016/03/10(木) 23:57:00|
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第4問
nを正の整数とし、nを0以上10以下の整数とする。袋1から袋nまで、
外見では区別のつかない袋がn袋ある。k=1，2，・・・，nについて、
袋kの中には、赤球がk個、白球がn-k個入っているものとする。袋を
1つ選んだ後、その選んだ袋について次の操作を10回繰り返して行う
ことにする。
(操作) 袋から球を1つ取り出し、色を確認してその袋に戻す。
赤球をちょうどm回取り出す確率をPm,nとするとき、次の問いに答えよ。
(1) Pm,nを求めよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}P_{10,n}\end{align*}}$ を求めよ。
(3) m=0，1，2，・・・，9について、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}P_{m,n}=\lim_{n\rightarrow\infty}P_{m+1,n}\end{align*}}$ を示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
ある袋kを選ぶ確率は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{n}\end{align*}}$ であり、この袋kにおける一回の操作において、
赤球を取り出す確率は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{k}{n}\end{align*}}$ 、白球を取り出す確率は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\frac{k}{n}\end{align*}}$ である。
よって、袋kを選んで、10回の操作のうちで赤球をm回取り出す確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{n}\cdot_{10}C_m\left(\frac{k}{n}\right)^m\left(1-\frac{k}{n}\right)^{10-m}\end{align*}}$
k=1，2，・・・，nの場合があるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf P_{m,n}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n\ _{10}C_m\left(\frac{k}{n}\right)^m\left(1-\frac{k}{n}\right)^{10-m}}\end{align*}}$
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}P_{10,n}&=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n\ _{10}C_{10}\left(\frac{k}{n}\right)^{10}\\ &=\sf \int_0^1x^{10}dx\\ &=\sf \left[\frac{\ x^{11}}{11}\ \right]_0^1\\ &=\sf \underline{\sf \frac{1}{11}}\end{align*}}$
(3)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}P_{m,n}&=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n\ _{10}C_m\left(\frac{k}{n}\right)^m\left(1-\frac{k}{n}\right)^{10-m}\\ &=\sf _{10}C_m\int_0^1x^m\left(1-x\right)^{10-m}dx\\ &=\sf _{10}C_m\left[\frac{x^{m+1}}{m+1}\left(1-x\right)^{10-m}\right]_0^1-_{10}C_m\int_0^1\frac{x^{m+1}}{m+1}\cdot\left(10-m\right)\left(1-x\right)^{9-m}\cdot (-1)dx\\ &=\sf \frac{10!}{m!\left(10-m\right)!}\cdot\frac{10-m}{m+1}\int_0^1x^{m+1}\left(1-x\right)^{9-m}dx\\ &=\sf \frac{10!}{\left(m+1\right)!\left(9-m\right)!}\int_0^1x^{m+1}\left(1-x\right)^{9-m}dx\\ &=\sf _{10}C_{m+1}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n}\right)^{m+1}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{9-m}\\ &=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}P_{m+1,n}\end{align*}}$
区分求積法です
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- 2016/03/11(金) 23:57:00|
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