第1問
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ =(1，-2，1)、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ =(1，0，1)、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ =(1，-1，0)とする。また、実数s、t、u
に対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf x}=\overrightarrow{\sf a}+s\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf y}=\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}+u\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ とする。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf x}\end{align*}}$ の大きさが最小となるときのsの値を求めよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf x}\end{align*}}$ が120°の角をなすときのsの値を求めよ。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf y}\end{align*}}$ が$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ にも$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ にも垂直となるときのt、uの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf x}=\left(1,-2,1\right)+s\left(1,0,1\right)=\left(s+1,-2,s+1\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf x}|^2&=\sf \left(s+1\right)^2+\left(-2\right)^2+\left(s+1\right)^2\\ &=\sf 2\left(s+1\right)^2+4 \end{align*}}$
これより、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf x}|\end{align*}}$ が最小になるのは、s=-1のときである。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf x}=|\overrightarrow{\sf a}||\overrightarrow{\sf x}|\cos 120^{\circ}\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(s+1\right)+4+\left(s+1\right)=\sqrt{1+4+1}\sqrt{2\left(s+1\right)^2+4}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -4\left(s+3\right)=\sqrt{12\left(s^2+2s+3\right)}\end{align*}}$
両辺を2乗すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 162\left(s^2+6s+9\right)=12\left(s^2+2s+3\right)\ \ ,\ \ -4\left(s+3\right)\geqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s^2+18s+27=0\ \ ,\ \ s<-3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf s=-9-3\sqrt6}\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf y}&=\sf \left(1,-2,1\right)+t\left(1,0,1\right)+u\left(1,-1,0\right)\\ &=\sf \left(t+u+1,-u-2,t+1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf y}\end{align*}}$ は$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ にも$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ にも垂直なので、内積を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf y}=\left(t+u+1\right)-2\left(-u-2\right)+\left(t+1\right)=2t+3u+6=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf y}=\left(t+u+1\right)+0+\left(t+1\right)=2t+u+2=0\end{align*}}$
これら2式を連立させて解くと
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf t=0\ ,\ u=-2}\end{align*}}$
(2)で両辺を2乗する際、符号に気を付けましょう！
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2016/07/07(木) 23:54:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .三重大 2016（工）
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第2問
0≦x≦2とする。
(1) $\small\sf{\sin\pi\ x+\cos 2\pi\ x\gt 0}$ を満たすxの範囲を求めよ。
(2) (1)で求めたxに対し、
$\small\sf{\sf \log_2(3+x)+\log_2(5-x)=\log_2(16-k)}$
の解がひとつだけであるような実数kの範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
倍角公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\pi x+\cos 2\pi x=\sin\pi x+1-2\sin^2\pi x\geqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\sin^2\pi x-\sin \pi x-1=\left(2\sin\pi x+1\right)\left(\sin\pi x-1\right)\leqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{1}{2}\leq\sin\pi x\leqq 1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leqq \pi x\leqq \frac{7}{6}\pi\ ,\ \frac{11}{6}\pi\leqq \pi x\leqq 2\ \ \ \ \left(\because\ 0\leqq \pi x\leqq 2\pi\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf 0\leqq x\leqq \frac{7}{6}\ ,\ \frac{11}{6}\leqq x\leqq 2}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_2\left(3+x\right)+\log_2\left(5-x\right)=\log_2\left(16-k\right)\end{align*}}$ ・・・・・・(#)
変形していくと
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_2\left(3+x\right)\left(5-x\right)=\log_2\left(16-k\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(3+x\right)\left(5-x\right)=16-k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-2x+1=k\end{align*}}$
ここで、関数f(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=x^2-2x+1=\left(x-1\right)^2\ \ \ \left(0\leqq x\leqq \frac{7}{6}\ ,\ \frac{11}{6}\leqq x\leqq 2\right)\end{align*}}$
とおくと、y=f(x)のグラフと直線y=kの共有点が1個のとき、
(1)の範囲における方程式(#)の解の個数が一つになる。
上のグラフより、求めるkの値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=f(1)\ \ ,\ \ f\left(\frac{7}{6}\right)\lt k\lt f\left(\frac{11}{6}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf k=0\ \ ,\ \ \frac{1}{36}\lt k<\frac{25}{36}}\end{align*}}$
k=0を忘れないように！
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2016/07/07(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .三重大 2016（工）
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第3問
数列{xn}は
$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(n-1\right)x_{n+2}-\left(n^2+n-1\right)x_{n+1}+n^2x_n=0\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
を満たすものとする。
(1) x2をx1で表せ。またx4をx1とx3で表せ。
(2) yn=xn+2-xn+1 （n=1，2，3，・・・）とおく。ynをy1とnで表せ。
(3) 数学的帰納法で $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^nk\left(k!\right)=\left(n+1\right)!-1\end{align*}}$ を示せ。
(4) xn+2 （n=2，3，4，・・・）をx1、x3とnで表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(n-1\right)x_{n+2}-\left(n^2+n-1\right)x_{n+1}+n^2x_n=0\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$ ・・・・・・(A)
(1)
(A)にn=1を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -x_2+x_1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x_2=\underline{\sf x_1}\end{align*}}$
(A)にn=2を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_4-5x_3+4x_2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x_4=5x_3-4x_2=\underline{\sf 5x_3-4x_1}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (A)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(n-1\right)\left(x_{n+2}-x_{n+1}\right)-n^2\left(x_{n+1}-x_n\right)\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(n-1\right)y_n=n^2y_{n-1}\end{align*}}$
n≧2のとき、両辺をn-1で割ると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y_n=\frac{n^2}{n-1}\ y_{n-1}\end{align*}}$
これを繰り返し代入していくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y_n&=\sf \frac{n^2}{n-1}\cdot\frac{\left(n-1\right)^2}{\left(n-2\right)}\ y_{n-2}\\ &=\sf \frac{n^2}{n-1}\cdot\frac{\left(n-1\right)^2}{\left(n-2\right)}\cdot\frac{\left(n-2\right)^2}{\left(n-3\right)}\ y_{n-3}\\ &\vdots\sf \\ &=\sf \frac{n^2}{n-1}\cdot\frac{\left(n-1\right)^2}{\left(n-2\right)}\cdot\frac{\left(n-2\right)^2}{\left(n-3\right)}\cdot\ldots\cdot\frac{3^2}{2}\cdot\frac{2^2}{1}\ y_{1}\\ &=\sf n^2\left(n-1\right)\left(n-2\right)\cdot\ldots\cdot 3\cdot 2\ y_1\\ &=\sf \underline{\sf n\left(n!\right)y_1}\end{align*}}$
これは、n=1のときも成り立つ。
(3)
(ⅰ) n=1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^1k\left(k!\right)=1\cdot 1!=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1+1\right)!-1=2-1=1\end{align*}}$
より成り立つ。
(ⅱ) n=mのとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^mk\left(k!\right)=\left(m+1\right)!-1\end{align*}}$ が成り立つと仮定すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^{m+1}k\left(k!\right)&=\sf \sum_{k=1}^{m+1}k\left(k!\right)+\left(m+1\right)\left\{\left(m+1\right)!\right\}\\ &=\sf \left(m+1\right)!-1+\left(m+1\right)\left\{\left(m+1\right)!\right\}\\ &=\sf \left(m+2\right)\left\{\left(m+1\right)!\right\}-1\\ &=\sf \left(m+2\right)!-1\end{align*}}$
となり、n=m+1のときも成り立つ。
以上より、任意の自然数nに対して $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^nk\left(k!\right)=\left(n+1\right)!-1\end{align*}}$ が成り立つ。
(4)
(2)および(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^ny_k&=\sf \sum_{k=1}^n\left(x_{k+2}-x_{k+1}\right)\\ &=\sf \left(x_{n+2}-x_{n+1}\right)+\left(x_{n+1}-x_{n}\right)+\ldots +\left(x_{4}-x_{3}\right)+\left(x_{3}-x_{2}\right)\\ &=\sf x_{n+2}-x_2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x_{n+2}&=\sf x_2+\sum_{k=1}^ny_k\\ &=\sf x_2+\sum_{k=1}^nk\left(k!\right)y_1\\ &=\sf x_2+\left\{\left(n+1\right)!-1\right\}y_1\\ &=\sf \underline{\sf x_1+\left\{\left(n+1\right)!-1\right\}\left(x_3-x_1\right)}\end{align*}}$
(2)の式変形がこの問題の肝です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2016/07/08(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .三重大 2016（工）
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第4問
以下の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf y=xe^{-\frac{1}{2}x^2}\ \ \left(-2\leqq x\leqq 2\right)\end{align*}}$ の増減および極値を調べ、このグラフの概形をかけ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1xe^{-\frac{1}{2}x^2}dx\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=xe^{-\frac{1}{2}x^2}\end{align*}}$ とおくと、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(-x)=-xe^{-\frac{1}{2}x^2}=-f(x)\end{align*}}$ となるので、y=f(x)のグラフは
原点について対称である。また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=e^{-\frac{1}{2}x^2}+xe^{-\frac{1}{2}x^2}\cdot\left(-x\right)=\left(1-x^2\right)e^{-\frac{1}{2}x^2}\end{align*}}$
なので、0≦x≦2の範囲における増減は次のようになる。
よって、グラフの概形は右図のようになり
極大値
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(1)=\underline{\sf \frac{1}{\sqrt{e}}}\end{align*}}$
極小値
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(-1)=\underline{\sf -\frac{1}{\sqrt{e}}}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=-\frac{1}{2}x^2\ \ ,\ \ \frac{dt}{dx}=-x\end{align*}}$
と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^1xe^{-\frac{1}{2}x^2}dx&=\sf \int_0^{-\frac{1}{2}}xe^t\cdot\frac{dt}{-x}\\ &=\sf -\int_0^{-\frac{1}{2}}e^tdt\\ &=\sf -\bigg[\ e^t\ \bigg]_0^{-\frac{1}{2}}\\ &=\sf \underline{\sf 1-\frac{1}{\sqrt{e}}}\end{align*}}$
これは易しいですね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2016/07/09(土) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .三重大 2016（工）
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
