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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2016三重大 医学部 数学1



第1問

  平面上の△ABCと点Oを考える。m、nは正の実数とする。

 (1) 辺ABをm:nに内分する点をMとする。このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AB}|^2\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OM}|^2\end{align*}}$ を
    $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OA}|^2\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OB}|^2\end{align*}}$ と内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ で表せ。さらに
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{mn}{m+n}|\overrightarrow{\sf AB}|^2+\left(m+n\right)|\overrightarrow{\sf OM}|^2=n|\overrightarrow{\sf OA}|^2+m|\overrightarrow{\sf OB}|^2\end{align*}}$
    を示せ。

 (2) 辺ABをm:nに内分する点をM1、辺BCをm:nに内分する点をM2
    辺CAをm:nに内分する点をM3とする。このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OA}|^2+|\overrightarrow{\sf OB}|^2+|\overrightarrow{\sf OC}|^2\end{align*}}$ は
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{mn}{\left(m+n\right)^2}\left(|\overrightarrow{\sf AB}|^2+|\overrightarrow{\sf BC}|^2+|\overrightarrow{\sf CA}|^2\right)+|\overrightarrow{\sf OM_1}|^2+|\overrightarrow{\sf OM_2}|^2+|\overrightarrow{\sf OM_3}|^2\end{align*}}$
    に等しいことを示せ。

 (3) (2)のm、nを変化させたとき、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OA}|^2+|\overrightarrow{\sf OB}|^2+|\overrightarrow{\sf OC}|^2-|\overrightarrow{\sf OM_1}|^2-|\overrightarrow{\sf OM_2}|^2-|\overrightarrow{\sf OM_3}|^2\end{align*}}$
    の最大値を、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AB}|^2,|\overrightarrow{\sf BC}|^2,|\overrightarrow{\sf CA}|^2\end{align*}}$ で表せ。




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  1. 2016/07/03(日) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .三重大 2016(医)
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2016三重大 医学部 数学2



第2問

  0≦x≦2とする。

 (1) $\small\sf{\sin\pi\ x+\cos 2\pi\ x\gt 0}$ を満たすxの範囲を求めよ。

 (2) (1)で求めたxに対し、
        $\small\sf{\sf \log_2(3+x)+\log_2(5-x)=\log_2(16-k)}$
    の解がひとつだけであるような実数kの範囲を求めよ。



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  1. 2016/07/04(月) 23:57:00|
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2016三重大 医学部 数学3



第3問

  以下のa、b、cはいずれも正の実数とする。

 (1) 「abが有理数ならば、(a+b)2は有理数である」という主張が正しけ
    れば証明し、誤りならば反例を与えよ。

 (2) ab、ac、bcが有理数ならば、a2は有理数であることを示し、さらに
    (a+b+c)2は有理数であることを示せ。

 (3) ab、ac、bcが有理数で、さらに (a+b+c)3 が有理数となるならば、
    a、b、cはそれぞれ有理数であることを示せ。




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  1. 2016/07/05(火) 23:57:00|
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2016三重大 医学部 数学4



第4問

  nを自然数とし、$\small\sf{\begin{align*} \sf P_k\left(\frac{k}{n}\ ,\ \log\left(1+\frac{k}{n}\right)\right)\end{align*}}$ (k=0,1,・・・,n)を平面上の
  n+1個の点とする。ただし、logxはxの自然対数である。

 (1) k=1,2,・・・,nのとき、点Pk-1と点Pkとの距離Pk-1Pkに対して
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{n}\sqrt{1+\frac{1}{\left(1+\frac{k}{n}\right)^2}}\lt P_{k-1}P_k<\frac{1}{n}\sqrt{1+\frac{1}{\left(1+\frac{k-1}{n}\right)^2}}\end{align*}}$
    を示せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf L_n=\sum_{k=1}^nP_{k-1}P_k\end{align*}}$ としたとき $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}L_n\end{align*}}$ を求めよ。



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  1. 2016/07/06(水) 23:57:00|
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