卒業生から「ｎのｎ乗根の極限」の求め方について質問を受けました。
以下の通り誘導をつけましたので、少し考えてみてください。
問い
次の問いに答えよ。ただし、nは自然数、ｅは自然対数の底とする。
１）極限 $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{e^n}{n}\end{align*}}$ を求めよ。
２）極限 $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{\log n}{n}\end{align*}}$ を求めよ。
３）極限 $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \sqrt[\sf n]{\sf n}\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
ｅ＞１より、正の数ａを用いて
ｅ＝１＋ａ
とおく。両辺をｎ乗すると、
ｅn＝(１＋ａ)n ．
二項定理を用いて、右辺を展開すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf e^n=_nC_0+_nC_1\ a+_nC_2\ a^2+\underline{_nC_3\ a^3+\ldots\ldots+_nC_n\ a^n}\end{align*}}$
ａ＞０より、上式の下線部＞０なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf e^n>_nC_0+_nC_1\ a+_nC_2\ a^2\ \ \Leftrightarrow\ \ e^n>1+n\ a+\frac{n(n-1)}{2}\ a^2\end{align*}}$ ．
両辺をｎで割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{e^n}{n}>\frac{1}{n}+a+\frac{n-1}{2}\ a^2\end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{1}{n}=0\ \ ,\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{n-1}{2}=+\infty\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{e^n}{n}=+\infty\ \ }\end{align*}}$
(２)
(１)の極限の逆数をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{n}{e^n}=\frac{1}{\infty}=0\end{align*}}$ ．
この式において
ｎ＝logＮとおくと、ｅn＝N
であり、ｎ→＋∞のとき Ｎ→＋∞なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{n}{e^n}=\lim_{N\rightarrow\infty}\ \frac{\log N}{N}=0\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{\log n}{n}=0\ \ }\end{align*}}$
(３)
関数ｆ(ｘ)＝ｅｘは連続なので、(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ e^{\frac{\log n}{n}}=e^0=1\end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf e^{\frac{\log n}{n}}=\left(e^{\log n}\right)^{\frac{1}{n}}=n^{\frac{1}{n}}=\sqrt[\sf n]{\sf n}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\underline{\ \lim_{n\rightarrow\infty}\ \sqrt[\sf n]{\sf n}=1\ \ }\end{align*}}$
(２)に関しては、次のような方法も考えられます。
ｘについての関数
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)=2\sqrt x-\log x \ \ (x\geqq 1)\end{align*}}$
を考える。導関数を求めると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f'(x)=\frac{1}{\sqrt x }-\frac{1}{x}=\frac{\sqrt x-1}{x}\geqq 0\end{align*}}$
となり、ｆ(ｘ)は単調増加関数である。
また、
ｆ(１)＝２－log０＝１＞０
なので、ｘ≧１において常に
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)\gt 0\ \ \Leftrightarrow\ \ \log x\lt 2\sqrt x\end{align*}}$ ････①
また、ｘ≧１の範囲では常に
logｘ≧０
なので、これと①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq\log x<2\sqrt x\end{align*}}$ ････①
①’の両辺をｘ（≧１）で割ると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq\frac{\log x}{x}<\frac{2}{\sqrt x}\end{align*}}$ .
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\lim_{x\rightarrow\infty}\ \frac{2}{\sqrt x}=0\end{align*}}$
なので、はさみうちの原理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\lim_{x\rightarrow\infty}\ \frac{\log x}{x}=0\end{align*}}$ ．
よって、自然数ｎに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{\log n}{n}=0\ \ }\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/05(金) 02:02:07|
- 補足・解説
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
