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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2016滋賀医科大 数学1



第1問

  △ABCにおいて、AB=14、BC=15、CA=13とし$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ =$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CA}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ =$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CB}\end{align*}}$ とする。

 (1) △ABC の重心Gについて$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CG}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ で表せ。

 (2) △ABC の垂心Hについて$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CH}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ で表せ。

 (3) △ABC の外接円の半径を求め、外心Oについて$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CO}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ で表せ。

 (4) △ABC の内接円の半径を求め、内心Iについて$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CI}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ で表せ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/10/07(日) 02:01:00|
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2016滋賀医科大 数学2



第2問

  分母が奇数、分子が整数の分数で表せる有理数を「控えめな有理数」と
  呼ぶことにする。例えば$\small\sf{\begin{align*}\sf -\frac{1}{3}\end{align*}}$ 、2はそれぞれ$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{-1}{3}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{1}\end{align*}}$ と表せるから、ともに
  控えめな有理数である。1個以上の有限個の控えめな有理数a1、・・・、
  anに対して、集合S⟨a1,・・・,an⟩を、
   S⟨a1,・・・,an⟩={x1a1+・・・+xnan |x1,・・・,xnは控えめな有理数}
  と定める。例えば1は1・($\small\sf{\begin{align*}\sf -\frac{1}{3}\end{align*}}$ )+$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ ・2 と表せるから、 S⟨ $\small\sf{\begin{align*}\sf -\frac{1}{3}\end{align*}}$ ,2⟩ の
  要素である。

 (1) 控えめな有理数a1、・・・、anが定める集合S⟨a1,・・・,an⟩の要素は
    控えめな有理数であることを示せ。

 (2) 0でない控えめな有理数aが与えられたとき、S⟨a⟩=S⟨2t⟩となる0以上
    の整数tが存在することを示せ。

 (3) 控えめな有理数a1,・・・,anが与えられたとき、S⟨a1,・・・,an⟩=S⟨b⟩
    となる控えめな有理数b が存在することを示せ。

 (4) 2016が属する集合S⟨a1,・・・,an⟩はいくつあるか。ただしa1,・・・,an
    は控えめな有理数であるとし、a1,・・・,anとb1,・・・,bmが異なって
    いても、S⟨a1,・・・,an⟩=S⟨b1,・・・,bm⟩であればS⟨a1,・・・,an⟩と
    S⟨b1,・・・,bm⟩は一つの集合として数える。



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2016滋賀医科大 数学3



第3問

  a、bを正の定数とし、xy平面上の双曲線
         $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\end{align*}}$
  をHとする。正の実数r、sに対して、円C: (x-s)2+y2=r2を考える。

 (1) Cの中心がHの焦点の一つであるとき、すなわちs=$\small\sf{\begin{align*}\sf \sqrt{a^2+b^2}\end{align*}}$ のとき、
    CとHはx>0において高々2点しか共有点を持たないことを示せ。

 (2) CとHがx>0において4点の共有点を持つような(r,s)の範囲を、
    rs平面上に図示せよ。

 (3) CとHがx>0において2点で接するような(r,s)を考えるとき、極限
    $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{r\rightarrow\infty}\frac{s}{r}\end{align*}}$ を求めよ。



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2016滋賀医科大 数学4 Ⅰ



第4問 Ⅰ

  実数aに対して
       f(x)=2x3-9ax2+12a2⁢x
  とおく。定義域を{x|x≦1またはx≧4}とする関数y=f(x)が逆関数を
  持つようなaの範囲を求めよ。



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2016滋賀医科大 数学4 Ⅱ



第4問 Ⅱ

  bを実数とし、x≧0における関数$\small\sf{\begin{align*}\sf g\end{align*}}$(x)を
         $\small\sf{\begin{align*}\sf g\left(x\right)=b\sqrt{\sqrt{8x+1}-1}\end{align*}}$
  と定める。2つの曲線y=exとy=$\small\sf{\begin{align*}\sf g\end{align*}}$(x) はただ1点の共有点を持つとする。

 (1) bを求めよ。

 (2) 2つの曲線y=ex、y=$\small\sf{\begin{align*}\sf g\end{align*}}$(x)とy軸で囲まれた部分の面積を求めよ。



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