第１問
△ABCにおいて、AB=14、BC=15、CA=13とし$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ =$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CA}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ =$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CB}\end{align*}}$ とする。
(１) △ABC の重心Gについて$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CG}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ で表せ。
(２) △ABC の垂心Hについて$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CH}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ で表せ。
(３) △ABC の外接円の半径を求め、外心Oについて$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CO}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ で表せ。
(４) △ABC の内接円の半径を求め、内心Iについて$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CI}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ で表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
△ABCに余弦定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos C=\frac{13^2+15^2-14^2}{2\cdot 13\cdot 15}=\frac{33}{65}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin C=\sqrt{1-\left(\frac{33}{65}\right)}=\frac{56}{65}\end{align*}}$
さらに、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf a}|=13\ \ ,\ \ |\overrightarrow{\sf b}|=15\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=13\cdot 15\cdot\frac{33}{65}=99\end{align*}}$
(１)
ABの中点をMとすると、重心GはCMを2：1に内分するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf CM}=\frac{2}{3}\cdot\frac{\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}}{2}=\underline{\frac{\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}}{3}}\end{align*}}$
(２)
s、tを実数として、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CH}=s\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ とおくと、
AH⊥CBより
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AH}\cdot\overrightarrow{\sf CB}&=\sf \bigg\{\left(s-1\right)\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}\bigg\}\cdot\overrightarrow{\sf b} \\ &=\sf \left(s-1\right)\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+t|\overrightarrow{\sf b}|^2\\ &=\sf 99\left(s-1\right)+225t=0\end{align*}}$
BH⊥CA
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf BH}\cdot\overrightarrow{\sf CA}&=\sf \bigg\{s\overrightarrow{\sf a}+\left(t-1\right)\overrightarrow{\sf b}\bigg\}\cdot\overrightarrow{\sf a} \\ &=\sf s|\overrightarrow{\sf a}|^2+\left(t-1\right)\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\\ &=\sf 169s+99\left(t-1\right)=0 \end{align*}}$
これら2式を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s=\frac{99}{224}\ ,\ t=\frac{55}{224}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CH}=\underline{\frac{99}{224}\overrightarrow{\sf a}+\frac{55}{224}\overrightarrow{\sf b}}\end{align*}}$
(３)
△ABCの外接円の半径をRとすると、正弦定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2R=\frac{AB}{\sin C}=\frac{14}{\frac{56}{65}}=\underline{\frac{65}{8}}\end{align*}}$
u、vを実数として、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CO}=u\overrightarrow{\sf a}+v\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ とおくと、
OA=OB=OCより
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\left(u-1\right)\overrightarrow{\sf a}+v\overrightarrow{\sf b}\right|^2=\left|u\overrightarrow{\sf a}+\left(v-1\right)\overrightarrow{\sf b}\right|^2=\left|u\overrightarrow{\sf a}+v\overrightarrow{\sf b}\right|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(-2u+1\right)|\overrightarrow{\sf a}|^2-2v\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=\left(-2v+1\right)|\overrightarrow{\sf b}|^2-2u\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 169\left(-2u+1\right)-198v=225\left(-2v+1\right)-198u=0\end{align*}}$
これら2式を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf u=\frac{125}{448}\ ,\ t=\frac{169}{448}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CO}=\underline{\frac{125}{448}\overrightarrow{\sf a}+\frac{169}{448}\overrightarrow{\sf b}}\end{align*}}$
(４)
△ABCの内接円の半径をrとすると、
△ABC=△IBC+△ICA+△IABより
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}\cdot 13\cdot 15\cdot\frac{56}{65}=\frac{r}{2}\left(14+13+15\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ r=\underline{4}\end{align*}}$
AI延長と辺BCの交点をDとすると、ADは∠BACを二等分するので、
BD：CD=AB：AC=14：13より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CD}=\frac{13}{27}\overrightarrow{\sf b}\ \ ,\ \ CD=15\cdot\frac{13}{27}=\frac{65}{9}\end{align*}}$
さらに、CIは∠ACDを二等分するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AI:DI=CA:CD=13:\frac{65}{9}=9:5\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CI}&=\sf \frac{5\overrightarrow{\sf CA}+9\overrightarrow{\sf CD}}{14} \\ &=\sf \frac{5\overrightarrow{\sf a+9\cdot\frac{13}{27}\overrightarrow{\sf b}}}{14}\\ &=\sf \underline{\frac{5}{14}\overrightarrow{\sf a}+\frac{13}{42}\overrightarrow{\sf b}}\end{align*}}$
考え方は難しくありませんが、計算が面倒です。
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第２問
分母が奇数、分子が整数の分数で表せる有理数を「控えめな有理数」と
呼ぶことにする。例えば$\small\sf{\begin{align*}\sf -\frac{1}{3}\end{align*}}$ 、2はそれぞれ$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{-1}{3}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{1}\end{align*}}$ と表せるから、ともに
控えめな有理数である。1個以上の有限個の控えめな有理数a1、･･･、
anに対して、集合S⟨a1，･･･，an⟩を、
S⟨a1，･･･，an⟩={x1a1+･･･+xnan |x1，･･･，xnは控えめな有理数}
と定める。例えば1は1・($\small\sf{\begin{align*}\sf -\frac{1}{3}\end{align*}}$ )+$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ ・2 と表せるから、 S⟨ $\small\sf{\begin{align*}\sf -\frac{1}{3}\end{align*}}$ ，2⟩ の
要素である。
(１) 控えめな有理数a1、･･･、anが定める集合S⟨a1，･･･，an⟩の要素は
控えめな有理数であることを示せ。
(２) 0でない控えめな有理数aが与えられたとき、S⟨a⟩=S⟨2t⟩となる0以上
の整数tが存在することを示せ。
(３) 控えめな有理数a1，･･･，anが与えられたとき、S⟨a1，･･･，an⟩=S⟨b⟩
となる控えめな有理数b が存在することを示せ。
(４) 2016が属する集合S⟨a1，･･･，an⟩はいくつあるか。ただしa1，･･･，an
は控えめな有理数であるとし、a1，･･･，anとb1，･･･，bmが異なって
いても、S⟨a1，･･･，an⟩=S⟨b1，･･･，bm⟩であればS⟨a1，･･･，an⟩と
S⟨b1，･･･，bm⟩は一つの集合として数える。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
2つの控えめな有理数a、a’を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=\frac{q}{p}\ ,\ a'=\frac{q'}{p'}\end{align*}}$ （pとp’は奇数、qとq’は整数）
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a+a'=\frac{q}{p}+\frac{q'}{p}=\frac{p'q+pq'}{pp'}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf aa'=\frac{q}{p}\cdot\frac{q'}{p'}=\frac{qq'}{pp'}\end{align*}}$
pp’は奇数なので、2数の和a+a’および積aa’はともに控えめな有理数
となる。
よって、2n個の控えめな有理数a1，･･･，an，x1，･･･，xnの積と和
の形で表される数x1a1+･･･+xnanは控えめな有理数となるので、
集合S⟨a1，･･･，an⟩ の要素は控えめな有理数である。
(２)
控えめな有理数aを
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=\frac{q\cdot 2^r}{p}\end{align*}}$ （pとqは奇数、rは0以上の整数）
とおくと、集合S⟨a⟩の要素は、控えめな有理数xを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf xa=\frac{xq\cdot 2^r}{p}=\frac{qx}{p}\cdot 2^r\end{align*}}$
と表すことができ、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{qx}{p}\end{align*}}$ は控えめな有理数なので、xa∈Ｓ⟨2r⟩である。
このことは、すべての控えめな有理数xに対して成り立つので、
S⟨a⟩⊂S⟨2r⟩
逆に、集合S⟨2r⟩の要素は控えめな有理数yを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y\cdot 2^r=\frac{py}{q}\cdot\frac{q\cdot 2^r}{p}=\frac{py}{q}a\end{align*}}$
と表すことができ、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{py}{q}\end{align*}}$ は控えめな有理数なので、y・2r∈Ｓ⟨a⟩である。
このことは、すべての控えめな有理数yに対して成り立つので、
S⟨2r⟩⊂S⟨a⟩
以上より、S⟨a⟩=S⟨2r⟩となるので、題意は示された。
(３)
n個の控えめな有理数ak （k=1，2，･･･，n)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_k=\frac{q_k\cdot 2^{r_k}}{p_k}\end{align*}}$ （pkとqkは奇数、rkは0以上の整数）
とおき、r1≦r2≦･･･≦rnとなるようにa1，a2，･･･，anを並べ替え、
r1=Rとおく。
このとき、集合S⟨a1，･･･，an⟩ の要素は、n個の控えめな有理数
xk （k=1，2，･･･，n)を用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x_1a_1+x_2a_2+\cdots +x_na_n&=\sf \frac{q_1x_1\cdot 2^{R}}{p_1}+\frac{q_2x_2\cdot 2^{r_2}}{p_2}+\cdots +\frac{q_nx_n\cdot 2^{r_n}}{p_n} \\ &=\sf \left(\frac{q_1x_1}{p_1}+\frac{q_2x_2\cdot 2^{r_2-R}}{p_2}+\cdots +\frac{q_nx_n\cdot 2^{r_n-R}}{p_n}\right)\cdot 2^{R}\end{align*}}$
と表すことができ、( )内 は控えめな有理数なので、
x1a1+･･･+xnan∈Ｓ⟨2R⟩
である。このことは、すべての控えめな有理数xkに対して成り立つので、
S⟨a1，･･･，an⟩⊂S⟨2R⟩
逆に、集合S⟨2R⟩の要素は控えめな有理数yを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y\cdot 2^R&=\sf \frac{p_1y}{q_1}\cdot\frac{q_1\cdot 2^R}{p_1}\\ &=\sf \frac{p_1y}{q_1}\cdot a_1+0\cdot a_2+\cdots +0\cdot a_n\end{align*}}$
と表すことができ、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{p_1y}{q_1}\end{align*}}$ と0は控えめな有理数なので、
y・2R∈S⟨a1，･･･，an⟩
である。このことは、すべての控えめな有理数yに対して成り立つので、
S⟨2R⟩⊂S⟨a1，･･･，an⟩
以上より、S⟨a1，･･･，an⟩=S⟨2R⟩となるので、題意は示された。
(４)
(３)より、S⟨2r⟩ （rは0以上の整数）の形の集合のみを考えればよい。
2016=25・32・7
なので、0≦r≦5の整数rに対して
2016=(25-r・32・7)・2r
と表せ、( )内は控えめな有理数なので、
2016∈Ｓ⟨2r⟩
逆に、6≦rの整数rに対しては
2016=x・2r
を満たす控えめな有理数xが存在しないので、2016∉Ｓ⟨2r⟩
以上より、2016が属する集合は、Ｓ⟨2r⟩ （r=0，1，･･･，5）の6個
面白い問題ですね。
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- 2018/10/07(日) 02:02:00|
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第３問
a、bを正の定数とし、xy平面上の双曲線
$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\end{align*}}$
をHとする。正の実数r、sに対して、円C： (x-s)2+y2=r2を考える。
(１) Cの中心がHの焦点の一つであるとき、すなわちs=$\small\sf{\begin{align*}\sf \sqrt{a^2+b^2}\end{align*}}$ のとき、
CとHはx＞0において高々2点しか共有点を持たないことを示せ。
(２) CとHがx＞0において4点の共有点を持つような(r，s)の範囲を、
rs平面上に図示せよ。
(３) CとHがx＞0において2点で接するような(r，s)を考えるとき、極限
$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{r\rightarrow\infty}\frac{s}{r}\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf H:\ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ \ \ \left(x\leqq -a\ ,\ a\leqq x\right)\ \ \ \ \ C:\ \left(x-s\right)^2+y^2=r^2\end{align*}}$
これら2式からyを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{x^2}{a^2}-\frac{r^2-\left(x-s\right)^2}{b^2}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a^2+b^2\right)x^2-2a^2sx+a^2\left(s^2-b^2-r^2\right)=0\end{align*}}$ ・・・・・・・(*)
(１)
s=$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt{a^2+b^2}\end{align*}}$ のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (*)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf s^2x^2-2a^2sx+a^2\left(a^2-r^2\right)=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf x=\frac{a^2s\pm\sqrt{a^4s^2-a^2s^2\left(a^2-r^2\right)}}{s^2}=\frac{a^2}{s}\pm ar \end{align*}}$
ここで、小さい方の解は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a-\left(\frac{a^2}{s}-ar\right)=\frac{a\left(s-a+rs\right)}{s}=\frac{a\left(\sqrt{a^2+b^2}-a+rs\right)}{s}\gt 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{a^2}{s}-ar\lt a\end{align*}}$
なので、(*)の解のうちa≦xを満たすものは高々1個しかない。
H、Cはx軸について対称なので、a≦xにおいて高々2点しか
共有点を持たない。
(２)
H、Cはx軸について対称なので、(*)がx＞aの範囲に異なる2つの
実数解を持てばよい。
判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D/4=a^4s^2-a^2\left(a^2+b^2\right)\left(s^2-b^2-r^2\right)>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(a^2+b^2\right)r^2-b^2s^2>-b^2\left(a^2+b^2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{r^2}{b^2}-\frac{s^2}{a^2+b^2}>-1\ \ \ \cdots\cdots\cdots (i)\end{align*}}$
ここで、(*)の左辺をf(x)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(x\right)=\left(a^2+b^2\right)\left(x-\frac{a^2s}{a^2+b^2}\right)^2-\frac{a^4s^2}{a^2+b^2}+a^2\left(s^2-b^2-r^2\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{a^2s}{a^2+b^2}>a\ \ \Leftrightarrow\ \ s>\frac{a^2+b^2}{a}\ \ \ \cdots\cdots\cdots (ii)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(a\right)&=\sf \left(a^2+b^2\right)a^2-2a^3s+a^2\left(s^2-b^2-r^2\right)\\ &=\sf s^2-2as+a^2-r^2\\ &=\sf \left(s-r-a\right)\left(s+r-a\right)>0\ \ \ \cdots\cdots\cdots (iii)\end{align*}}$
双曲線 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{r^2}{b^2}-\frac{s^2}{a^2+b^2}=-1\end{align*}}$ (H’とする)と直線s=r+a (Lとする)の
2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{r^2}{b^2}-\frac{\left(r+a\right)^2}{a^2+b^2}=-1 &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a^2r^2-2ab^2r+b^4=\left(ar-b^2\right)^2=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf r=\frac{b^2}{a}\end{align*}}$
(ⅰ)～(ⅲ)および、r＞0、s＞0を満たす領域を図示すると
下図のようになる。（境界線上の点は含まない）
(３)
CとHがx＞0において2点で接するのは、(*)がa＜xの範囲に重解を
もつときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf D=0&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(a^2+b^2\right)r^2-b^2s^2=-b^2\left(a^2+b^2\right) \\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{s^2}{r^2}=\frac{a^2+b^2}{b^2}+\frac{a^2+b^2}{r^2} \end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf\lim_{r\rightarrow\infty}\frac{s}{r}=\sf \lim_{r\rightarrow\infty}\sqrt{\frac{a^2+b^2}{b^2}+\frac{a^2+b^2}{r^2} }=\underline{\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{b}}\end{align*}}$
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第４問 Ⅰ
実数aに対して
f(x)=2x3-9ax2+12a2x
とおく。定義域を{x|x≦1またはx≧4}とする関数y=f(x)が逆関数を
持つようなaの範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
f(x)=2x3-9ax2+12a2x
f’(x)=6x2-18ax+12a2=6(x-a)(x-2a)
y=f(x)の逆関数が存在するための条件は、
「値域内の任意のyの値に対して、対応するxの値がただ1つに決まる」
ことである。
(ⅰ) a=0のとき
f’(x)=6x2≧0より、y=f(x)は単調に増加するので、
x≦1または4≦xの範囲で逆関数が存在する。
(ⅱ) a＜0のとき
f(x)の増減は次のようになる。
5a3＜y＜4a3を満たすyに対応するxの値は3つ存在し、
いずれも定義域に含まれるので、y=f(x)は逆行列を持たない。
(ⅲ) a＞0のとき
f(x)の増減は次のようになる。
単調に減少する部分a＜x＜2xが定義内に含まれては
いけないので、
1≦a かつ 2a≦4 ･･････(*)
さらに、f(1)＜f(4)であればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2-9a+12a^2\lt 128-144a+48a^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4a^2-15a+14=\left(a-2\right)\left(4a-7\right)\gt 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a\lt \frac{7}{4}\ ,\ 2\lt a\end{align*}}$
これと(*)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1\leqq a\lt \frac{7}{4}\end{align*}}$
(ⅰ)～(ⅲ)より、求めるaの値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{a=0\ ,\ 1\leqq a\lt \frac{7}{4}}\end{align*}}$
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第４問 Ⅱ
bを実数とし、x≧0における関数$\small\sf{\begin{align*}\sf g\end{align*}}$(x)を
$\small\sf{\begin{align*}\sf g\left(x\right)=b\sqrt{\sqrt{8x+1}-1}\end{align*}}$
と定める。2つの曲線y=exとy=$\small\sf{\begin{align*}\sf g\end{align*}}$(x) はただ1点の共有点を持つとする。
(１) bを求めよ。
(２) 2つの曲線y=ex、y=$\small\sf{\begin{align*}\sf g\end{align*}}$(x)とy軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
b=0のときは、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\end{align*}}$(x)=0となり、2曲線y=exとy=$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\end{align*}}$(x)は共有点を持たない
ので、以下はb≠0とする。
f(x)=exとおくと、f’(x)=ex
一方、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\left(x\right)=b\sqrt{\sqrt{8x+1}-1}=b\left\{\left(8x-1\right)^{\frac{1}{2}}-1\right\}^{\frac{1}{2}}\end{align*}}$
の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\ '\left(x\right)&=\sf \frac{b}{2}\left\{\left(8x-1\right)^{\frac{1}{2}}-1\right\}^{-\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{2}\left(8x-1\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot 8 \\ &=\sf \frac{2b}{\sqrt{\sqrt{8x+1}-1}\sqrt{8x+1}}\end{align*}}$
2曲線の共有点の座標を(p，q)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q=f\left(p\right)=g\left(p\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ q=e^p=b\sqrt{\sqrt{8p+1}-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '\left(p\right)=g\ '\left(p\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ e^p=\frac{2b}{\sqrt{\sqrt{8p+1}-1}\sqrt{8p+1}}\end{align*}}$
これら2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt{\sqrt{8p+1}-1}=\frac{2}{\sqrt{\sqrt{8p+1}-1}\sqrt{8p+1}}\ \left(=\frac{e^p}{b}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\sqrt{8p+1}-1\right)\sqrt{8p+1}=2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\sqrt{8p+1}\right)^2-\sqrt{8p+1}-2=\left(\sqrt{8p+1}-2\right)\left(\sqrt{8p+1}+1\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sqrt{8p+1}=2\ \ (>0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p=\frac{3}{8}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q=e^{\frac{3}{8}}=b\sqrt{\sqrt{8\cdot\frac{3}{8}+1}-1}\ \ \Leftrightarrow\ \ b=q=\underline{e^{\frac{3}{8}}}\end{align*}}$
(２)
まず、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\end{align*}}$(x)の逆関数を求める。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=b\sqrt{\sqrt{8x+1}-1}\end{align*}}$
の両辺を2乗すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y^2=b^2\left(\sqrt{8x+1}-1\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{y^2}{b^2}+1=\sqrt{8x+1}\ \ \ \ \ \ \ \left(by>0\right)\end{align*}}$
さらに両辺を2乗すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\frac{y^2}{b^2}+1\right)^2=8x+1\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{1}{8b^4}\left(y^4+2b^2y^2\right)\end{align*}}$
以上より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\end{align*}}$(x)の逆関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g^{-1}\left(x\right)=\frac{1}{8b^4}\left(x^4+2b^2x^2\right)\end{align*}}$
一方、f(x)=exの逆関数は、f-1(x)=logxであり、2曲線y=f(x)とy=$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\end{align*}}$(x)
とy軸で囲まれた図形の面積は、2曲線y=f-1(x)とy=$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\end{align*}}$-1(x)とx軸で
囲まれた図形の面積Sと等しいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \int_0^q\frac{1}{8b^4}\left(x^4+2b^2x^2\right)dx-\int_1^q\log xdx \\ &=\sf \frac{1}{8b^4}\left[\frac{1}{5}x^5+\frac{2}{3}b^2x^3\right]_0^q-\bigg[x\log x-x\bigg]_1^q\\ &=\sf \frac{13q^5}{120b^4}-q\log q+q-1\\ &=\sf \frac{13}{120}e^{\frac{3}{8}}-\frac{3}{8}e^{\frac{3}{8}}+e^{\frac{3}{8}}-1\ \ \ \ \left(\because\ b=q=e^{\frac{3}{8}}\right)\\ &=\sf \underline{\frac{11}{15}e^{\frac{3}{8}}-1}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/07(日) 02:05:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .滋賀医科大 2016
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