第1問
四面体OABCにおいて、Pを辺OAの中点、Qを辺OBを2：1に内分する点、
Rを辺BCの中点とする。P、Q、Rを通る平面と辺ACの交点をSとする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ とおく。以下の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PR}\end{align*}}$ をそれぞれ$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(2) 比 $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AS}|\end{align*}}$ ：$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf SC}|\end{align*}}$ を求めよ。
(3) 四面体OABCを1辺の長さが1の正四面体とするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf QS}|\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf a}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OQ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf b}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OR}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}=\overrightarrow{\sf OQ}-\overrightarrow{\sf OP}=\underline{\sf -\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf b}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PR}=\overrightarrow{\sf OR}-\overrightarrow{\sf OP}=\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf c}\right)-\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf a}=\underline{\sf -\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf c}}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\sf AS:SC=t:1-t}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PS}=\left(1-t\right)\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf c}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf a}=\left(\frac{1}{2}-t\right)\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ ・・・・・・①
また、点Sは平面PQR上にあるので、実数u、vを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PS}&=\sf u\overrightarrow{\sf PQ}+v\overrightarrow{\sf PR}\\ &=\sf u\left(-\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf b}\right)+v\left(-\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf c}\right)\\ &=\sf \left(-\frac{1}{2}u-\frac{1}{2}v\right)\overrightarrow{\sf a}+\left(\frac{2}{3}u+\frac{1}{2}v\right)\overrightarrow{\sf b}+\frac{1}{2}v\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ ・・・・・・②
と表すことができる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ は一次独立なので、①、②の係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}-t =-\frac{1}{2}u-\frac{1}{2}v\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=\frac{2}{3}u+\frac{1}{2}v\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{1}{2}v\end{align*}}$
これら3式を連立させて解くと、 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{2}{3}\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AS}|: |\overrightarrow{\sf SC}|=\frac{2}{3}:\frac{1}{3}=\underline{\sf 2:1}\end{align*}}$
(3)
題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|=|\overrightarrow{\sf b}|=|\overrightarrow{\sf c }|=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}=1\cdot 1\cdot \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\end{align*}}$ ・・・・・・(#)
(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OS}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\sf a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
なので、(#)を用いて計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf QS}|^2&=\sf \left|\overrightarrow{\sf OS}-\overrightarrow{\sf OQ}\right|^2\\ &=\sf \left|\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{\sf a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf c}\right)-\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf b}\right|^2\\ &=\sf \frac{1}{9}|\overrightarrow{\sf a}|^2+\frac{4}{9}|\overrightarrow{\sf b}|^2+\frac{4}{9}|\overrightarrow{\sf c}|^2-\frac{4}{9}\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}-\frac{8}{9}\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}+\frac{4}{9}\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}\\ &=\sf \frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{4}{9}-\frac{2}{9}-\frac{4}{9}+\frac{2}{9}\\ &=\sf \frac{5}{9}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf QS}|=\underline{\sf \frac{\sqrt5}{3}}\end{align*}}$
(2) Sが平面PQR上にあるので、ベクトルPSは2つのベクトルPQ、PRの
一次結合の形で表すことができます。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2017/01/31(火) 23:51:25|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 文系 2016
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第2問
aを正の定数とし、$\small\sf{\sf f(x)=|x^2+2ax+a|}$ とおく。以下の問いに答えよ。
(1) y=f(x)のグラフの概形をかけ。
(2) y=f(x)のグラフが点$\small\sf{\sf (-1,\ 2)}$ を通るときのaの値を求めよ。また、
そのときのy=f(x)のグラフとx軸で囲まれる図形の面積を求めよ。
(3) a=2とする。すべての実数xに対して$\small\sf{\sf f(x)\geqq 2x+b}$ が成り立つような
実数bの取りうる値の範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
関数
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ (x)=x^2+2ax+a=\bigg\{x-\left(-a-\sqrt{a^2-a}\right)\bigg\}\bigg\{x-\left(-a+\sqrt{a^2-a}\right)\bigg\}\end{align*}}$
に対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=-a+\sqrt{a^2-a}\ \ ,\ \ q=-a-\sqrt{a^2-a}\end{align*}}$
とおく。
(ⅰ)$\scriptsize\sf{\sf a^2-a\geqq 0}$ すなわち1≦aのとき、pとqはともに実数なので
・x≦qまたはp≦xのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)&=\sf F(x)\\ &=\sf x^2+2ax+a\\ &=\sf \left(x+a\right)^2-a^2+a\end{align*}}$
・q≦x≦pのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)&=\sf -F(x)\\ &=\sf -x^2-2ax-a\\ &=\sf -\left(x+a\right)^2+a^2-a\end{align*}}$
(ⅱ) 0＜a＜1のとき、p、qはともに虚数である。
よって、常にF(x)≧0なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=|F(x)|=F(x)=\left(x+a\right)^2-a^2+a\end{align*}}$
以上より、y=f(x)のグラフの概形は下図のようになる。
(2)
y=f(x)が点$\scriptsize\sf{\sf (-1,\ 2)}$ を通るので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(-1)=\left|1-a\right|=2\ \ \Leftrightarrow\ \ a=-1,3\end{align*}}$
であり、a＞0より、 a=3 ．
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -F(x)=-x^2-6x-3\ \ ,\ \ p=-3+\sqrt6\ \ ,\ \ q=-3-\sqrt6\end{align*}}$
なので、y=f(x)のグラフとx軸で囲まれる図形の面積をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \int_q^p\left(\-x^2-6x-3\right)dx\\ &=\sf -\int_q^p\left(x-p\right)\left(x-q\right)dx\\ &=\sf \frac{1}{6}\left(p-q\right)\\ &=\sf \frac{1}{6}\left(2\sqrt6\right)\\ &=\sf \underline{\sf 8\sqrt6}\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\sf h(x)=f(x)-2x}$ とおくと、a=2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F(x)=x^2+4x+2\ \ ,\ \ p=-2+\sqrt2\ \ ,\ \ q=-2-\sqrt2\end{align*}}$
なので、
・x≦qまたはp≦xのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h(x)=x^2+2x+2=\left(x+1\right)^2+1\end{align*}}$
・q≦x≦pのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h(x)=-x^2-6x-2=-\left(x+3\right)^2+7\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\sf q\lt -3\lt 1\lt p}$ なので、y=h(x)のグラフは右図のようになる。
任意の実数xに対してh(x)≧bが成り立てばよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b\leqq \sf h(p)= \left(-2+\sqrt2\right)^2+2\left(-2+\sqrt2\right)+2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf b\leqq 4-2\sqrt2}\end{align*}}$
放物線の画像いがんでますねｗｗｗ
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2017/02/01(水) 23:54:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 文系 2016
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第3問
さいころを4回振って出た目を順にa、b、c、dとする。以下の問いに答えよ。
(1) ab≧cd+25となる確率を求めよ。
(2) ab=cdとなる確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
2つのさいころの目の積は次の表のようになる。
(1)
ab≧cd+25となるためには、ab＞25である必要がるので、
ab=30、ab=36の2つの場合が考えられる。
(ⅰ)ab=30のとき
a、bの目の出方は2通りあり、cdの値は
cd=1，2，3，4，5
なので、c、dの目の出方は10通りある。
(ⅱ)ab=36のとき
a、bの目の出方は2通りあり、cdの値は
cd=1，2，3，4，5，6，8，9，10
なので、c、dの目の出方は19通りある。
よって、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2\times 10+1\times 19}{6^4}=\underline{\sf \frac{13}{432}}\end{align*}}$
(2)
・ab=cd=1，9，16，25，36となる目の出方は
5×12=5通り
・ab=cd=2，3，5，8，10，15，18，20，24，30となる目の出方は
10×22=40通り
・ab=cd=4となる目の出方は
32=9通り
・ab=cd=6，12なる目の出方は
2×42=32通り
よって、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5+40+9+32}{6^4}=\underline{\sf \frac{43}{648}}\end{align*}}$
数えるだけです。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2017/02/02(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 文系 2016
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
