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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2016神戸大 理系数学1



第1問

  四面体OABCにおいて、Pを辺OAの中点、Qを辺OBを2:1に内分する点、
  Rを辺BCの中点とする。P、Q、Rを通る平面と辺ACの交点をSとする。
  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ とおく。以下の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PR}\end{align*}}$ をそれぞれ$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (2) 比 $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AS}|\end{align*}}$ :$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf SC}|\end{align*}}$ を求めよ。

 (3) 四面体OABCを1辺の長さが1の正四面体とするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf QS}|\end{align*}}$ を求めよ。





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  1. 2016/02/25(木) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2016
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2016神戸大 理系数学2



第2問

  aを正の定数とし、$\small\sf{\sf f(x)=|x^2+2ax+a|}$ とおく。以下の問いに答えよ。

 (1) y=f(x)のグラフの概形をかけ。

 (2) a=2とする。すべての実数xに対して$\small\sf{\sf f(x)\geqq 2x+b}$ が成り立つような
    実数bの取りうる値の範囲を求めよ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt a\leqq \frac{3}{2}\end{align*}}$ とする。すべての実数xに対してf(x)≧2x+bが成り立つ
    ような実数bの取りうる値の範囲をaを用いて表せ。また、その条件
    をみたす点(a,b)の領域をab平面上に図示せよ。
 
         


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  1. 2016/02/26(金) 23:57:00|
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2016神戸大 理系数学3



第3問

  aを正の定数とし、2曲線$\small\sf{\sf C_1:\ y=\log x\ \ ,\ \ C_2:\ y=ax^2}$ が点Pで接している
  とする。以下の問いに答えよ。

 (1) Pの座標とaの値を求めよ。

 (2) 2曲線C1、C2とx軸で囲まれた部分をx軸のまわりに1回転させて
    できる立体の体積を求めよ。




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  1. 2016/02/27(土) 23:57:00|
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2016神戸大 理系数学4



第4問

  約数、公約数、最大公約数を次のように定める。
   ・2つの整数a、bに対して、a=bkをみたす整数kが存在するとき、
    bはaの約数であるという。
   ・2つの整数に共通の約数をそれらの公約数という。
   ・少なくとも一方が0でない2つの整数の公約数の中で最大のもの
    を最大公約数という。
  以下の問いに答えよ。
  
 (1) a、b、c、pは0でない整数でa=pb+cをみたしているとする。
   (ⅰ)a=18、b=30、c=-42、p=2のとき、aとbの公約数の集合S、
      およびbとcの公約数の集合Tを求めよ。
   (ⅱ)aとbの最大公約数をM、bとcの差第公約数をNとする。MとNは
      等しいことを示せ。ただし、a、b、c、pは0でない任意の整数と
      する。

 (2) 自然数の列{an}を
      an+2=6an+1+an (n=1,2,・・・)、 a1=3、 a2=4
    で定める。
   (ⅰ)an+1とanの最大公約数を求めよ。
   (ⅱ)an+4をan+2とanを用いて表せ。
   (ⅲ)an+2とanの最大公約数を求めよ。

 

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  1. 2016/02/28(日) 23:57:00|
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2016神戸大 理系数学5



第5問

  極方程式で表されたxy平面上の曲線 $\small\sf{\sf r=1+\cos\theta\ \ (0\leqq\theta\leqq 2\pi)}$
  をCとする。以下の問いに答えよ。

 (1) 曲線C上の点を直交座標(x,y)で表したとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{d\theta}\end{align*}}$ =0となる点、
    および $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{d\theta}\end{align*}}$ =0となる点の直交座標を求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{\theta\rightarrow\pi}\frac{dy}{dx}\end{align*}}$ を求めよ。

 (3) 曲線Cの概形をxy平面上にかけ。

 (4) 曲線Cの長さを求めよ。



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  1. 2016/02/29(月) 23:45:00|
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