第1問
四面体OABCにおいて、Pを辺OAの中点、Qを辺OBを2：1に内分する点、
Rを辺BCの中点とする。P、Q、Rを通る平面と辺ACの交点をSとする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ とおく。以下の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PR}\end{align*}}$ をそれぞれ$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(2) 比 $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AS}|\end{align*}}$ ：$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf SC}|\end{align*}}$ を求めよ。
(3) 四面体OABCを1辺の長さが1の正四面体とするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf QS}|\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf a}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OQ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf b}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OR}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}=\overrightarrow{\sf OQ}-\overrightarrow{\sf OP}=\underline{\sf -\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf b}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PR}=\overrightarrow{\sf OR}-\overrightarrow{\sf OP}=\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf c}\right)-\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf a}=\underline{\sf -\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf c}}\end{align*}}$
(2)
AS：SC=ｔ：1-ｔとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PS}=\left(1-t\right)\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf c}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf a}=\left(\frac{1}{2}-t\right)\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ ・・・・・・①
また、点Sは平面PQR上にあるので、実数u、vを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf PS}&=\sf u\overrightarrow{\sf PQ}+v\overrightarrow{\sf PR}\\ &=\sf u\left(-\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf b}\right)+v\left(-\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf c}\right)\\ &=\sf \left(-\frac{1}{2}u-\frac{1}{2}v\right)\overrightarrow{\sf a}+\left(\frac{2}{3}u+\frac{1}{2}v\right)\overrightarrow{\sf b}+\frac{1}{2}v\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ ・・・・・・②
と表すことができる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ は一次独立なので、①、②の係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}-t =-\frac{1}{2}u-\frac{1}{2}v\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=\frac{2}{3}u+\frac{1}{2}v\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{1}{2}v\end{align*}}$
これら3式を連立させて解くと、 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{2}{3}\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AS}|: |\overrightarrow{\sf SC}|=\frac{2}{3}:\frac{1}{3}=\underline{\sf 2:1}\end{align*}}$
(3)
題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|=|\overrightarrow{\sf b}|=|\overrightarrow{\sf c }|=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}=1\cdot 1\cdot \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\end{align*}}$ ・・・・・・(#)
(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OS}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\sf a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
なので、(#)を用いて計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf QS}|^2&=\sf \left|\overrightarrow{\sf OS}-\overrightarrow{\sf OQ}\right|^2\\ &=\sf \left|\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{\sf a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf c}\right)-\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf b}\right|^2\\ &=\sf \frac{1}{9}|\overrightarrow{\sf a}|^2+\frac{4}{9}|\overrightarrow{\sf b}|^2+\frac{4}{9}|\overrightarrow{\sf c}|^2-\frac{4}{9}\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}-\frac{8}{9}\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}+\frac{4}{9}\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}\\ &=\sf \frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{4}{9}-\frac{2}{9}-\frac{4}{9}+\frac{2}{9}\\ &=\sf \frac{5}{9}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf QS}|=\underline{\sf \frac{\sqrt5}{3}}\end{align*}}$
(2) Sが平面PQR上にあるので、ベクトルPSは2つのベクトルPQ、PRの
一次結合の形で表すことができます。
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第3問
aを正の定数とし、2曲線$\small\sf{\sf C_1:\ y=\log x\ \ ,\ \ C_2:\ y=ax^2}$ が点Pで接している
とする。以下の問いに答えよ。
(1) Pの座標とaの値を求めよ。
(2) 2曲線C1、C2とx軸で囲まれた部分をx軸のまわりに1回転させて
できる立体の体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\log x\ \ ,\ \ g(x)=ax^2\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{1}{x}\ \ ,\ \ g\ '(x)=2ax\end{align*}}$
(1)
接点Pのx座標をpとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (p)=g(p)\ \ \Leftrightarrow\ \ \log p=ap^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(p)=g\ '(p)\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{p}=2ap\end{align*}}$
これら2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ap^2=\log p=\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ p=e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}\ \ ,\ \ a=\frac{1}{2p^2}=\frac{1}{2e}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf P\left(\sqrt{e}\ ,\ \frac{1}{2}\right)\ \ ,\ \ a=\frac{1}{2e}}\end{align*}}$
(2)
2曲線の位置関係は下図のようになるので、求める体積をVとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\pi\int_0^{\sqrt{e}}\left(\frac{1}{2e}x^2\right)^2dx-\pi\int_1^{\sqrt{e}}\left(\log x\right)^2dx\end{align*}}$
部分積分法を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int\left(\log x\right)^2dx&=\sf x\left(\log x\right)^2-\int x\cdot 2\log x\cdot\frac{1}{x}\ dx\\ &=\sf x\left(\log x\right)^2-2\int\log xdx\\ &=\sf x\left(\log x\right)^2-2x\log x+2x+C\end{align*}}$ （C：積分定数）
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf \frac{\pi}{4e^2}\left[\frac{1}{5}x^5\right]_0^{\sqrt{e}}-\pi\left[x\left(\log x\right)^2-2x\log x+2x\right]_1^{\sqrt{e}}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{10-6\sqrt{e} }{5}\pi}\end{align*}}$
よくある問題ですね。
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第4問
約数、公約数、最大公約数を次のように定める。
・2つの整数a、bに対して、a=bkをみたす整数kが存在するとき、
bはaの約数であるという。
・2つの整数に共通の約数をそれらの公約数という。
・少なくとも一方が0でない2つの整数の公約数の中で最大のもの
を最大公約数という。
以下の問いに答えよ。
(1) a、b、c、pは0でない整数でa=pb+cをみたしているとする。
(ⅰ)a=18、b=30、c=-42、p=2のとき、aとbの公約数の集合S、
およびbとcの公約数の集合Tを求めよ。
(ⅱ)aとbの最大公約数をM、bとcの差第公約数をNとする。MとNは
等しいことを示せ。ただし、a、b、c、pは0でない任意の整数と
する。
(2) 自然数の列{an}を
an+2=6an+1+an （n=1，2，・・・)、 a1=3、 a2=4
で定める。
(ⅰ)an+1とanの最大公約数を求めよ。
(ⅱ)an+4をan+2とanを用いて表せ。
(ⅲ)an+2とanの最大公約数を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)(ⅰ)
18と30の公約数の集合Sは
S={±1，±2，±3，±6}
30と-42の公約数の集合Tは
T={±1，±2，±3，±6}
(1)(ⅱ)
Mはaとbの最大公約数なので、互いの素な整数A、Bを用いて
a=MA、 b=MB
と表すことができる。これらを a=pb+c に代入すると、
MA=pMB+c ⇔ c=M(A-pB)
となるので、Mはcの約数である。
よって、Mはbとcの公約数となるが、bとcの最大公約数はNなので
M≦N ・・・・・・①
一方、Nはbとcの最大公約数なので、互いの素な整数B’、Cを用いて
b=NB’、 c=NC
と表すことができる。これらを a=pb+c に代入すると、
a=pNB’+NC=N(pB’+C)
となるので、Nはaの約数である。
よって、Nはaとbの公約数となるが、aとbの最大公約数はMなので
N≦M ・・・・・・②
となる。
①、②より、M=Nである。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+2}=6a_{n+1}+a_n\ \ \ \left(n=1,2,\ldots\right)\ ,\ a_1=3\ ,\ a_2=4\end{align*}}$ ・・・・・・(#)
以下、2整数x、yの最大公約数を $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf gcd\left(x,y\right)\end{align*}}$ と表すことにする。
(ⅰ)
(#)に対して(1)(ⅱ)を繰り返し用いると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf gcd\left(a_{n+1},a_{n}\right)&=\sf gcd\left(a_{n},a_{n-1}\right)\\ &=\sf gcd\left(a_{n-1},a_{n-2}\right)\\ &\ \vdots\sf \\ &=\sf gcd\left(a_3,a_2\right)\\ &=\sf gcd\left(a_2,a_1\right)\\ &=\sf gcd\left(4,3\right)\\ &=\sf \underline{\sf 1}\end{align*}}$
(ⅱ)
(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{n+4}&=\sf 6a_{n+3}+a_{n+2}\\ &=\sf 6\left(6a_{n+2}+a_{n+1}\right)+a_{n+2}\\ &=\sf 37a_{n+2}+6a_{n+1}\\ &=\sf 37a_{n+2}+\left(a_{n+2}-a_{n}\right)\\ &=\sf \underline{\sf 38a_{n+2}-a_{n}}\end{align*}}$
(ⅲ)
(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_3=6\cdot 4+3=27\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_4=6\cdot 27+4=166\end{align*}}$
(2)(ⅱ)で得られた式に対して(1)(ⅱ)を繰り返し用いると、
・Nが偶数のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf gcd\left(a_{n+2},a_{n}\right)&=\sf gcd\left(a_{n},a_{n-2}\right)\\ &=\sf gcd\left(a_{n-2},a_{n-4}\right)\\ &\ \vdots\sf \\ &=\sf gcd\left(a_6,a_4\right)\\ &=\sf gcd\left(a_4,a_2\right)\\ &=\sf gcd\left(166,4\right)\\ &=\sf \underline{\sf 2}\end{align*}}$
・Nが奇数のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf gcd\left(a_{n+2},a_{n}\right)&=\sf gcd\left(a_{n},a_{n-2}\right)\\ &\ \vdots\sf \\ &=\sf gcd\left(a_3,a_1\right)\\ &=\sf gcd\left(27,3\right)\\ &=\sf \underline{\sf 3}\end{align*}}$
いわゆる「ユークリッドの互除法」ってやつです。
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第5問
極方程式で表されたxy平面上の曲線 $\small\sf{\sf r=1+\cos\theta\ \ （0\leqq\theta\leqq 2\pi)}$
をCとする。以下の問いに答えよ。
(1) 曲線C上の点を直交座標(x，y)で表したとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{d\theta}\end{align*}}$ =0となる点、
および $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{d\theta}\end{align*}}$ =0となる点の直交座標を求めよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{\theta\rightarrow\pi}\frac{dy}{dx}\end{align*}}$ を求めよ。
(3) 曲線Cの概形をxy平面上にかけ。
(4) 曲線Cの長さを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=1+\cos\theta\ \ \ \left(0\leqq \theta\leqq 2\pi\right)\end{align*}}$
なので、直交座標(x，y)で表すと
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=r\cos\theta=\cos^2\theta+\cos\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=r\sin\theta=\sin\theta\cos\theta+\sin\theta\end{align*}}$ ・・・・・・(#)
xを$\scriptsize\sf{\theta}$ で微分すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{d\theta}=2\cos\theta\cdot\left(-\sin\theta\right)-\sin\theta=\sf -\sin\theta\left(2\cos\theta+1\right)\end{align*}}$
なので、$\scriptsize\sf{\sf 0\leqq\theta\leqq 2\pi}$ の範囲では、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dx}{d\theta}=0&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \sin\theta=0\ \ ,\ \ \cos\theta=-\frac{1}{2}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \theta=0\ ,\ \frac{2}{3}\pi\ ,\ \pi\ ,\ \frac{4}{3}\pi\ ,\ 2\pi \end{align*}}$
これらの$\scriptsize\sf{\theta}$ に対応する(x，y)は(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \left(2,0\right)\ ,\ \left(-\frac{1}{4},\frac{\sqrt3}{4}\right)\ ,\ \left(0,0\right)\ ,\ \left(-\frac{1}{4},-\frac{\sqrt3}{4}\right)}\end{align*}}$
一方、yを$\scriptsize\sf{\theta}$ で微分すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dy}{d\theta}&=\sf \cos^2\theta-\sin^2\theta+\cos\theta\\ &=\sf 2\cos^2\theta+\cos\theta-1\\ &=\sf \left(2\cos\theta-1\right)\left(\cos\theta+1\right)\end{align*}}$
なので、$\scriptsize\sf{\sf 0\leqq\theta\leqq 2\pi}$ の範囲では、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dy}{d\theta}=0&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \cos\theta=-1\ \ ,\ \ \cos\theta=\frac{1}{2}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \theta=\frac{\pi}{3}\ ,\ \pi\ ,\ \frac{5}{3}\pi\end{align*}}$
これらの$\scriptsize\sf{\theta}$ に対応する(x，y)は(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \left(\frac{3}{4},\frac{3\sqrt3}{4}\right)\ ,\ \left(0,0\right)\ ,\ \left(\frac{3}{4},-\frac{3\sqrt3}{4}\right)}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\sf t=\theta-\pi}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\theta=\sin\left(t+\pi\right)=-\sin t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta=\cos\left(t+\pi\right)=-\cos t\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{\theta\rightarrow\pi}\frac{dy}{dx}&=\sf \lim_{\theta\rightarrow\pi}\frac{\left(2\cos\theta-1\right)\left(\cos\theta+1\right)}{-\sin\theta\left(2\cos\theta+1\right)}\\ &=\sf \lim_{t\rightarrow 0}\frac{\left(-2\cos t-1\right)\left(-\cos t+1\right)}{\sin t\left(-2\cos t+1\right)}\\ &=\sf \lim_{t\rightarrow 0}\frac{\left(2\cos t+1\right)\left(1-\cos^2 t\right)}{\sin t\left(2\cos t-1\right)\left(1+\cos t\right)}\\ &=\sf \lim_{t\rightarrow 0}\frac{\left(2\cos t+1\right)\sin t}{\left(2\cos t-1\right)\left(1+\cos t\right)}\\ &=\sf \frac{3\cdot 0}{1\cdot 2}\\ &=\sf \underline{\sf 0}\end{align*}}$
(3)
(1)より、x、yの増減は次のようになる。
これより曲線Cの概形は下図のようになる。
(4)
曲線Cはx軸に関して対称なので、その長さをLとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L&=\sf 2\int_0^{\pi}\sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}d\theta\\ &=\sf 2\int_0^{\pi}\sqrt{\sin^2\theta\left(2\cos\theta+1\right)^2+\left(2\cos^2\theta+\cos\theta-1\right)^2}d\theta\\ &=\sf 2\int_0^{\pi}\sqrt{2\left(1+\cos\theta\right)}d\theta\\ &=\sf 2\int_0^{\pi}\sqrt{4\cos^2\frac{\theta}{2}}d\theta\\ &=\sf 4\int_0^{\pi}\cos\frac{\theta}{2}\ d\theta\\ &=\sf 4\left[2\sin\frac{\theta}{2}\right]_0^{\pi}\\ &=\sf \underline{\sf 8}\end{align*}}$
いわゆるカージオイドってやつですね、
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