第１問
1以上6以下の2つの整数a、bに対し、関数$\small\sf{\begin{align*}\sf f_n(x)\ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$を
次の条件(ア)、(イ)、(ウ)で定める。
(ア) $\small\sf{\begin{align*}\sf f_1(x)=\sin\left(\pi x\right)\end{align*}}$
(イ) $\small\sf{\begin{align*}\sf f_{2n}(x)=f_{2n-1}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-x\right)\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
(ウ) $\small\sf{\begin{align*}\sf f_{2n+1}(x)=f_{2n}\left(-x\right)\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
以下の問いに答えよ。
(１) $\small\sf{\begin{align*}\sf a=2\ ,\ b=3\end{align*}}$ のとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf f_5(0)\end{align*}}$ を求めよ。
(２) 1個のさいころを2回投げて、1回目に出る目をa、2回目に出る目をbと
するとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf f_6(0)=0\end{align*}}$ となる確率を求めよ。
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【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf d=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\end{align*}}$
とおくと自然数kに対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f_{2k}\left(x\right)&=\rm f_{2k-1}\left(d-x\right)\\ &=\rm f_{2k-2}\left(-d+x\right)\\ &=\rm f_{2k-3}\left(2d-x\right)\\ &=\rm f_{2k-4}\left(-2d+x\right)\\ &\ \vdots\rm \\ &=\rm f_2\left(-d\left(k-1\right)+x\right)\\ &=\rm f_1\left(dk-x\right)\\ &=\rm \sin\left(dk-x\right)\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f_{2k+1}\left(x\right)=\rm f_{2k}\left(-x\right)=\sin\left(dk+x\right)\pi\end{align*}}$
が成り立つ。
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=2、b=3\end{align*}}$ のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf d=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f_5\left(0\right)=\sin\frac{5}{3}\pi=\underline{\rm -\frac{\sqrt3}{2}}\end{align*}}$
(２)
kを整数とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f_6\left(0\right)=\sin 3d\pi=\sin 3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\pi=0\ \ \Leftrightarrow\ \ 3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=k\end{align*}}$
となればよい。
このようなa、bの組は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (a,b)=(1,1)\ ,\ (1,3)\ ,\ (3,1)\ ,\ (2,2)\ ,\ (3,3)\ ,\ (2,6)\ ,\ (6,2)\ ,\ (6,6)\end{align*}}$
の8組あるので、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{8}{6^2}=\underline{\rm \frac{2}{9}}\end{align*}}$
である。
理系と共通の問題です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2016/03/20(日) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 文系 2016
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