青木ゼミ青木
橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ
2016大阪大 理系数学1
第1問
1以上6以下の2つの整数a、bに対し、関数f
n
(x)(n=1,2,3,・・・)を
次の条件(ア)、(イ)、(ウ)で定める。
(ア)
(イ)
(ウ)
以下の問いに答えよ。
(1) a=2、b=3のとき、f
5
(0)を求めよ。
(2) a=1、b=6のとき、
を求めよ。
(3) 1個のさいころを2回投げて、1回目に出る目をa、2回目に出る目をbと
するとき、f
6
(0)=0となる確率を求めよ。
解答はこちら↓
--------------------------------------------
【解答】
とおくと自然数kに対して、
が成り立つ。
(1)
a=2、b=3のとき、
なので、
(2)
a=1、b=6のとき、
なので、
よって、求める和をSとすると
ここで、
であり、
なので、
.
よって、
(3)
kを整数とすると、
となればよい。
このようなa、bの組は
(a,b)=(1,1)、(1,3)、(3,1)、(2,2)、(3,3)、(2,6)、(6,2)、(6,6)
の8組あるので、求める確率は
である。
(1)、(3)は文系と共通の問題です。
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2016/03/14(月) 23:57:00
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大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 理系 2016
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2016大阪大 理系数学2
第2問
次の問いに答えよ。
(1) cを正の定数とする。正の実数x、yがx+y=cをみたすとき、
の最小値をcを用いて表せ。
(2) 正の実数x、y、zがx+y+z=1をみたすとき、
の最大値を求めよ。
解答はこちら↓
--------------------------------------------
【解答】
(1)
与式をAとおくと、x+y=cなので
x>0、y>0なので相加・相乗平均の関係より
.
よって、
なので、Aの最小値は
(2)
x+y+z=1より、x+y=1-z=cとおくと、(1)より
また、x>0、y>0、x+y+z=1より、0<z<1なので
よって、与式をBとおくと、これらより
ここで、関数f(z)を
とおくと、
となるので、f(x)の増減は次のようになる。
以上より、
となるので、Bの最大値は
(3)の微分が面倒です。
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2016/03/15(火) 23:57:00
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大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 理系 2016
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2016大阪大 理系数学3
第3問
座標平面において、原点Oを中心とする半径rの円と放物線
は、ただ1つの共有点(a,b)をもつとする。
(1) a、b、rの値をそれぞれ求めよ。
(2) 連立不等式
の表す領域を、x軸の周りに1回転してできる回転体の体積を求めよ。
解答はこちら↓
--------------------------------------------
【解答】
(1)
C
1
とC
2
の共有点をP(a,b)とすると、
.
C
2
の導関数は
なので、PにおけるC
2
の法線は
C
1
とC
2
が接するとき、この法線がC
1
の中心(0,0)を通るので、
このとき、
(2)
回転体の体積をVとおくと、
これは易しめですね。
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2016/03/16(水) 23:57:00
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大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 理系 2016
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2016大阪大 理系数学4
第4問
正の整数nに対して
とおき、1以上n以下のすべての奇数の積をA
n
とする。
(1)
以下の最大の整数をNとするとき、2
N
A
n
S
n
は奇数の整数である
ことを示せ。
(2) S
n
=2+
となる正の整数(n,m)をすべて求めよ。
(3) 整数aと0≦b<1を満たす実数bを用いて、A
20
S
20
=a+bと表すとき、bの
値を求めよ。
解答はこちら↓
--------------------------------------------
【解答】
(1)
1以上n以下のすべての奇数の集合をO
n
とおき、
自然数k (k=1,2,・・・,n)に対して、
とおく。
Nは
以下の最大の整数なので、
・・・・・・(ⅰ)
よって、自然数k (k=1,2,・・・,n)は、整数p (p=0,1,・・・,N)と
奇数qを用いて
・・・・・・(#)
と表すことができる。このとき、
より、q∈O
n
なので、
は整数である。
(ⅰ)より、p=Nとなるのは、q=1、k=2
N
のときのみであり、
このとき
は奇数である。
一方、k≠2
N
のとき、0≦p<Nなので、
は偶数となる。
以上より、
は奇数である。
(2)
・・・・・・(ⅱ)
であり、
なので、n≧4である。
このとき、(1)と同様にNを定義すると、N≧2である。 ・・・・・・(ⅲ)
一方、(1)より
は奇数であり、2
N+1
A
n
は偶数なので、
は奇数である。
よって、N-2≦0なので、(ⅲ)とあわせて考えると、N=2である。
このときのnの値は、n=4,5,6,7のいずれかである。
mは整数なので、題意を満たす(n,m)の組は
(6,9)
である。
(3)
実数xの小数部分を
で表すこととし、20以下の自然数kに対して、
とおくと、
が成り立つ。
一方、20以下の自然数kは、整数p (p=0,1,2,3,4)と奇数qを用いて
(#)と同様に、
と表せる。
(Ⅰ) p=0のとき、すなわちkが奇数のとき
k∈O
20
なので、b
k
は整数である。
よって、
(Ⅱ) p=1のとき
は奇数なので、
よって、
(Ⅲ) p=2のとき
(Ⅳ) p=3のとき
(Ⅴ) p=4のとき
(Ⅰ)~(Ⅴ)より
これは難しいですね。
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2016/03/17(木) 23:57:00
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2016大阪大 理系数学5
第5問
円上の5点A、B、C、D、Eは反時計回りにこの順に並び、円周を5等分
している。5点A、B、C、D、Eを頂点とする正五角形をR
1
とする。
、
とおき、
の大きさをxとする。
(1)
の大きさをyとするとき、x
2
=y(y-x)がなりたつことを示せ。
(2)
を
、
を用いて表せ。
(3) R
1
の対角線の交点として得られるR
1
の内部の5つの点を頂点とする
正五角形をR
2
とする。R
2
の一片の長さをxを用いて表せ。
(4) n=1,2,3,・・・に対して、R
n
の対角線の交点として得られるR
n
の内部
の5つの点を頂点とする正五角形をR
n+1
とし、R
n
の面積をS
n
とする。
を求めよ。
解答はこちら↓
--------------------------------------------
【解答】
(1)
ACとBEの交点をF、ACとBDの交点をGとすると、
なので、
よって、△BCA∽△FABより
(2)
(1)の等式において、x>0、y>0なので、
よって、
なので、
(3)
なので、
(4)
(3)と同様に考えると、2つの正五角形R
n
とR
n+1
は相似であり、
その相似比は、x:(2x-y)である。
よって、面積比は、
となるので、k=1,2,・・・,nに対して
.
よって、
これは有名な話ですよね。
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2016/03/18(金) 23:57:00
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