第１問
1以上6以下の2つの整数a、bに対し、関数$\small\sf{\begin{align*}\sf f_n(x)\ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$を
次の条件(ア)、(イ)、(ウ)で定める。
(ア) $\small\sf{\begin{align*}\sf f_1(x)=\sin\left(\pi x\right)\end{align*}}$
(イ) $\small\sf{\begin{align*}\sf f_{2n}(x)=f_{2n-1}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-x\right)\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
(ウ) $\small\sf{\begin{align*}\sf f_{2n+1}(x)=f_{2n}\left(-x\right)\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
以下の問いに答えよ。
(１) $\small\sf{\begin{align*}\sf a=2\ ,\ b=3\end{align*}}$ のとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf f_5(0)\end{align*}}$ を求めよ。
(２) $\small\sf{\begin{align*}\sf a=1\ ,\ b=6\end{align*}}$ のとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^{100}\left(-1\right)^kf_{2k}\left(0\right)\end{align*}}$ を求めよ。
(３) 1個のさいころを2回投げて、1回目に出る目をa、2回目に出る目をbと
するとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf f_6(0)=0\end{align*}}$ となる確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf d=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\end{align*}}$
とおくと自然数kに対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f_{2k}\left(x\right)&=\sf f_{2k-1}\left(d-x\right)\\ &=\sf f_{2k-2}\left(-d+x\right)\\ &=\sf f_{2k-3}\left(2d-x\right)\\ &=\sf f_{2k-4}\left(-2d+x\right)\\ &\ \vdots\rm \\ &=\sf f_2\left(-d\left(k-1\right)+x\right)\\ &=\sf f_1\left(dk-x\right)\\ &=\sf \sin\left(dk-x\right)\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f_{2k+1}\left(x\right)=\sf f_{2k}\left(-x\right)=\sin\left(dk+x\right)\pi\end{align*}}$
が成り立つ。
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=2、b=3\end{align*}}$ のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf d=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f_5\left(0\right)=\sin\frac{5}{3}\pi=\underline{\sf -\frac{\sqrt3}{2}}\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=1、b=6\end{align*}}$ のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf d=\frac{1}{1}+\frac{1}{6}=\frac{7}{6}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f_{2k}\left(0\right)&=\sf \sin\frac{7k\pi}{6}\\ &=\sf \sin\left(\frac{k\pi}{6}+k\pi\right)\\ &=\sf \sin\frac{k\pi}{6}\cos k\pi+\cos\frac{k\pi}{6}\sin k\pi\\ &=\sf \left(-1\right)^k\sin\frac{k\pi}{6}\end{align*}}$
よって、求める和をSとすると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=\sum_{k=1}^{100}\left(-1\right)^kf_{2k}\left(0\right)=\sf \sum_{k=1}^{100}\sin\frac{k\pi}{6}\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^{12}\sin\frac{k\pi}{6}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}+1+\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}+0-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{2}-1-\frac{\sqrt3}{2}-\frac{1}{2}+0=0\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin\frac{\left(k+12\right)\pi}{6}=\sin\left(\frac{k\pi}{6}+2\pi\right)=\sin\frac{k\pi}{6}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=13}^{24}\sin\frac{k\pi}{6}=\sum_{k=25}^{36}\sin\frac{k\pi}{6}=\ldots =\sum_{k=85}^{96}\sin\frac{k\pi}{6}=0\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \sum_{k=97}^{100}\sin\frac{k\pi}{6}\\ &=\sf \sum_{k=1}^{4}\sin\frac{k\pi}{6}\\ &=\sf \frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}+1+\frac{\sqrt3}{2}\\ &=\sf \underline{\rm \frac{3}{2}+\sqrt3}\end{align*}}$
(３)
kを整数とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f_6\left(0\right)=\sin 3d\pi=\sin 3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\pi=0\ \ \Leftrightarrow\ \ 3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=k\end{align*}}$
となればよい。
このようなa、bの組は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf (a,b)=(1,1)\ ,\ (1,3)\ ,\ (3,1)\ ,\ (2,2)\ ,\ (3,3)\ ,\ (2,6)\ ,\ (6,2)\ ,\ (6,6)\end{align*}}$
の8組あるので、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{8}{6^2}=\underline{\sf \frac{2}{9}}\end{align*}}$
である。
(１)、(３)は文系と共通の問題です。
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第2問
次の問いに答えよ。
(1) cを正の定数とする。正の実数$\small\sf{\begin{align*}\sf x\ ,\ y\end{align*}}$ が$\small\sf{\begin{align*}\sf x+y=c\end{align*}}$ をみたすとき、
$\small\sf{\begin{align*}\sf \left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\end{align*}}$
の最小値をcを用いて表せ。
(2) 正の実数$\small\sf{\begin{align*}\sf x\ ,\ y\ ,\ z\end{align*}}$ が$\small\sf{\begin{align*}\sf x+y+z=1\end{align*}}$ をみたすとき、
$\small\sf{\begin{align*}\sf \left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\left(1-\frac{4}{3z}\right)\end{align*}}$
の最大値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
与式をAとおくと、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x+y=c\end{align*}}$ なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A&=\sf \left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\\ &=\sf 1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}\\ &=\sf 1+\frac{x+y+1}{xy}\\ &=\sf 1+\frac{c+1}{xy} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x\gt 0\ ,\ y\gt 0\end{align*}}$なので相加・相乗平均の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{x+y}{2}\geq\sqrt{xy}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf\sqrt{xy}\leq\frac{c}{2}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf xy\leq\frac{c^2}{4}\ \ \ \left(\because\ xy\gt 0\right)\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{1}{xy}\geq\frac{4}{c^2}\ \ \ \left(\because\ xy\gt 0\right)\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A&\geq\sf 1+\left(c+1\right)\cdot\frac{4}{c^2} \\ &=\sf 1+\frac{4}{c}+\frac{4}{c^2}\\ &=\sf \left(1+\frac{2}{c}\right)^2\end{align*}}$
なので、Aの最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A_{min}=\underline{\rm \left(1+\frac{2}{c}\right)^2}\ \ \ \left(x=y=\frac{c}{2}\right)\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x+y+z=1\end{align*}}$ より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x+y=1-z=c\end{align*}}$ とおくと、(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\geq\left(1+\frac{2}{1-z}\right)^2\end{align*}}$
また、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x\ge 0\ ,\ y\gt 0\ ,\ x+y+z=1\end{align*}}$ より、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt z\lt 1\end{align*}}$ なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1-\frac{4}{3z}\lt 1-\frac{4}{3}\lt 0\end{align*}}$
よって、与式をBとおくと、これらより
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf B&=\sf \left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\left(1-\frac{4}{3z}\right)\\ &\leq\sf \left(1+\frac{2}{1-z}\right)^2\left(1-\frac{4}{3z}\right)\end{align*}}$
ここで、関数$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(z)\end{align*}}$ を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(z)=\left(1+\frac{2}{1-z}\right)^2\left(1-\frac{4}{3z}\right)\ \ \ \left(0\lt z\lt 1\right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(z)&=\sf 2\left(1+\frac{2}{1-z}\right)\cdot\frac{-2}{\left(1-z\right)^2}\left(1-\frac{4}{3z}\right)+\left(1+\frac{2}{1-z}\right)^2\cdot\frac{4}{3z^2}\\ &=\sf -4\cdot\frac{3-z}{\left(1-z\right)^3}\cdot\frac{3z-4}{3z}+\left(\frac{3-z}{1-z}\right)^2\cdot\frac{4}{3z^2}\\ &=\sf -\frac{4\left(3-z\right)\left\{z\left(3z-4\right)-\left(1-z\right)\left(3-z\right)\right\}}{3z^2\left(1-z\right)^3}\\ &=\sf -\frac{4\left(3-z\right)\left(2z-1\right)\left(2z-3\right)}{3z^2\left(1-z\right)^3}\end{align*}}$
となるので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(z)\end{align*}}$ の増減は次のようになる。
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf B\leq f(z)\leq f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{125}{3}\end{align*}}$
となるので、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf B\end{align*}}$ の最大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf B_{max}=\underline{\rm -\frac{125}{3}}\ \ \ \ \left(x=y=\frac{1}{4}\ ,\ z=\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
(３)の微分が面倒です。
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第３問
座標平面において、原点Oを中心とする半径rの円と放物線
$\small\sf{\begin{align*}\sf y=\sqrt2\left(x-1\right)^2\end{align*}}$
は、ただ1つの共有点$\small\sf{\begin{align*}\sf (a\ ,\ b)\end{align*}}$ をもつとする。
(1) $\small\sf{\begin{align*}\sf a\ ,\ b\ ,\ r\end{align*}}$ の値をそれぞれ求めよ。
(2) 連立不等式
$\small\sf{\begin{align*}\sf a\leq x\leq 1\ ,\ 0\leq y\leq\sqrt2\left(x-1\right)^2\ ,\ x^2+y^2\geq r^2\end{align*}}$
の表す領域を、x軸の周りに1回転してできる回転体の体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf C_1:x^2+y^2=r^2\ \ ,\ \ C_2:y=\sqrt2\left(x-1\right)^2\end{align*}}$
(１)
C1とC2の共有点を$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(a\ ,\ b)\end{align*}}$ とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b=\sqrt2\left(a-1\right)^2\end{align*}}$ ．
C2の導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y'=2\sqrt2\left(x-1\right)\end{align*}}$
なので、PにおけるC2の法線は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y-\sqrt2\left(a-1\right)^2=-\frac{1}{2\sqrt2\left(a-1\right)^2}\left(x-a\right)\end{align*}}$
C1とC2が接するとき、この法線がC1の中心(0，0)を通るので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\sqrt2\left(a-1\right)^2=\frac{a}{2\sqrt2\left(a-1\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4a^3-12a^2+13a-4=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(2a-1\right)\left(2a^2-5a+4\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=\underline{\rm \frac{1}{2}}\end{align*}}$
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b=\sqrt2\left(\frac{1}{2}-1\right)^2=\underline{\rm \frac{\sqrt2}{4}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r=OP=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt2}{4}\right)^2}=\underline{\rm \frac{\sqrt6}{4}}\end{align*}}$
(２)
回転体の体積をVとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V&=\sf \pi\int_a^1\left\{\sqrt2(x-1)^2\right\}^2dx-\pi\int_a^r\left(r^2-x^2\right)dx\\ &=\sf \pi\bigg[\frac{2}{5}\left(x-1\right)^5\bigg]_a^1-\pi\bigg[r^2x-\frac{x^3}{3}\bigg]_a^r\\ &=\sf \bigg\{\frac{2}{5}\left(a-1\right)^5-\frac{2}{3}r^3-r^2a+\frac{a^3}{3}\bigg\}\pi\\ &=\sf \underline{\sf \left(\frac{19}{120}-\frac{\sqrt6}{16}\right)\pi}\end{align*}}$
これは易しめですね。
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