青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の国立大学　.大阪大　理系　2016

2016大阪大　理系数学１

第１問

　　1以上6以下の2つの整数a、bに対し、関数f_n(x)（n=1，2，3，・・・）を
　　次の条件(ア)、(イ)、(ウ)で定める。
　　　　　　　(ア) $\rm f_1(x)=\sin\left(\pi x\right)$
　　　　　　　(イ) $\rm f_{2n}(x)=f_{2n-1}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-x\right)\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)$
　　　　　　　(ウ) $\rm f_{2n+1}(x)=f_{2n}\left(-x\right)\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)$
　　以下の問いに答えよ。

　(１) a=2、b=3のとき、f₅(0)を求めよ。

　(２) a=1、b=6のとき、 $\rm \sum_{k=1}^{100}\left(-1\right)^kf_{2k}\left(0\right)$ を求めよ。

　(３) 1個のさいころを2回投げて、1回目に出る目をa、2回目に出る目をbと
　　　するとき、f₆(0)=0となる確率を求めよ。

解答はこちら↓

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2016/03/14(月) 23:57:00|

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2016大阪大　理系数学２

第２問

　　次の問いに答えよ。

　(１) cを正の定数とする。正の実数x、yがx+y=cをみたすとき、
　　　　　　　　　 $\rm \left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)$
　　　の最小値をcを用いて表せ。

　(２) 正の実数x、y、zがx+y+z=1をみたすとき、
　　　　　　　　　 $\rm \left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\left(1-\frac{4}{3z}\right)$
　　　の最大値を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　与式をAとおくと、x+y=cなので
　　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm A&=\rm \left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\\ &=\rm 1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}\\ &=\rm 1+\frac{x+y+1}{xy}\\ &=\rm 1+\frac{c+1}{xy} \end{align*}$
　　　x＞0、y＞0なので相加・相乗平均の関係より
　　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm \frac{x+y}{2}\geq\sqrt{xy}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \rm \sqrt{xy}\leq\frac{c}{2}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \rm xy\leq\frac{c^2}{4}\ \ \ \left(\because\ xy>0\right)\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \rm \frac{1}{xy}\geq\frac{4}{c^2}\ \ \ \left(\because\ xy>0\right)\end{align*}$ ．
　　　よって、
　　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm A&\geq\rm 1+\left(c+1\right)\cdot\frac{4}{c^2} \\ &=\rm 1+\frac{4}{c}+\frac{4}{c^2}\\ &=\rm \left(1+\frac{2}{c}\right)^2\end{align*}$
　　　なので、Aの最小値は
　　　　　　　　　 $\rm A_{min}=\underline{\rm \left(1+\frac{2}{c}\right)^2}\ \ \ \left(x=y=\frac{c}{2}\right)$

　(２)
　　　x+y+z=1より、x+y=1-z=cとおくと、(１)より
　　　　　　　　　 $\rm \left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\geq\left(1+\frac{2}{1-z}\right)^2$
　　　また、x＞0、y＞0、x+y+z=1より、0＜z＜1なので
　　　　　　　　　 $\rm 1-\frac{4}{3z}<1-\frac{4}{3}<0$
　　　よって、与式をBとおくと、これらより
　　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm B&=\rm \left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\left(1-\frac{4}{3z}\right)\\ &\leq\rm \left(1+\frac{2}{1-z}\right)^2\left(1-\frac{4}{3z}\right)\end{align*}$

　　　ここで、関数f(z)を
　　　　　　　　　 $\rm f(z)=\left(1+\frac{2}{1-z}\right)^2\left(1-\frac{4}{3z}\right)\ \ \ \left(0<z<1\right)$
　　　とおくと、
　　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm f\ '(z)&=\rm 2\left(1+\frac{2}{1-z}\right)\cdot\frac{-2}{\left(1-z\right)^2}\left(1-\frac{4}{3z}\right)+\left(1+\frac{2}{1-z}\right)^2\cdot\frac{4}{3z^2}\\ &=\rm -4\cdot\frac{3-z}{\left(1-z\right)^3}\cdot\frac{3z-4}{3z}+\left(\frac{3-z}{1-z}\right)^2\cdot\frac{4}{3z^2}\\ &=\rm -\frac{4\left(3-z\right)\left\{z\left(3z-4\right)-\left(1-z\right)\left(3-z\right)\right\}}{3z^2\left(1-z\right)^3}\\ &=\rm -\frac{4\left(3-z\right)\left(2z-1\right)\left(2z-3\right)}{3z^2\left(1-z\right)^3}\end{align*}$
　　　となるので、f(x)の増減は次のようになる。

　　　　　　　

　　　以上より、
　　　　　　　　　 $\rm B\leq f(z)\leq f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{125}{3}$
　　　となるので、Bの最大値は
　　　　　　　　　 $\rm B_{max}=\underline{\rm -\frac{125}{3}}\ \ \ \ \left(x=y=\frac{1}{4}\ ,\ z=\frac{1}{2}\right)$

　　(３)の微分が面倒です。　　

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2016/03/15(火) 23:57:00|

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2016大阪大　理系数学３

第３問

　　座標平面において、原点Oを中心とする半径rの円と放物線
　　　　　　　　　 $\rm y=\sqrt2\left(x-1\right)^2$
　　は、ただ1つの共有点(a，b)をもつとする。

　(１) a、b、rの値をそれぞれ求めよ。

　(２) 連立不等式
　　　　　　　　　 $\rm a\leq x\leq 1\ ,\ 0\leq y\leq\sqrt2\left(x-1\right)^2\ ,\ x^2+y^2\geq r^2$
　　　の表す領域を、x軸の周りに1回転してできる回転体の体積を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　　　　　　 $\rm C_1:x^2+y^2=r^2\ \ ,\ \ C_2:y=\sqrt2\left(x-1\right)^2$

　(１)
　　　C₁とC₂の共有点をP(a，b)とすると、
　　　　　　　　　 $\rm b=\sqrt2\left(a-1\right)^2$ ．
　　　C₂の導関数は
　　　　　　　　　 $\rm y'=2\sqrt2\left(x-1\right)$
　　　なので、PにおけるC₂の法線は
　　　　　　　　　 $\rm y-\sqrt2\left(a-1\right)^2=-\frac{1}{2\sqrt2\left(a-1\right)^2}\left(x-a\right)$
　　　C₁とC₂が接するとき、この法線がC₁の中心(0，0)を通るので、
　　　　　　　　　 $\rm -\sqrt2\left(a-1\right)^2=\frac{a}{2\sqrt2\left(a-1\right)^2}$
　　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ 4a^3-12a^2+13a-4=0$
　　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(2a-1\right)\left(2a^2-5a+4\right)=0$
　　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ a=\underline{\rm \frac{1}{2}}$
　　　このとき、
　　　　　　　　　 $\rm b=\sqrt2\left(\frac{1}{2}-1\right)^2=\underline{\rm \frac{\sqrt2}{4}}$
　　　　　　　　　 $\rm r=OP=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt2}{4}\right)^2}=\underline{\rm \frac{\sqrt6}{4}}$

　(２)
　　　回転体の体積をVとおくと、
　　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm V&=\rm \pi\int_a^1\left\{\sqrt2\left(x-1\right)^2\right\}^2dx-\pi\int_a^r\left(r^2-x^2\right)dx\\ &=\rm \pi\bigg[\frac{2}{5}\left(x-1\right)^5\bigg]_a^1-\pi\bigg[r^2x-\frac{x^3}{3}\bigg]_a^r\\ &=\rm \bigg\{\frac{2}{5}\left(a-1\right)^5-\frac{2}{3}r^3-r^2a+\frac{a^3}{3}\bigg\}\pi\\ &=\rm \underline{\rm \left(\frac{19}{120}-\frac{\sqrt6}{16}\right)\pi}\end{align*}$

　　これは易しめですね。　　

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2016/03/16(水) 23:57:00|

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2016大阪大　理系数学４

第４問

　　正の整数nに対して
　　　　　　　　　 $\rm S_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$
　　とおき、1以上n以下のすべての奇数の積をA_nとする。

　(１) $\rm \log_2n$ 以下の最大の整数をNとするとき、2^NA_nS_nは奇数の整数である
　　　ことを示せ。

　(２) S_n=2+ $\rm \frac{m}{20}$ となる正の整数(n，m)をすべて求めよ。

　(３) 整数aと0≦b＜1を満たす実数bを用いて、A₂₀S₂₀=a+bと表すとき、bの
　　　値を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　1以上n以下のすべての奇数の集合をO_nとおき、
　　　自然数k （k=1，2，・・・，n）に対して、
　　　　　　　　　 $\rm a_k=\frac{2^NA_n}{k}$
　　　とおく。

　　　Nは $\rm \log_2n$ 以下の最大の整数なので、
　　　　　　　　　 $\rm N\leq \log_2 n<N+1\ \ \Leftrightarrow\ \ 2^N\leq n<2^{N+1}$ 　　　･･････(ⅰ)
　　　よって、自然数k （k=1，2，・・・，n）は、整数p （p=0，1，・・・，N）と
　　　奇数qを用いて $\rm k=2^{p}\cdot q$ 　　・・・・・・(#)
　　　と表すことができる。このとき、
　　　　　　　　　 $\rm q=\frac{k}{2^p}\leq k\leq n$
　　　より、q∈O_nなので、 $\rm \frac{A_n}{q}$ は整数である。

　　　(ⅰ)より、p=Nとなるのは、q=1、k=2^Nのときのみであり、
　　　このとき $\rm a_{2^N}=A_n$ は奇数である。

　　　一方、k≠2^Nのとき、0≦p＜Nなので、
　　　　　　　　　 $\rm a_k=\frac{2^N A_n}{2^pq}=2^{N-p}\cdot\frac{A_n}{q}$
　　　は偶数となる。

　　　以上より、
　　　　　　　　　 $\rm 2^NA_nS_n=2^NA_n\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=\sum_{k=1}^na_k$
　　　は奇数である。

　(２)　　　
　　　　　　　　　 $\rm S_n=2+\frac{m}{20}>2\ \ \ \left(\because\ m>0\right)$ 　　・・・・・・(ⅱ)
　　　であり、
　　　　　　　　　 $\rm S_1=1\ ,\ S_2=\frac{3}{2}\ ,\ S_3=\frac{11}{6}\ ,\ S_4=\frac{25}{12}$
　　　なので、n≧4である。
　　　このとき、(１)と同様にNを定義すると、N≧2である。　・・・・・・(ⅲ)
　　　一方、(１)より
　　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm 2^NA_nS_n&=\rm 2^NA_n\left(2+\frac{m}{20}\right)\\ &=\rm 2^{N+1}A_n+\frac{2^{N-2}mA_n}{5} \end{align*}$
　　　は奇数であり、2^N+１A_nは偶数なので、 $\rm \frac{2^{N-2}mA_n}{5}$ は奇数である。
　　　よって、N-2≦0なので、(ⅲ)とあわせて考えると、N=2である。
　　　このときのnの値は、n=4，5，6，7のいずれかである。
　　　　　　　　　 $\rm S_4=\frac{25}{12}=2+\frac{1}{12}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{m}{20}=\frac{1}{12}\ \ \Leftrightarrow\ \ m=\frac{5}{3}$
　　　　　　　　　 $\rm S_5=2+\frac{17}{60}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{m}{20}=\frac{17}{60}\ \ \Leftrightarrow\ \ m=\frac{17}{3}$
　　　　　　　　　 $\rm S_6=2+\frac{9}{20}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{m}{20}=\frac{9}{20}\ \ \Leftrightarrow\ \ m=9$
　　　　　　　　　 $\rm S_7=2+\frac{83}{140}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{m}{20}=\frac{83}{140}\ \ \Leftrightarrow\ \ m=\frac{83}{7}$
　　　mは整数なので、題意を満たす(n，m)の組は(6，9)である。

　(３)
　　　実数xの小数部分を $\rm \left\langle x\right\rangle$ で表すこととし、20以下の自然数kに対して、
　　　　　　　　　 $\rm b_k=\frac{A_{20}}{k}$
　　　とおくと、
　　　　　　　　　 $\rm b=\rm \langle A_{20}S_{20}\rangle=\left\langle\sum_{k=1}^{20}b_k\right\rangle= \left\langle\sum_{k=1}^{20}\langle b_k\rangle\right\rangle$
　　　が成り立つ。

　　　一方、20以下の自然数kは、整数p （p=0，1，2，3，4）と奇数qを用いて
　　　(#)と同様に、 $\rm k=2^{p}\cdot q$ と表せる。

　　　　　(Ⅰ) p=0のとき、すなわちkが奇数のとき
　　　　　　　　k∈O₂₀なので、b_kは整数である。
　　　　　　　　よって、 $\rm \langle b_k\rangle =0$

　　　　　(Ⅱ) p=1のとき
　　　　　　　　 $\rm \frac{A_{20}}{q}$ は奇数なので、
　　　　　　　　　　　 $\rm \left\langle b_k\right\rangle =\left\langle \frac{A_{20}}{2q}\right\rangle = \frac{1}{2}\ \ \ \left(q=1,3,5,7,9\right)$
　　　　　　　　よって、
　　　　　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm \left\langle b_2+b_6+b_{10}+b_{14}+b_{18}\right\rangle&=\rm \left\langle\left\langle b_2\right\rangle+\left\langle b_6\right\rangle+\left\langle b_{10}\right\rangle+\left\langle b_{14}\right\rangle+\left\langle b_{18}\right\rangle\right\rangle\\ &=\rm \left\langle \frac{1}{2}\cdot 5\right\rangle\\ &=\rm \frac{1}{2}\end{align*}$

　　　　　(Ⅲ) p=2のとき
　　　　　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm \left\langle b_4+b_{12}+b_{20}\right\rangle&=\rm \left\langle \frac{A_{20}}{4}+\frac{A_{20}}{12}+\frac{A_{20}}{20}\right\rangle\\ &=\rm \left\langle \frac{A_{20}}{4}\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)\right\rangle\\ &=\rm \left\langle \frac{7\cdot 9\cdot 11\cdot 13\cdot 15\cdot 17\cdot 19\cdot 23}{4}\right\rangle \\ &=\rm \left\langle \frac{3\cdot 1\cdot 3\cdot 1\cdot 3\cdot 1\cdot 3\cdot 3}{4}\right\rangle\\ &=\rm \left\langle \frac{243}{4}\right\rangle\\ &=\rm \frac{3}{4}\end{align*}$

　　　　　(Ⅳ) p=3のとき
　　　　　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm \left\langle b_8\right\rangle&=\rm \left\langle \frac{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11\cdot 13\cdot 15\cdot 17\cdot 19}{8}\right\rangle\\ &=\rm \left\langle \frac{3\cdot 5\cdot 7\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 1\cdot 3}{8}\right\rangle\\ &=\rm \left\langle \frac{27\cdot 25\cdot 49}{8}\right\rangle \\ &=\rm \left\langle \frac{3\cdot 1\cdot 1}{8}\right\rangle\\ &=\rm \frac{3}{8}\end{align*}$

　　　　　(Ⅴ) p=4のとき
　　　　　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm \left\langle b_{16}\right\rangle&=\rm \left\langle \frac{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11\cdot 13\cdot 15\cdot 17\cdot 19}{16}\right\rangle\\ &=\rm \left\langle \frac{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11\cdot 13\cdot 15\cdot 1\cdot 3}{16}\right\rangle\\ &=\rm \left\langle \frac{81\cdot 35\cdot 13\cdot 165}{16}\right\rangle\\ &=\rm \left\langle \frac{1\cdot 3\cdot 13\cdot 5}{16}\right\rangle \\ &=\rm \left\langle \frac{195}{16}\right\rangle\\ &=\rm \frac{3}{16}\end{align*}$

　　　(Ⅰ)～(Ⅴ)より
　　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm b&=\rm \left\langle\sum_{k=1}^{20}\langle b_k\rangle\right\rangle\\ &=\rm \left\langle 0+\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{3}{8}+\frac{3}{16}\right\rangle\\ &=\rm \left\langle \frac{29}{16}\right\rangle\\ &=\rm \underline{\rm \frac{13}{16}}\end{align*}$

　　これは難しいですね。　　

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2016/03/17(木) 23:57:00|

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2016大阪大　理系数学５

第５問

　　円上の５点A、B、C、D、Eは反時計回りにこの順に並び、円周を5等分
　　している。５点A、B、C、D、Eを頂点とする正五角形をR₁とする。
　　 $\rm \overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{\rm a}$ 、 $\rm \overrightarrow{\rm CD}=\overrightarrow{\rm c}$ とおき、 $\rm \overrightarrow{\rm a}$ の大きさをxとする。

　(１) $\rm \overrightarrow{\rm AC}$ の大きさをyとするとき、x²=y(y-x)がなりたつことを示せ。

　(２) $\rm \overrightarrow{\rm BC}$ を $\rm \overrightarrow{\rm a}$ 、 $\rm \overrightarrow{\rm c}$ を用いて表せ。

　(３) R₁の対角線の交点として得られるR₁の内部の5つの点を頂点とする
　　　正五角形をR₂とする。R₂の一片の長さをxを用いて表せ。

　(４) n=1，2，3，・・・に対して、R_nの対角線の交点として得られるR_nの内部
　　　の5つの点を頂点とする正五角形をR_n+1とし、R_nの面積をS_nとする。
　　　　　　　　　 $\rm \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{S_1}\sum_{k=1}^n\left(-1\right)^{k+1}S_k$
　　　を求めよ。

　　　　　　　　　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　ACとBEの交点をF、ACとBDの交点をGとすると、
　　　　　　　　　 $\rm \angle FAB=\angle FBA=36^{\circ}\ ,\ \angle CBF=\angle CFB=72^{\circ}$
　　　なので、
　　　　　　　　　 $\rm CF=BC=AB=x\ ,\ AF=BF=y-x$
　　　よって、△BCA∽△FABより
　　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm AB:BF=AC:BA&\ \ \Leftrightarrow\ \ \rm x:\left(y-x\right)=y:x\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \rm \underline{\rm x^2=y\left(y-x\right)}\end{align*}$

　(２)
　　　(１)の等式において、x＞0、y＞0なので、
　　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm x^2=y\left(y-x\right)&\ \ \Leftrightarrow\ \ \rm y^2-xy-x^2=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \rm y=\frac{1+\sqrt5}{2}\ x\ \ \left(>0\right) \end{align*}$
　　　よって、
　　　　　　　　 $\rm BE//CD\ ,\ BE:CD=y:x\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\rm BE}=\frac{y}{x}\ \overrightarrow{\rm CD}=\frac{1+\sqrt5}{2}\ \overrightarrow{\rm c}$
　　　　　　　　 $\rm AB//EC\ ,\ AB:EC=x:y\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\rm EC}=\frac{y}{x}\ \overrightarrow{\rm AB}=\frac{1+\sqrt5}{2}\ \overrightarrow{\rm a}$
　　　なので、
　　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm BC}=\overrightarrow{\rm BE}+\overrightarrow{\rm EC}=\underline{\rm \frac{1+\sqrt5}{2}\left(\overrightarrow{\rm a}+\overrightarrow{\rm c}\right)}$

　(３)　　　
　　　 $\rm AG=CF=x\ ,\ AC=y$ なので、
　　　　　　　　　 $\rm FG=2x-y=\left(2-\frac{1+\sqrt5}{2}\right)x=\underline{\rm \frac{3-\sqrt5}{2}\ x}$

　(４)
　　　(３)と同様に考えると、2つの正五角形R_nとR_n+1は相似であり、
　　　その相似比は、x：(2x-y)である。
　　　よって、面積比は、
　　　　　　　　　 $\rm S_n:S_{n+1}=x^2:\left(\frac{3-\sqrt5}{2}\ x\right)^2=1:\frac{7-3\sqrt5}{2}$
　　　となるので、k=1，2，・・・，nに対して
　　　　　　　　　 $\rm S_k=\left(\frac{7-3\sqrt5}{2}\right)^{k-1}S_1$ ．
　　　よって、
　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{S_1}\sum_{k=1}^n\left(-1\right)^{k+1}S_k&=\rm \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n\left(-1\right)^{k+1}\left(\frac{7-3\sqrt5}{2}\right)^{k-1}\\ &=\rm \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n\left(\frac{3\sqrt5-7}{2}\right)^{k-1}\\ &=\rm \frac{1}{1-\frac{3\sqrt5-7}{2}}\ \ \ \ \left(\because\ -1<\frac{3\sqrt5-7}{2}<0\right)\\ &=\rm \underline{\rm \frac{3+\sqrt5}{6}} \end{align*}$

　これは有名な話ですよね。　　

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2016/03/18(金) 23:57:00|

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