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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2016大阪大 理系数学1



第1問

  1以上6以下の2つの整数a、bに対し、関数$\small\sf{\begin{align*}\sf f_n(x)\ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$を
  次の条件(ア)、(イ)、(ウ)で定める。
       (ア) $\small\sf{\begin{align*}\sf f_1(x)=\sin\left(\pi x\right)\end{align*}}$
       (イ) $\small\sf{\begin{align*}\sf f_{2n}(x)=f_{2n-1}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-x\right)\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
       (ウ) $\small\sf{\begin{align*}\sf f_{2n+1}(x)=f_{2n}\left(-x\right)\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
  以下の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*}\sf a=2\ ,\ b=3\end{align*}}$ のとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf f_5(0)\end{align*}}$ を求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*}\sf a=1\ ,\ b=6\end{align*}}$ のとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^{100}\left(-1\right)^kf_{2k}\left(0\right)\end{align*}}$ を求めよ。

 (3) 1個のさいころを2回投げて、1回目に出る目をa、2回目に出る目をbと
    するとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf f_6(0)=0\end{align*}}$ となる確率を求めよ。



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  1. 2016/03/14(月) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 理系 2016
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2016大阪大 理系数学2



第2問

  次の問いに答えよ。

 (1) cを正の定数とする。正の実数$\small\sf{\begin{align*}\sf x\ ,\ y\end{align*}}$ が$\small\sf{\begin{align*}\sf x+y=c\end{align*}}$ をみたすとき、
         $\small\sf{\begin{align*}\sf \left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\end{align*}}$
    の最小値をcを用いて表せ。

 (2) 正の実数$\small\sf{\begin{align*}\sf x\ ,\ y\ ,\ z\end{align*}}$ が$\small\sf{\begin{align*}\sf x+y+z=1\end{align*}}$ をみたすとき、
         $\small\sf{\begin{align*}\sf \left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\left(1-\frac{4}{3z}\right)\end{align*}}$
    の最大値を求めよ。



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  1. 2016/03/15(火) 23:57:00|
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2016大阪大 理系数学3



第3問

  座標平面において、原点Oを中心とする半径rの円と放物線
         $\small\sf{\begin{align*}\sf y=\sqrt2\left(x-1\right)^2\end{align*}}$
  は、ただ1つの共有点$\small\sf{\begin{align*}\sf (a\ ,\ b)\end{align*}}$ をもつとする。

 (1) $\small\sf{\begin{align*}\sf a\ ,\ b\ ,\ r\end{align*}}$ の値をそれぞれ求めよ。

 (2) 連立不等式
         $\small\sf{\begin{align*}\sf a\leq x\leq 1\ ,\ 0\leq y\leq\sqrt2\left(x-1\right)^2\ ,\ x^2+y^2\geq r^2\end{align*}}$
    の表す領域を、x軸の周りに1回転してできる回転体の体積を求めよ。




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  1. 2016/03/16(水) 23:57:00|
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2016大阪大 理系数学4



第4問

  正の整数nに対して
         $\small\sf{\begin{align*}\sf S_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\end{align*}}$
  とおき、1以上n以下のすべての奇数の積をAnとする。

 (1) $\small\sf{\begin{align*}\sf \log_2n\end{align*}}$ 以下の最大の整数をNとするとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf 2^NA_nS_n\end{align*}}$ は奇数の整数である
    ことを示せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*}\sf S_n=2+ \frac{m}{20}\end{align*}}$ となる正の整数(n,m)をすべて求めよ。

 (3) 整数aと$\small\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq b\lt 1\end{align*}}$ を満たす実数bを用いて、$\small\sf{\begin{align*}\sf A_{20}S_{20}=a+b\end{align*}}$ と表すとき、bの
    値を求めよ。




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  1. 2016/03/17(木) 23:57:00|
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2016大阪大 理系数学5



第5問

  円上の5点$\small\sf{\begin{align*}\sf A,B,C,D,E\end{align*}}$ は反時計回りにこの順に並び、円周を5等分
  している。5点$\small\sf{\begin{align*}\sf A,B,C,D,E\end{align*}}$ を頂点とする正五角形をR1とする。
  $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AB}=\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \ \overrightarrow{\sf CD}=\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ とおき、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ の大きさをxとする。

 (1) $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ の大きさをyとするとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf x^2=y(y-x)\end{align*}}$ がなりたつことを示せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf a}\ , \ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (3) R1の対角線の交点として得られるR1の内部の5つの点を頂点とする
    正五角形をR2とする。R2の一片の長さをxを用いて表せ。

 (4) $\small\sf{\begin{align*}\sf n=1,2,3,\ldots\end{align*}}$ に対して、Rnの対角線の交点として得られるRnの内部
    の5つの点を頂点とする正五角形をRn+1とし、Rnの面積をSnとする。
         $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{S_1}\sum_{k=1}^n\left(-1\right)^{k+1}S_k\end{align*}}$
    を求めよ。

         図03





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  1. 2016/03/18(金) 23:57:00|
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