青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　理系　2016

2016京都大　理系数学１

第１問

　(１) nを2以上の自然数とするとき、関数
　　　　　　　　　 $\rm f_n(\theta)=\left(1+\cos\theta\right)\sin^{n-1}\theta$
　　　の0≦θ≦ $\rm \frac{\pi}{2}$ における最大値M_nを求めよ。

　(２) $\rm \lim_{n\rightarrow\infty}\ \left(M_n\right)^n$ を求めよ。

解答はこちら↓

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2016/03/21(月) 23:57:00|

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2016京都大　理系数学２

第２問

　　素数p、qを用いて
　　　　　　　　　p^q+q^p
　　と表される素数をすべて求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　　　　　　M=p^q+q^p
　　　とおく。p、qは素数なので、p≧2、q≧2である。
　　　これより、
　　　　　　　　　M≧2²+2²=8
　　　となるので、Mは奇数である。
　　　よって、p^qとq^pのうち、一方は奇数、他方は偶数である。
　　　式の対称性より、p^qが偶数である、すなわちp=2としても一般性を
　　　失わないので、
　　　　　　　　　M=2^q+q²
　　　と表される。
　　　
　　　q=3のとき
　　　　　　　　　M=2³+3²=17

　　　q＞3のとき
　　　　　　qは3の倍数でも2の倍数でもないので、自然数nを用いて
　　　　　　　　　q=6n±1　
　　　　　　と表すことができる。mod6の合同式を考えると、
　　　　　　(ⅰ)　　　M≡2⁶ⁿ⁺¹+(6n+1)²
　　　　　　　　　　　　　≡2・64ⁿ+1
　　　　　　　　　　　　　≡2・4ⁿ+1
　　　　　　
　　　　　　(ⅱ)　　　M≡2^6n-1+(6n-1)²
　　　　　　　　　　　　　≡32・64ⁿ+1
　　　　　　　　　　　　　≡2・4ⁿ+1

　　　　　　ここで、4²≡16≡4 なので、
　　　　　　任意のnに対して、4ⁿ≡4となる。
　　　　　　よって、(ⅰ)、(ⅱ)いずれの場合も
　　　　　　　　　　　M≡2・4+1≡9≡3
　　　　　　なので、Mは6で割って3余る数、すなわち3の倍数となるので
　　　　　　Mは素数ではない。

　　　以上より、求める素数は17である。
　　　　　　
　

　　p=2のあとは、
　　　　　　2³+3²=17
　　　　　　2⁵+5²=57=3×19
　　　　　　2⁷+7²=177=3×59
　　　　　　2¹¹+11²=2169=3×723
　　と実験してみれば、17以外は3の倍数になることが予想できます。

　　

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2016/03/22(火) 23:57:00|

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2016京都大　理系数学３

第３問

　　四面体OABCが次の条件を満たすならば、それは正四面体である
　　ことを示せ。
　　　条件：頂点A、B、Cからそれぞれの対を含む平面へ下した垂線は
　　　　　　　対面の外心を通る。
　　ただし、四面体のある頂点の対面とは、その頂点を除く他の3つの
　　頂点がなす三角形のことをいう。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　Aから対面に下した垂線の足をHとおくと、
　　　　　　　　　∠AHO=∠AHB=∠AHC=90°
　　　題意より、Hは△OBCの外心なので、
　　　　　　　　　OH=BH=CH
　　　よって、
　　　　　　　　　△AHO≡△AHB≡△AHC
　　　となるので、AO=AB=ACである。

　　　同様にして、BおよびCから対面に下した垂線を考えると
　　　　　　　　　BO=BA=BC、　CO=CA=CB
　　
　　　以上より、すべての辺の長さが等しくなるので、
　　　四面体OABCは正四面体である。
　

　　　　　

　　京大ではよく出るパターンですが、これは難しくありませんね。　　

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2016/03/23(水) 23:57:00|

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2016京都大　理系数学４

第４問

　　xyz空間において、平面y=zの中で
　　　　　　　　　 $\rm |x|\leq\frac{e^y+e^{-y}}{2}-1\ ,\ 0\leq y\leq\log a$
　　で与えられる図形Dを考える。ただし、aは1より大きい定数とする。
　　この図形Dをy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　図形Dと平面y=t （0≦t≦logａ）との共有点の集合は
　　　　　　　　　 $\rm |x|\leq\frac{e^t+e^{-t}}{2}-1\ ,\ y=z=t$
　　　を満たし、これは2点
　　　　　　　　　 $\rm A \left(\frac{e^t+e^{-t}}{2}-1\ ,\ t\ ,\ t\right)\ ,\ B\left(-\frac{e^t+e^{-t}}{2}-1\ ,\ t\ ,\ t\right)$
　　　を結ぶ線分である（図1）。
　　　よって、この線分をy軸のまわりに1回転させると、図2の領域を通過
　　　することになる。
　　　その面積をS(t)とおくと、
　　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm S(t)&=\rm \left\{\left(\frac{e^t+e^{-t}}{2}-1\right)^2+t^2 \right\}\pi-t^2 \pi \\ &=\rm \left(\frac{e^{2t}+e^{-2t}}{4}-e^t-e^{-t}+\frac{3}{2}\right)\pi\end{align*}$

　　　　　　　

　　　よって立体の体積Vは
　　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm V&=\rm \pi\int_0^{\log a}S(t)\ dt\\ &=\rm \pi\int_0^{\log a}\left(\frac{e^{2t}+e^{-2t}}{4}-e^t-e^{-t}+\frac{3}{2}\right)\\ &=\rm \pi\left[\frac{e^{2t}-e^{-2t}}{8}-e^t+e^{-t}+\frac{3}{2}t\right]_0^{\log a} \\ &=\rm \underline{\rm \pi\left(\frac{a^{2}-a^{-2}}{8}-a+a^{-1}+\frac{3}{2}\log a\right)}\end{align*}$

　　立体の形はイメージしにくいでしょうが、普通に断面を考えるだけです。　　

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2016/03/24(木) 23:57:00|

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2016京都大　理系数学５

第５問

　　xy平面上の6個の点(0，0)、(0，1)、(1，0)、(1，1)、(2，0)、(2，1)
　　が図のように長さ1の線分で結ばれている。動点Xは、これらの点の上
　　を次の規則に従って1秒ごとに移動する。

　　　規則：動点Xは、そのときに位置する点から出る長さ1の線分によって
　　　　　　結ばれる図の点のいずれかに、等しい確率で移動する。

　　例えば、Xが(2，0)にいるときは、(1，0)、(2，1)のいずれかに $\rm \frac{1}{2}$ の確
　　率で移動する。またXが(1，1)にいるときは、(0，1)、(1，0)、(2，1)の
　　いずれかに $\rm \frac{1}{3}$ の確率で移動する。
　　時刻0で動点XがO=(0，0)から出発するとき、n秒後にXのx座標が0で
　　ある確率を求めよ。ただしnは0以上の整数とする。

　　　　　　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　n秒後の動点Xのx座標をx_nとおくと、x_nとx_n+1の値は下図のように変化する。
　　　　　(赤色の矢印は確率2分の1、青色の矢印は確率3分の1)

　　　　　　　　　
　
　　　また、x_n=0、1、2である確率をそれぞれa_n、b_n、c_nとおくと、
　　　　　　　　　 $\rm a_0=1\ ,\ b_0=c_0=0\ \ \ \ \ \ldots\ldots\ldots(i)$
　　　　　　　　　 $\rm a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{3}b_n\ \ \ \ \ \ \ldots\ldots\ldots(ii)$
　　　　　　　　　 $\rm b_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{3}b_n+\frac{1}{2}c_n\ \ \ \ \ \ \ldots\ldots\ldots(iii)$
　　　　　　　　　 $\rm c_{n+1}=\frac{1}{3}b_n+\frac{1}{2}c_n\ \ \ \ \ \ \ldots\ldots\ldots(iv)$
　　　　　　　　　 $\rm a_n+b_n+c_n=1\ \ \ \ \ \ \ldots\ldots\ldots(v)$
　　　が成り立つ。

　　　(ⅲ)と(ⅴ)より
　　　　　　　　　 $\rm b_{n+1}=\frac{1}{3}b_n+\frac{1}{2}\left(1-b_n\right)=-\frac{1}{6}b_n+\frac{1}{2}$
　　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ b_{n+1}-\frac{3}{7}=-\frac{1}{6}\left(b_n-\frac{3}{7}\right)$
　　　となるので、数列 $\rm \left\{b_n-\frac{3}{7}\right\}$ は等比数列をなす。
　　　よって、
　　　　　　　　　 $\rm b_n-\frac{3}{7}=\left(-\frac{1}{6}\right)^n\left(b_0-\frac{3}{7}\right)=-\frac{3}{7}\left(-\frac{1}{6}\right)^n$
　　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ b_n=\frac{3}{7}\left\{1-\left(-\frac{1}{6}\right)^n\right\}\ \ \ \ \ \ \ldots\ldots\ldots(vi)$

　　　一方、(ⅱ)と(ⅳ)の差をとると、
　　　　　　　　　 $\rm a_{n+1}-c_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n-c_n\right)$
　　　となり、数列{a_n-c_n}は等比数列をなすので、
　　　　　　　　　 $\rm a_n-c_n=\left(\frac{1}{2}\right)^n\left(a_0-c_0\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^n$
　　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ c_n=a_n-\left(\frac{1}{2}\right)^n$
　　　これを(ⅴ)に代入すると、(ⅵ)より
　　　　　　　　　 $\rm a_n+b_n+a_n-\left(\frac{1}{2}\right)^n=1$
　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ a_n&=\rm \frac{1}{2}\left\{\left(\frac{1}{2}\right)^n+1-b_n\right\}\\ &=\underline{\rm \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}+\frac{3}{14}\left(-\frac{1}{6}\right)^n+\frac{2}{7}}\end{align*}$

　　漸化式は、a_n+b_n+c_n=1の条件を忘れないように！　　

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2016/03/25(金) 23:57:00|

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2016京都大　理系数学６

第６問

　　複素数を係数とする2次式f(x)=x²+ax+bに対し、次の条件を考える。
　　　(イ) f(x³)はf(x)で割り切れる。
　　　(ロ) f(x)の係数a、bは少なくとも一方は虚数である。
　　この2つの条件(イ)、(ロ)を同時に満たす2次式をすべて求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　方程式f(x)=0の2解をs、tとおくと、解と係数の関係より
　　　　　　　　　　a=-s-t、　b=st　　　　・・・・・・(#)
　　　また、条件(イ)より、整式h(x)を用いて
　　　　　　　　　　f(x³)=f(x)h(x)
　　　と表されるので、
　　　　　　　f(s³)=f(s)h(s)=0　　かつ　　f(t³)=f(t)h(t)=0
　　　よって、s³とt³も方程式f(x)=0の解となる。

　　(ⅰ) s³=s かつ t³=tのとき（s=tの場合も含む）
　　　　　　　　　s=0，±1　、　t=0，±1
　　　　　(#)を用いてa、bを計算すると、いずれの場合も条件(ロ)を
　　　　　満たさないので不適

　　(ⅱ) s³=t³=sのとき
　　　　　　　　　s=0，±1　
　　　　　・s=0のとき
　　　　　　　　　　t³=0　⇔　t=0
　　　　　　　これは条件(ロ)を満たさないので不適

　　　　　・s=1のとき
　　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm t^3=1&\ \ \Leftrightarrow\ \ \rm \left(t-1\right)\left(t^2+t+1\right)=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \rm t=1\ ,\ \frac{-1\pm\sqrt3\ i}{2}\end{align*}$
　　　　　　　条件(ロ)を満たすようなa、bの値は、(#)より
　　　　　　　　　 $\rm \left(a,b\right)=\left(-\frac{1\pm\sqrt3\ i}{2}\ ,\ \frac{-1\pm\sqrt3\ i}{2}\right)$ 　　（複号同順）

　　　　　・s=-1のとき
　　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm t^3=-1&\ \ \Leftrightarrow\ \ \rm \left(t+1\right)\left(t^2-t+1\right)=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \rm t=-1\ ,\ \frac{1\pm\sqrt3\ i}{2}\end{align*}$
　　　　　　　条件(ロ)を満たすようなa、bの値は、(#)より
　　　　　　　　　 $\rm \left(a,b\right)=\left(-\frac{-1\pm\sqrt3\ i}{2}\ ,\ \frac{1\pm\sqrt3\ i}{2}\right)$ 　　（複号同順）

　　(ⅲ) s³=t³=tのときは、(ⅱ)と同様

　　(ⅳ) s³=t かつ t³=sのとき
　　　　　　　tを消去すると、
　　　　　　　　　　　s⁹=s　⇔　s=0 または　s⁸=1
　　　　　　　s=0のときは、条件(ロ)を満たさない。
　　　　　　　よって、
　　　　　　　　　　　　 $\rm s=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\ \ \ \left(r>0\ ,\ 0\leq\theha <2\pi\right)$
　　　　　　　とおくと、ド・モアブルの定理より、
　　　　　　　　　　　　 $\rm s^8=r^8\left(\cos 8\theta+i\sin 8\theta\right)=1$
　　　　　　　成分を比較すると、
　　　　　　　　　　　　 $\rm r^8=1\ \ \Leftrightarrow\ \ r=1\ \left(>0\right)$
　　　　　　　　　　　　 $\rm 8\theta=2k\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=\frac{k\pi}{4}\ \ \left(k=0,1,2,\ldots ,7\right)$
　　　　　　　よって、整数k=0，1，・・・，7に対して、
　　　　　　　　　　　　 $\rm s=\cos\frac{k\pi}{4}+i\sin\frac{k\pi}{4}$
　　　　　　　　　　　　 $\rm t=s^3=\cos\frac{3k\pi}{4}+i\sin\frac{3k\pi}{4}$
　　　　　　　なので、(#)より
　　　　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm a&=\rm -\left(\cos\frac{k\pi}{4}+\cos\frac{3k\pi}{4}\right)-i\left(\sin\frac{k\pi}{4}+\sin\frac{3k\pi}{4}\right)\\ &=\rm -2\cos\frac{k\pi}{2}\cos\frac{k\pi}{4}-2i\sin\frac{k\pi}{2}\cos\frac{k\pi}{4}\\ &=\rm -2\cos\frac{k\pi}{4}\left(\cos\frac{k\pi}{2}+i\sin\frac{k\pi}{2}\right)\\ &=\rm -2\cos\frac{k\pi}{4}\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)^k\\ &=\rm -2i^k\cos\frac{k\pi}{4}\end{align*}$
　　　　　　　　　　　 $\rm \begin{align*}\rm b&=\rm \left(\cos\frac{k\pi}{4}+i\sin\frac{k\pi}{4}\right)\left(\cos\frac{3k\pi}{4}+i\sin\frac{3k\pi}{4}\right) \\ &=\rm \cos k\pi+i\sin k\pi\\ &=\rm \left(\cos\pi+i\sin\pi\right)^k\\ &=\rm \left(-1\right)^k\end{align*}$

　　　　　　　bは実数なので、aが虚数になる場合を考えると、
　　　　　　　　k=1，3のとき
　　　　　　　　　　　　 $\rm \left(a,b\right)=\left(-\sqrt2\ i\ ,\ -1\right)$
　　　　　　　　k=5，7のとき
　　　　　　　　　　　　 $\rm \left(a,b\right)=\left(\sqrt2\ i\ ,\ -1\right)$

　　　(ⅰ)～(ⅳ)より、題意を満たすf(x)は
　　　　　　　　　 $\rm \underline{\ f(x)=x^2-\frac{1\pm\sqrt3\ i}{2}x+\frac{-1\pm\sqrt3\ i}{2}}$ 　　（複号同順）
　　　　　　　　　 $\rm \underline{\ f(x)=x^2-\frac{-1\pm\sqrt3\ i}{2}x+\frac{1\pm\sqrt3\ i}{2}}$ 　　（複号同順）
　　　　　　　　　 $\rm \underline{\ f(x)=x^2\pm\sqrt2\ ix -1}$

　　これは難しいと思いますよ。医学科以外は捨ててもいいんじゃないでしょうかｗ　　

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2016/03/26(土) 23:57:00|

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