第４問
次の にあてはまる式を解答欄に記入せよ。
(１) 1から6までの数字が1つずつ書かれた赤球が6個入った袋Aと、
1から6までの数字が1つずつ書かれた白球が6個入った袋Bが
ある。それぞれの袋から無作為に1個ずつ球を取り出し、それら
の球に書かれた数の合計がkとなる場合の数をf(k)で表す。
このとき、xy平面上に(k，f(k))は、直線x= ア に関して対称
な2直線上に並び、これら2直線とx軸で囲まれた部分の面積は
イ である。
(２) Nを2以上の整数とする。1からNまでの数字が1つずつ書かれた
赤球がN個入った袋Aと、1からNまでの数字が1つずつ書かれた
白球がN個入った袋Bがある。それぞれの袋から無作為に1個ず
つ球を取り出し、それらの球に書かれた数の合計がLとなる場合
の数をg(L)で表す。このとき、xy平面上に(L，g(L))は、直線x=
イ に関して対称な2直線上に並び、これら2直線とx軸で囲ま
れた部分の面積は エ である。
(３) Nを2以上の整数とする。1からNまでの数字が1つずつ書かれた
赤球がN個と、1からNまでの数字が1つずつ書かれた白球がN個
入った袋Aと、1から2Nまでの数字が1つずつ書かれた青球が2N
個入った袋Bがある。それぞれの袋から無作為に1個ずつ球を取
り出し、それらの球に書かれた数の合計がmとなる場合の数を
h(m)で表す。このとき、xy平面上に(m，h(m))が並ぶ直線の方
程式は以下のようになる。
2≦m≦ オ の(m，h(m))について、 y= カ
オ ≦m≦ キ の(m，h(m))について、 y= ク
キ ≦m≦ ケ の(m，h(m))について、 y= コ
これら3直線とx軸で囲まれた部分の面積は サ である。
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【解答】
ア 7 イ 36 ウ N+1 エ N2 オ N+1
カ 2x-2 キ 2N+1 ク 2N ケ 3N コ -2x+6N+2
サ 4N2
【解説】
A、Bそれぞれの袋から取り出した球に書かれた数をそれぞれ
a、bとする。
(1)
k=2のとき
(a，b)=(1，1) より f(2)=1
k=3のとき
(a，b)=(1，2)、(2，1) より f(3)=2
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
k=6のとき
(a，b)=(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1) より f(6)=5
k=7のとき
(a，b)=(1，6)、(2，5)、(3，4)、(4，3)、(5，2)、(6，1) より f(7)=6
k=8のとき
(a，b)=(2，6)、(3，5)、(4，4)、(5，3)、(6，1) より f(8)=5
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
k=12のとき
(a，b)=(6，6) より f(12)=1
以上より、点(k，f(k))は
2≦k≦7のときは、直線y=x-1
7≦k≦12のときは、直線y=-x+13
上にあり、これら2直線は直線x=7について対称である。
これら2直線とx軸で囲まれた部分は、3点(1，0)、(7，6)、(13，0)
を頂点とする三角形なので、その面積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\cdot 12\cdot 6=\underline{\sf 36}\end{align*}}$
(2)
(1)と同様に考えると、
k=2のとき
(a，b)=(1，1) より f(2)=1
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
k=N+1のとき
(a，b)=(1，N)、(2，N-1)、・・・・・、(N，1) より f(N+1)=N
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
k=2Nのとき
(a，b)=(N，N) より f(2N)=1
以上より、点(k，f(k))は
2≦k≦N+1のときは、直線y=x-1
N+1≦k≦2Nのときは、直線y=-x+2N+1
上にあり、これら2直線は直線x=N+1について対称である。
これら2直線とx軸で囲まれた部分は、3点(1，0)、(N+1，N)、(2N+1，0)
を頂点とする三角形なので、その面積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\cdot 2N\cdot N=\underline{\sf N^2}\end{align*}}$
(3)
k=2のとき
(a，b)=(1，1) であるが、袋Aには1の球が2つあるので、
f(2)=2である。以下も同様に考える。
k=3のとき
(a，b)=(1，2)、(2，1) より f(2)=4
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
k=N-1のとき
(a，b)=(1，N-1)、(2，N-2)、・・・・・、(N-1，1) より f(N+1)=2N-2
k=N+1のとき
(a，b)=(1，N)、(2，N-1)、・・・・・、(N，1) より f(N+1)=2N
k=N+2のとき
(a，b)=(1，N+1)、(2，N)、・・・・・、(N，2) より f(N+1)=2N
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
k=2N+1のとき
(a，b)=(1，2N)、(2，2N-1)、・・・・・、(N，N+1) より f(N+1)=2N
k=2N+2のとき
(a，b)=(2，2N-1)、・・・・・、(N，N+1) より f(N+1)=2N-2
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
k=3Nのとき
(a，b)=(N，2N) より f(N+1)=2
以上より、点(k，f(k))は
2≦k≦N+1のときは、直線y=2x-2
N+1≦k≦2N+1のときは、直線y=2N
2N+1≦k≦3Nのときは、直線y=-2x+6N+2
上にある。
また、これら3直線とx軸で囲まれた部分は、4点
(1，0)、(N+1，2N)、(2N+1，2N)、(3N，0)を頂点とする台形なので、その面積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\left(N+3N\right)\cdot 2N=\underline{\sf 4N^2}\end{align*}}$
表に整理すると見やすいと思います。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/25(日) 02:04:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .京都薬科大 2016
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