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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2016京都薬科大 数学1



第1問

  次の    に当てはまる数または式を解答欄に記入せよ。ただし、
   コ  においては、 コ  につづくかっこ内の選択肢から適切な
  ものをAかBの記号で答えよ。

 (1) 2つの円x+y=1、(x-2)+y=R(R>0)が異なる2つの交点
    を持つのは   ア  <R< イ  が成立するときである。このとき、
    O(0,0)、A(2,0)とおき、交点の1つをPとすると、
         cos∠OPA= ウ 
    が成立するので、∠OPA=90°となるのはR= エ  のときである。

 (2) xの2次方程式 x-4xsinθ+4+ -(2+2)cos=0 (0≦θ<2π
    が異なる2つの実数解を持つようなθの範囲は、 オ θ カ 
    および  キ θ ク  である。

 (3) pとqを正の整数とする。xの2次方程式 x2-2 x+q=0は異なる2つ
    の実数解を持つとする。これらの解をαβで表すとき、r=|α-β|と
    p、qの間には、関係式r2= ケ  が成り立つ。したがって、もしrが整
    数ならば、rは コ  (A:偶数、B:奇数)である。このとき、2次方程式
    の解をqとrであらわすとx= サ  ± シ  となる。

 (4) 1つのサイコロを2回続けて投げるとき、1回目に出る目をa、2回目に
    出る目をbとし、xの2次方程式x2-ax+b=0 ・・・・・・①を考える。2次
    方程式①が実数解を持たない確率は ス  である。2次方程式①が
    実数解をもつとき、それが重解である条件付確率は セ  である。
    2次方程式①の解が2つも整数になる確率は ソ  である。

 (5) 310=10xとなるxは タ  である。よって、310 チ  桁の10進数
    である。同様の考え方で510を9進数で表すと、 ツ  桁である。ただし、
    log103=0.4771、log105=0.6990とする。





2016京都薬科大 数学2



第2問

  次の    にあてはまる数または式を解答欄に記入せよ。

  3次関数y=f(x)=x2(x-3)で与えられる曲線をCとする。

 (1) 関数y=f(x)は、x= ア  のとき極大値 イ  をとる。また、
    x= ウ  のとき極小値 エ  をとる。

 (2) 点(1,-2)における曲線Cの接線Lの方程式はy= オ  である。

 (3) (1)の ア  から エ  で表される2点( ア  イ  )、
    ( ウ  エ  )が2次関数y=x2+px+qで与えられる放物線C’
    上にあるとき、、p= カ  、q= キ  である。

 (4) (2)で求めた接線Lと(3)で求めた放物線C’で囲まれた部分の
    面積は ク  である。




2016京都薬科大 数学3



第3問

  次の    にあてはまる式を解答欄に記入せよ。

  空間の異なる3点O、A、Bに対して、 とおく。線分ABを
  k:Lに内分する点をCとおくと、
          = ア  +  イ 
  と表される。また、線分ABをm:n (m>n)に外分する点をDとおくと
          = ウ  +  エ 
  と表される。さらに、pm-qn≠0を満たす正の数p、qについて、
   をみたす2点A’、B’をとり、直線OC、ODがそれぞれ直線A’B’
  と交わる点をC’、D’とおくと、 はそれぞれ
        = オ  +  カ  、  = キ  +  ク 
  と表される。よって、C’は線分A’B’を ケ  コ  に内分する点で、
  D’は線分A’B’を サ  シ  に外分する点である。
  ここで、点Cが線分ABを内分する比の値 と、点Dが線分ABを外分する
  比の値 について、これら2つの比の商を 
         
  とおくとき、点C’が線分A’B’を内分する比の値と点D’が線分A’B’を
  外分する比の値の商 は、k、L、m、nを用いると ス 
  表せる。




2016京都薬科大 数学4



第4問

  次の    にあてはまる式を解答欄に記入せよ。


 (1) 1から6までの数字が1つずつ書かれた赤球が6個入った袋Aと、
    1から6までの数字が1つずつ書かれた白球が6個入った袋Bが
    ある。それぞれの袋から無作為に1個ずつ球を取り出し、それら
    の球に書かれた数の合計がkとなる場合の数をf(k)で表す。
    このとき、xy平面上に(k,f(k))は、直線x= ア  に関して対称
    な2直線上に並び、これら2直線とx軸で囲まれた部分の面積は
     イ  である。

 (2) Nを2以上の整数とする。1からNまでの数字が1つずつ書かれた
    赤球がN個入った袋Aと、1からNまでの数字が1つずつ書かれた
    白球がN個入った袋Bがある。それぞれの袋から無作為に1個ず
    つ球を取り出し、それらの球に書かれた数の合計がLとなる場合
    の数をg(L)で表す。このとき、xy平面上に(L,g(L))は、直線x=
     イ  に関して対称な2直線上に並び、これら2直線とx軸で囲ま
    れた部分の面積は エ  である。

 (3) Nを2以上の整数とする。1からNまでの数字が1つずつ書かれた
    赤球がN個と、1からNまでの数字が1つずつ書かれた白球がN個
    入った袋Aと、1から2Nまでの数字が1つずつ書かれた青球が2N
    個入った袋Bがある。それぞれの袋から無作為に1個ずつ球を取
    り出し、それらの球に書かれた数の合計がmとなる場合の数を
    h(m)で表す。このとき、xy平面上に(m,h(m))が並ぶ直線の方
    程式は以下のようになる。
       2≦m≦ オ  の(m,h(m))について、 y= カ 
        オ  ≦m≦ キ  の(m,h(m))について、 y= ク 
        キ  ≦m≦ ケ  の(m,h(m))について、 y= コ 
   これら3直線とx軸で囲まれた部分の面積は サ  である。