青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の私立大学　.立命館大　理系　2016(2/3)

2016立命館大　理系（2月3日）　数学１

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ア 1　　　　イ 3　　　　ウ 2　　　　エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$　　　　オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$　　　　カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$

　　キ (0，3，0)　　　　ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+\left(y-6\right)^2+z^2=9\end{align*}}$　　　　ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+\left(y-3\right)^2+z^2=\frac{9}{4}\end{align*}}$　

　　コ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{27}{8}\end{align*}}$　　　　サ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(0\ ,\ \frac{27}{8}\ ,\ 0\right)\end{align*}}$　　　　シ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{8}\sqrt{15}\end{align*}}$　　　　ス $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(0\ ,\ \frac{23}{7}\ ,\ 0\right)\end{align*}}$

　　セ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{7}\sqrt{5}\end{align*}}$　　　
　

【解説】

　アイ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AQ}|=3\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf \left|\overrightarrow{\sf q}-\overrightarrow{\sf a}\right|=3}\end{align*}}$

　ウ
　　　PはOQの中点なので
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OQ}\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf q}=\underline{\sf 2\overrightarrow{\sf p}}\end{align*}}$

　エオカキ
　　　ウの式をアイの式に代入すると
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|2\overrightarrow{\sf p}-\overrightarrow{\sf a}\right|=3\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf \left|\overrightarrow{\sf p}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf a}\right|=\frac{3}{2}}\end{align*}}$
　　　となるので、点Pが動く球面の半径は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \frac{3}{2}}\end{align*}}$ であり、
　　　中心はOAの中点なので(0，3，0)である。

　ク
　　　S₁は中心(0，6，0)、半径3の球なので
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf x^2+\left(y-6\right)^2+z^2=9}\end{align*}}$

　ケ
　　　S₂は中心(0，3，0)、半径 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$ の球なので
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf x^2+\left(y-3\right)^2+z^2=\frac{9}{4}}\end{align*}}$

　コ
　　　クケの2式を辺々引くと
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(y-6\right)^2+\left(y-3\right)^2=9-\frac{9}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf y=\frac{27}{8}}\end{align*}}$

　サ
　　　S₁、S₂の中心はともにy軸上にあるので、C₁の中心もy軸上にある。
　　　よって、コより、C₁の中心は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \left(0\ ,\ \frac{27}{8}\ ,\ 0\right)}\end{align*}}$

　シ
　　　C₁の中心をB、C₁上の点をTとおくと、△TBAは直角三角形なので、
　　　C₁の半径は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BT=\sqrt{3^2-\left(6-\frac{27}{8}\right)^2}=\underline{\sf \frac{3}{8}\sqrt{15}}\end{align*}}$

　ス
　　　Vは線分UQの中点なので
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OV}=\frac{\overrightarrow{\sf OU}+\overrightarrow{\sf q}}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf q}=2\overrightarrow{\sf OV}-\overrightarrow{\sf OU}\end{align*}}$
　　　であり、QはS₁上の点なので
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|2\overrightarrow{\sf OV}-\overrightarrow{\sf OU}-\overrightarrow{\sf a}\right|=3\ \ \Leftrightarrow\ \ \left|\overrightarrow{\sf OV}-\frac{\overrightarrow{\sf OU}+\overrightarrow{\sf OA}}{2}\right|=\frac{3}{2}\end{align*}}$
　　　よって、S₃の半径は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$ 、中心はAUの中点 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(0\ ,\ \frac{5}{2}\ ,\ 0\right)\end{align*}}$ なので、
　　　S₃の方程式は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+\left(y-\frac{5}{2}\right)^2+z^2=\frac{9}{4}\end{align*}}$
　　　この式とS₁の式を辺々引くと
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(y-6\right)^2-\left(y-\frac{5}{2}\right)^2=9-\frac{4}{9}\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{23}{7}\end{align*}}$
　　　となるので、サと同様に考えると、C₂の中心の座標は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \left(0\ ,\ \frac{23}{7}\ ,\ 0\right)}\end{align*}}$

　セ
　　　C₂の半径はシと同様に考えると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BT=\sqrt{3^2-\left(6-\frac{23}{7}\right)^2}=\underline{\sf \frac{4}{7}\sqrt{5}}\end{align*}}$

　　コが山場でしょうか。　　

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2018/12/04(火) 04:01:00|

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2016立命館大　理系（2月3日）　数学２

　　　　　

解答はこちら↓

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【解答】

　　ソ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{5}{2}\end{align*}}$　　　　タ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{2}\end{align*}}$　　　　チ -2　　　　ツ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf e^{-2}x+\frac{5}{2}\left(1-e^{-2}\right)\end{align*}}$

　　テ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\left(1-e^{-2}\right)x+\frac{5}{4}\left(1+e^{-2}\right)\end{align*}}$　　　ト $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf e^{-2}y\end{align*}}$　　　　ナ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\left(1-e^{2}\right)y\end{align*}}$　

　　ニ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{2\left(e^{2}+1\right)}\end{align*}}$　　　
　

【解説】

　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (t)=ae^{ct}+b\ \ ,\ \ f\ '(t)=ace^{ct}\end{align*}}$

　(1)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(t)+2f\ (t)=ace^{ct}+2\left(ae^{ct}+b\right)=5\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a\left(c+2\right)e^{ct}+2b-5=0\end{align*}}$
　　　これが任意のtに対して成り立つので、a≠0より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a\left(c+2\right)=2b-5=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf b=\frac{5}{2}\ ,\ c=-2}\end{align*}}$
　　　また、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (0)=a+b=0\ \ \Leftrightarrow\ \ a=-b=\underline{\sf -\frac{5}{2}}\end{align*}}$

　(2)
　　　(1)と同様
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(t)+2f\ (t)=5\ \ \Leftrightarrow\ \ b=\frac{5}{2}\ ,\ c=-2\end{align*}}$
　　　であり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (0)=a+b=x\ \ \Leftrightarrow\ \ a=x-\frac{5}{2}\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (t)=\left(x-\frac{5}{2}\right)e^{-2t}+\frac{5}{2}\end{align*}}$ ．
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (1)=\left(x-\frac{5}{2}\right)e^{-2}+\frac{5}{2}=\underline{\sf e^{-2}x+\frac{5}{2}\left(1-e^{-2}\right)}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^1f\ (t)\ dt&=\sf \int_0^1\left\{\left(x-\frac{5}{2}\right)e^{-2t}+\frac{5}{2}\right\}dt\\ &=\sf \left[-\frac{1}{2}\left(x-\frac{5}{2}\right)e^{-2t}+\frac{5}{2}t\right]_0^1\\ &=\sf \underline{\sf \frac{1}{2}\left(1-e^{-2}\right)x+\frac{5}{4}\left(1+e^{-2}\right)}\end{align*}}$

　(3)
　　　(1)(2)と同様
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(t)+2f\ (t)=a\left(c+2\right)e^{ct}+2b=0\ \ \Leftrightarrow\ \ b=0\ ,\ c=-2\end{align*}}$
　　　であり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (0)=a+b=y\ \ \Leftrightarrow\ \ a=y\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (t)=ye^{-2t}\end{align*}}$ ．
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (1)=ye^{-2}=\underline{\sf e^{-2}y}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1f\ (t)\ dt=\sf \int_0^1\left\{ye^{-2t}\right\}dt= \left[-\frac{1}{2}ye^{-2t}t\right]_0^1= \underline{\sf \frac{1}{2}\left(1-e^{-2}\right)y}\end{align*}}$

　(4)
　　　(2)(3)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=e^{-2}x+\frac{5}{2}\left(1-e^{-2}\right)\ \ ,\ \ h\ (y)=e^{-2}y\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf d_{n+1}&=\sf h\left(g (d_n)\right)\\ &=\sf e^{-2}\ g(d_n)\\ &=\sf e^{-2}\left\{e^{-2}d_n+\frac{5}{2}\left(1-e^{-2}\right)\right\}\\ &=\sf e^{-4}d_n+\frac{5}{2}e^{-2}\left(1-e^{-2}\right)\ \ \ \ \ldots\ldots\ldots (*)\end{align*}}$
　　　ここで、pについての方程式
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=e^{-4}p+\frac{5}{2}e^{-2}\left(1-e^{-2}\right)\end{align*}}$
　　　を解くと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\frac{5e^{-2}\left(1-e^{-2}\right)}{2\left(1-e^{-4}\right)}=\frac{5\left(1-e^{-2}\right)}{2e^2\left(1-e^{-2}\right)\left(1+e^{-2}\right)}=\frac{5}{2\left(e^2+1\right)}\end{align*}}$
　　　なので、(*)は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d_{n+1}-p=e^{-4}\left(d_n-p\right)\end{align*}}$
　　　と変形でき、数列{d_n-p}は等比数列をなす。
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d_n-p=\left(e^{-4}\right)^{n-1}\left(d_1-p\right)=-p\left(e^{-4}\right)^{n-1}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ d_n=p-p\left(e^{-4}\right)^{n-1}\end{align*}}$
　　　0＜e^-4＜1なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}d_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{p-p\left(e^{-4}\right)^{n-1}\right\}=p=\underline{\sf \frac{5}{2\left(e^2+1\right)}}\end{align*}}$

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2018/12/04(火) 04:02:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.立命館大　理系　2016(2/3)

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2016立命館大　理系（2月3日）　数学３

　　　　

解答はこちら↓

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【解答】

　　ヌ 1　　　　ネ -7　　　　ノ -24　　　　ハ 3　　　　ヒ +

　　フ -　　　　ヘ 12　　　　ホ 54　　　　マ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt5\end{align*}}$　　　　ミ 10

　　ム $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\left(\sqrt5\right)^n\end{align*}}$　　　　メ 5ⁿ　
　

【解説】

　　　　以下、複素数zの実部および虚部をそれぞれ、Re(z)、Im(z)と表す。

　ヌ
　　　$\scriptsize\sf{\sf Re(\alpha)=1\gt 0\ ,\ \ Im(\alpha)=2\gt 0}$ より、$\scriptsize\sf{\alpha}$ は第1象限にあるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\theta<\frac{\pi}{2}\end{align*}}$

　ネノハ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha^4=\left(1+2i\right)^4=\left(-3+4i\right)^2=\underline{\sf -7-24i}\end{align*}}$
　　　より、$\scriptsize\sf{\sf Re(\alpha^4)\lt 0\ ,\ \ Im(\alpha^4)\lt 0}$なので、$\scriptsize\sf{\alpha^4}$ は第3象限にある。
　　　ヌより、$\scriptsize\sf{\sf 0\lt 4\theta\lt 2\pi}$ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \pi\lt arg \alpha^4<\frac{3}{2}\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf \left(3-1\right)\cdot\frac{\pi}{2}<4\theta<3\cdot\frac{3}{2}}\end{align*}}$

　ヒフヘホ
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha^{16}=\left(-7-24i\right)^4=\left(-527+336i\right)^2=527^2-336^2-2\cdot 527\cdot 336\ i\end{align*}}$
　　　より、$\scriptsize\sf{\sf Re(\alpha^{16}\gt 0\ ,\ \ Im(\alpha^{16}\lt 0}$ なので、$\scriptsize\sf{\alpha^{16}}$ は第4象限にある。
　　　ハより、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \pi<4\theta <\frac{3}{2}\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ 4\pi< 16\theta <6\pi\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 4\pi+\frac{3}{2}\pi\lt arg \alpha^{16}<4\pi +2\pi&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \underline{\sf \left(12-1\right)\cdot\frac{\pi}{2}<16\theta<12\cdot\frac{\pi}{2}}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \frac{11}{32}\pi<\theta<\frac{3}{8}\pi\end{align*}}$
　　　よって、$\scriptsize\sf{m\theta\gt 20\pi}$ を満たす最小の自然数mについて
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{11}{32}\left(m-1\right)\pi<\left(m-1\right)\theta<20\pi\lt m\theta<\frac{3}{8}m\pi\end{align*}}$
　　　が成り立つので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{11}{32}\left(m-1\right)\pi<20\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ m<\frac{651}{11}=59.\ldots\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 20\pi<\frac{3}{8}m\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ m>\frac{160}{3}=53.\ldots\end{align*}}$
　　　よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf 54\leqq m\leqq 54+5}\end{align*}}$

　マミム
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha=1+2i=\sqrt5\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\ \ \ \ \left(\cos\theta=\frac{1}{\sqrt5}\ ,\ \sin\theta=\frac{2}{\sqrt5}\right)\end{align*}}$
　　　より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OP_n=\left|\alpha^n\right|=\left|\alpha\right|^n=\left(\sqrt5\right)^n\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OP_{n+1}=\left(\sqrt5\right)^{n+1}\end{align*}}$
　　　△OP_nP_n+1に余弦定理を用いると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_nP_{n+1}^{\ 2}&=\sf \left\{\left(\sqrt5\right)^{n}\right\}^2+\left\{\left(\sqrt5\right)^{n+1}\right\}^2-2\cdot\left(\sqrt5\right)^{n}\cdot\left(\sqrt5\right)^{n+1}\cdot\frac{1}{\sqrt5}\\ &=\sf 5^n+5^{n+1}-2\cdot 5^n\\ &=\sf 4\cdot 5^n\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ P_nP_{n+1}=\underline{\sf 2\left(\sqrt5\right)^n}\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_1P_2=\underline{\sf 2\sqrt5}\ \ ,\ \ P_2P_3=2\cdot\sqrt5^2=\underline{\sf 10}\end{align*}}$

　メ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OP_nP_{n+1}=\frac{1}{2}\cdot\left(\sqrt5\right)^{n}\cdot\left(\sqrt5\right)^{n+1}\cdot\frac{2}{\sqrt5}=\underline{\sf 5^n}\end{align*}}$

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2018/12/04(火) 04:03:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.立命館大　理系　2016(2/3)

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2016立命館大　理系（2月3日）　数学４

　　　　

解答はこちら↓

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【解答】

　　モ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\end{align*}}$　　　　ヤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{6}\end{align*}}$　　　　ユ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{6}\end{align*}}$　　　　ヨ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{27}\end{align*}}$　　　ラ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{35}{54}\end{align*}}$

　　リ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{18}\end{align*}}$　　　　ル $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\end{align*}}$　　　　レ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{-k^2+6k+3}{18}\end{align*}}$　　　
　

【解説】

　　　　以下、[裏のカードの枚数，表のカードの枚数] のように表す。

　モヤ
　　　m=0からm=4までの裏・表のカードの枚数の変化を表すと、
　　　下図のようになる。
　　　　　　　赤の矢印・・・・表の数が出たときの変化
　　　　　　　青の矢印・・・・裏の数が出たときの変化
　　　であり、矢印の上の数はその確率を表している。

　　　　　　

　　　これより、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{2,0}=\frac{6}{6}\cdot\frac{1}{6}=\underline{\sf \frac{1}{6}}\ \ ,\ \ P_{2,2}=\frac{6}{6}\cdot\frac{5}{6}=\underline{\sf \frac{5}{6}}\end{align*}}$

　ユ
　　　　m=2からm=4の2回の試行で[0，6]から[2，4]へと変化する確率は、
　　　　m=0からm=2の2回の試行で[0，6]から[2，4]へと変化する確率、
　　　　すなわちP_2,2に等しいので、求める確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \frac{5}{6}}\end{align*}}$

　ヨラリ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{4,0}=P_{2,2}\cdot\frac{2}{6}\cdot\frac{1}{6}+P_{2,0}\cdot\frac{6}{6}\cdot\frac{1}{6}=\underline{\sf \frac{2}{27}}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{4,2}=P_{2,2}\cdot\frac{4}{6}\cdot\frac{3}{6}+P_{2,2}\cdot\frac{2}{6}\cdot\frac{5}{6}+P_{2,0}\cdot\frac{6}{6}\cdot\frac{5}{6}=\underline{\sf \frac{35}{54}}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{4,4}=P_{2,2}\cdot\frac{4}{6}\cdot\frac{3}{6}=\underline{\sf \frac{5}{18}}\end{align*}}$

　ル
　　　P_2,0と等しいので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \frac{1}{6}}\end{align*}}$

　レ
　　　mからm+4までの裏・表のカードの枚数の変化を表すと、下図のようになる。

　　　　　　　　　　

　　　よって、求める確率は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6-k}{6}\cdot\frac{k+1}{6}+\frac{k}{6}\cdot\frac{7-k}{6}=\underline{\sf \frac{-k^2+6k+3}{18}}\end{align*}}$

　　状況をうまく整理しましょう。　　

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2018/12/04(火) 04:04:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.立命館大　理系　2016(2/3)

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