青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の私立大学　.立命館大　理系　2016(2/2)

2016立命館大　理系（2月2日）　数学１

第１問

　　　　　

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ア $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\sqrt{4-a^2}\end{align*}}$　　　　イ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{4-a^2}\end{align*}}$　　　　ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt{4-a^2}}{2}\end{align*}}$　　　　エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{2}\end{align*}}$　　　オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\sqrt{4-a^2}}{a}\end{align*}}$

　　カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{a}\end{align*}}$　　　　キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\sqrt{4-a^2}}{2}\end{align*}}$　　　　ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{2}\end{align*}}$　　　　ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt{4-a^2}}{a}\end{align*}}$　　　　コ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{a}\end{align*}}$

　　サ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\sqrt{4-a^2}\lt t<\sqrt{4-a^2}\end{align*}}$　　　　シ 4　　　　ス 1　　　　セ a-1　　
　

【解説】

　アイ
　　　　2円が共有点をもつとき、「半径の差≦中心間の距離≦半径の和」が
　　　　成り立つので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\leqq \sqrt{t^2+a^2}\leqq 2&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 0\leqq t^2+a^2\leqq 4\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \underline{\sf -\sqrt{4-a^2}\leqq t\leqq \sqrt{4-a^2}}\end{align*}}$

　　ウ～コ
　　　　2円が接するのは「中心間の距離=半径の和」が成り立つときなので、
　　　　アイと同様に考えると、
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\pm\sqrt{4-a^2}\end{align*}}$
　　　　2円の半径が等しいので、接点は2つの中心の中点となる。
　　　　よって、接点の座標は
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{t+0}{2},\frac{a+0}{2}\right)=\underline{\sf \left(\pm\frac{\sqrt{4-a^2}}{2},\frac{a}{2}\right)}\end{align*}}$
　　　　であり、接線の方程式は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \pm\frac{\sqrt{4-a^2}}{2}x+\frac{a}{2}y=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf y=\mp\frac{\sqrt{4-a^2}}{a}x+\frac{2}{a}}\end{align*}}$　　（複号同順）

　サ
　　　　2円が異なる2つの共有点を共有点をもつのは、
　　　　「半径の差＜中心間の距離＜半径の和」が成り立つときなので、
　　　　アイと同様に考えると、
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf -\sqrt{4-a^2}\lt t<\sqrt{4-a^2}}\end{align*}}$
　　
　シス
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+y^2=1\end{align*}}$　　・・・・・・(#)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(x-t\right)^2+\left(y-a\right)^2=x^2+y^2-2tx-2ay+t^2+a^2=1\end{align*}}$
　　　これら2式の差をとると
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -2tx-2ay+t^2+a^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{-2ay+t^2+a^2}{2t}\end{align*}}$
　　　(#)に代入
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{-2ay+t^2+a^2}{2t}\right)^2+y^2=1\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4\left(a^2+t^2\right)y^2-4a\left(a^2+t^2\right)y+\left(a^2+t^2\right)^2-4t^2=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y&=\sf \frac{2a\left(a^2+t^2\right)\pm\sqrt{4a^2\left(a^2+t^2\right)^2-4\left(a^2+t^2\right)^3+16\left(a^2+t^2\right)t^2}}{4\left(a^2+t^2\right)}\\ &=\sf \frac{a}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{a^2-\left(a^2+t^2\right)+\frac{4t^2}{a^2+t^2}}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{a}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{\frac{4t^2}{a^2+t^2}-t^2}}\end{align*}}$

　セ
　　　相加・相乗平均の関係を用いて
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y_2&=\sf \frac{a}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{4-\frac{4a^2}{a^2+t^2}-t^2}\\ &=\sf \frac{a}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{-\left(\frac{4a^2}{a^2+t^2}+a^2+t^2\right)+a^2+4}\\ &\geqq \sf \frac{a}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{-2\sqrt{\frac{4a^2}{a^2+t^2}\cdot\left(a^2+t^2\right)}+a^2+4}\\ &=\sf \frac{a}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{-4a+a^2+4}\\ &=\sf \frac{a}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{\left(2-a\right)^2}\\ &=\sf \frac{a}{2}-\frac{1}{2}\left(2-a\right)\ \ \ \ \left(\because\ a<2\right)\\ &=\sf \underline{\sf a-1}\end{align*}}$

　　係数の空欄に1が入るのは何かイヤですね・・・・
　　最後のセが難しいので捨てましょうｗｗｗ　　

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2018/12/04(火) 02:05:00|

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2016立命館大　理系（2月2日）　数学２

第２問

　　　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ソ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4b}{e^2}\end{align*}}$　　　　タ 2　　　　チ 4b　　　　ツ 4b　　　テ -4b

　　ト 1　　　　ナ 0　　　　ニ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4b\left(e^2-1\right)}{e^2}\end{align*}}$　　　　ヌ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{8b}{3}\end{align*}}$　　　　ネ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4d}{e^2}\end{align*}}$

　　ノ 4d　　　　ハ 2　　　　ヒ 0　　　フ 1

　

【解説】

　タチ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C_1:\ y=f\ (x)=ae^x\ \ ,\ \ C_2:\ y=g\ (x)=bx^2\end{align*}}$
　　　とおくと、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=ae^x\ \ ,\ \ g\ '(x)=2bx\end{align*}}$ ．

　　　C₁とC₂の接点のx座標をtとおくと
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (t)=g\ (t)\ \ \Leftrightarrow\ \ ae^t=bt^2\end{align*}}$　　　・・・・・・①
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(t)=g\ '(t)\ \ \Leftrightarrow\ \ ae^t=2bt\end{align*}}$
　　　これら2式を連立させると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf bt^2=2bt\ \ \Leftrightarrow\ \ t=0\ ,\ 2\end{align*}}$
　　　t=0は①を満たさないので、t=2である。
　　　よって、接点の座標は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(2\ ,\ g\ (2)\right)=\underline{\sf \left(2\ ,\ 4b\right)}\end{align*}}$

　ソ
　　　t=2と①より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ae^2=4b\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\underline{\sf \frac{4b}{e^2}}\end{align*}}$

　ツテ
　　　接線L₁の方程式は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-4b=4b\left(x-2\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\underline{\sf 4bx-4b}\end{align*}}$

　トナ
　　　L₁の式は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4b\left(x-1\right)-y=0\end{align*}}$
　　　と変形できるので、bの値によらず定点(1，0)を通る。

　ニヌ
　　　a、b＞0より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(x)=ae^x>0\ \ ,\ \ g\ ''(x)=2b>0\end{align*}}$
　　　なので、C₁、C₂ともに下に凸な曲線である。よって、C₁、C₂はともに
　　　接線L₁の上側にあるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_1&=\sf \int_0^2\bigg\{\frac{4b}{e^2}e^x-4b\left(x-1\right)\bigg\}dx\\ &=\sf \bigg[\frac{4b}{e^2}e^x-2b\left(x-1\right)^2\bigg]_0^2\\ &=\sf \underline{\sf \frac{4b\left(e^2-1\right)}{e^2}}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_2&=\sf \int_0^2\bigg\{bx^2-4b\left(x-1\right)\bigg\}dx\\ &=\sf \bigg[\frac{b}{3}x^3-2b\left(x-1\right)^2\bigg]_0^2\\ &=\sf \underline{\sf \frac{8b}{3}}\end{align*}}$

　ネ～フ
　　　直線y=xに関してC₃、C₄と対称な曲線をそれぞれD₃、D₄とすると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D_3:\ x=\log\frac{y}{c}\ \ \Leftrightarrow\ \ y=ce^x\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D_4:\ y=dx^2\end{align*}}$
　　　C₃とC₄が、ある共有点で共通の接線L₂をもつとき、
　　　D₃とD₄も、ある共有点で共通の接線（m₂とする）をもつことになる。
　　　よって、[1]と同じように考えると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c=\underline{\sf \frac{4d}{e^2}}\end{align*}}$
　　　が成り立つ。
　　　このとき、[1]と同様、D₃とD₄の接点の座標は(2，4d)となり、
　　　m₂はdの値によらず定点(1，0)を通る。
　　　C₃、C₄は直線y=xについてそれぞれD₃、D₄と対称なので、
　　　C₃とC₄の接点の座標は(4d，2)となり、接線L₂はdの値によらず
　　　定点(0，1)を通る。

　　ネ～フは[1]の結果をうまく使いましょう。　　

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2018/12/04(火) 02:06:00|

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2016立命館大　理系（2月2日）　数学３

第３問

　　　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ヘ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4^n}\end{align*}}$　　　　ホ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\left\{1-\left(\frac{1}{4}\right)^n\right\}\end{align*}}$　　　　マ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{n\left(n+1\right)}\end{align*}}$　　　　ミ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2n}{n+1}\end{align*}}$　　　ム n

　　メ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}\end{align*}}$　　　　モ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\end{align*}}$　　　　ヤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{24}n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(3n+1\right)\end{align*}}$　　　　
　

【解説】

　ヘ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_n=\frac{1}{\left(b_n\right)^2}=\frac{1}{\left(2^n\right)^2}=\underline{\sf \frac{1}{4^n}}\end{align*}}$

　ホ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^nc_k=\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{4}\right)^k=\frac{\frac{1}{4}\left\{1-\left(\frac{1}{4}\right)^n\right\}}{1-\frac{1}{4}}=\underline{\sf \frac{1}{3}\left\{1-\left(\frac{1}{4}\right)^n\right\}}\end{align*}}$

　マ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=\sum_{k=1}^nk=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_n=\frac{1}{b_n}=\underline{\sf \frac{2}{n\left(n+1\right)}}\end{align*}}$

　　ミ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^nc_k&=\sf \sum_{k=1}^n\frac{2}{k\left(k+1\right)}\\ &=\sf 2\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\\ &=\sf 2\bigg\{\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\ldots +\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\bigg\}\\ &=\sf 2\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{n+1}\right)\\ &=\sf \underline{\sf \frac{2n}{n+1}}\end{align*}}$

　ム
　　　題意よりb_k=nとなるのは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n-1}\lt m\leqq a_n\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\left(n-1\right)n}{2}\lt k\leqq \frac{n\left(n+1\right)}{2}\end{align*}}$　　・・・・・・(#)
　　　のときなので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{\frac{n\left(n+1\right)}{2}}=\underline{\sf n}\end{align*}}$

　メ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{\frac{n\left(n+1\right)}{2}+1}=n+1\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_{\frac{n\left(n+1\right)}{2}+1}=a_{n+1}=\underline{\sf \frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}}\end{align*}}$

　モ
　　　(#)より、数列{b_n}を次のような群に分けると
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\ \bigg|\ 2\ 2\bigg|\ 3\ 3\ 3\ \bigg|\ 4\ 4\ 4\ 4\ \bigg|\ 5\ \ldots\end{align*}}$
　　　第k群にはkがk個含まれるので
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\frac{n\left(n+1\right)}{2}} b_k=\sum_{k=1}^nk^2=\underline{\sf \frac{1}{6}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}\end{align*}}$

　ヤ
　　　(#)より、数列{c_n}を次のような群に分けると
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_1\ \bigg|\ a_2\ a_2\bigg|\ a_3\ a_3\ a_3\ \bigg|\ a_4\ a_4\ a_4\ a_4\ \bigg|\ a_5\ \ldots\end{align*}}$
　　　第k群にはa_kがk個含まれるので
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^{\frac{n\left(n+1\right)}{2}} c_k&=\sf \sum_{k=1}^nk\ a_k\\ &=\sf \sum_{k=1}^n\frac{k^2\left(k+1\right)}{2}\\ &=\sf \frac{1}{2}\left\{\frac{1}{4}n^2\left(n+1\right)^2+\frac{1}{6}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\right\}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{1}{24}n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(3n+1\right)}\end{align*}}$

　　[3]は問題の意味を理解できますか？？？　　

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2018/12/04(火) 02:07:00|

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2016立命館大　理系（2月2日）　数学４

第４問

　　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ユ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7}{12}\end{align*}}$　　　　ヨ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$　　　　ラ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}\end{align*}}$　　　　リ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\left(\frac{5}{6}\right)^n\end{align*}}$　　　ル $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{25}\left(\frac{5}{6}\right)^n\left(\frac{4}{5}\right)^{k-1}\end{align*}}$

　　レ 1　　　　ロ n-1　　　　ワ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\left\{\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}-\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\right\}\end{align*}}$　　　　
　

【解説】

　ユ
　　　1回目の目の数をx、2回目の目の数をyとおくと、
　　　x、By目の出方の総数は6²=36通り。
　　　そのうち
　　　　　　x=yとなるのは6通り
　　　　　　残りのx≠yとなる30通りのうち、
　　　　　　x＞yとなるものとx＜yとなるものはそれぞれ15通りずつあるので、
　　　x≦yとなる確率は
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6+15}{36}=\underline{\sf \frac{7}{12}}\end{align*}}$

　ヨ
　　　x≦yとなる事象をA、yがxで割り切れるという事象をBとおくと
　　　A∩Bとなるx、yの組は、
　　　　　(x，y)=(1，1)、(1，2)、(1，3)、(1，4)、(1，5)、(1，6)
　　　　　　　　　　(2，2)、(2，4)、(2，6)、(3，3)、(3，6)
　　　　　　　　　　(4，4)、(5，5)、(6，6)
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{\frac{14}{36}}{\frac{7}{12}}=\underline{\sf \frac{2}{3}}\end{align*}}$

　ラ
　　　1～n-1回目に1以外の目が出て、n回目に1の目が出ればよいので、
　　　その確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \frac{1}{6}\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}}\end{align*}}$

　リ
　　　余事象は、n回とも1以外の目が出ることなので、求める確率は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf 1-\left(\frac{5}{6}\right)^n}\end{align*}}$

　ル
　　　k回目に初めて1が出て、n回目に初めて6が出る場合
　　　　　　1～k-1回目は1、6以外の目
　　　　　　k回目は1の目
　　　　　　k+1～n-1回目は6以外の目
　　　　　　n回目は6の目
　　　のように出ればよいので、その確率は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{4}{6}\right)^{k-1}\cdot\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{n-k-1}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{25}\left(\frac{5}{6}\right)^n\left(\frac{4}{5}\right)^{k-1}\end{align*}}$
　　　k回目に初めて6が出て、n回目に初めて1が出る場合も同様なので、
　　　求める確率は
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf \frac{2}{25}\left(\frac{5}{6}\right)^n\left(\frac{4}{5}\right)^{k-1}}\end{align*}}$

　ワ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^{n-1}\frac{2}{25}\left(\frac{5}{6}\right)^n\left(\frac{4}{5}\right)^{k-1}&=\sf \frac{2}{25}\left(\frac{5}{6}\right)^n\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{4}{5}\right)^{k-1}\\ &=\sf \frac{2}{25}\left(\frac{5}{6}\right)^n\cdot\frac{1-\left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}}{1-\frac{4}{5}}\\ &=\sf \underline{\sf \frac{1}{3}\left\{\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}-\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\right\}}\end{align*}}$

　　これはそれほど難しくありません。　　

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2018/12/04(火) 02:08:00|

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