青木ゼミ青木大学入試(数学)　.センター試験　ⅡB　2011

2011　センター試験　数学ⅡB　１[１]

さて、今日から冬期講座も再開です。
うーーん、やはり受験生以外はみんな少しボケてますね････

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2012/01/05(木) 23:54:00|

大学入試(数学)　.センター試験　ⅡB　2011

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2011　センター試験　数学ⅡB　１[２]

先ほどの続きです。

　　　　　　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　[２]
　　　　まず、　
　　　　　　　 $\rm \log_2 \sqrt x=\frac{1}{2}\log _2x=\frac{1}{2}X$
　　　　　　　 $\rm \log_4 x=\frac{\log_2 x}{\log _2 4}=\frac{1}{2}X$
　　　　より、①は
　　　　　　　　 $\rm 12\left(\frac{1}{2}X\right)^2-7\cdot \frac{1}{2}X-10>0$
　　　　　　⇔　6X²－7X－20＞０　･･････チツテ
　　　　　　⇔　(2X－5)(3X＋4)＞０
　　　　よって、
　　　　　　　　 $\rm -\frac{4}{3} < X\ ,\ \frac{5}{2}<X$ 　･･････トナニヌ
　　　　ここで、ｘは自然数なので、
　　　　　　　ｘ≧１　⇔　X＝log₂ｘ≧０
　　　　よって、
　　　　　　　 $\rm X=\log _2 x>\frac{5}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ x>\sqrt32$
　　　　これを満たす最小の自然数はｘ＝６　･････ネ

　　　　②について、
　　　　ｘは自然数なので、log₃ｘ＞０
　　　　よって、ｘ＜14
　　　　また、ノハは２桁なので(笑)、10≦ｘ≦13
　　　　ここで、
　　　　　　２＝log₃９　、　３＝log₃27
　　　　より、　
　　　　　　２＜log₃ｘ＜３
　　　　となるので、
　　　　　　ｘ＝14－log₃ｘ
　　　　を満たす最大の自然数は、ｘ＝11　･････ノハ

　　　　最後のノハはインチキしましたが、マジメに解くのであれば、
　　　　ｘ＝13、ｘ＝12、ｘ＝11、････と順に代入していけばＯＫでしょう。　

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2012/01/05(木) 23:57:00|

大学入試(数学)　.センター試験　ⅡB　2011

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2011　センター試験　数学ⅡB　２

眠い眠い眠い眠いｚｚｚｚ
おやすみなさい。

　　　　　　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　
　　　　ｙ’＝２ｘより、求める接線は
　　　　　　ｙ－ａ²＝２ａ(ｘ－ａ)　⇔　ｙ＝２ａｘ－ａ²　･･････アイウ
　　　　ｙ＝０を代入すると、
　　　　　　 $\rm Q(x,y)=\left(\frac{a}{2}\ ,\ 0\right)$ 　･･････エオカ

　　　　ア～カは、結果を知っている人も多いと思いますが････
　　　　
　　　　Ｓは、世に言うところの「12分の１公式」ってヤツで答えのみ。
　　　　　　 $\rm S=\frac{a^3}{12}$ 　･･････キクケ
　　　　Ｔは「3分の1公式」ってヤツでこれまた答えのみ。
　　　　　　 $\rm T=\frac{1}{3}(2-a)^3=-\frac{a^3}{3}+2a^2-4a+\frac{8}{3}$ 　･･････コサシスセ

　　　　どちらも有名な公式ですよね。まぁ知らない人のために下に書いておきますので、
　　　　ぜひ覚えてください。センター数学における必須テクニックです。　

　　　　よって、
　　　　　　 $\rm U=S+T=-\frac{a^3}{4}+2a^2-4a+\frac{8}{3}$ 　　　　　
　　　　ａで微分すると、
　　　　　　 $\rm U\ '=-\frac{3}{4}a^2+4a-4=-\frac{1}{4}(3a-4)(a-4)$ 　　　　　
　
　　　　増減表を書かなくても、最小値の方は穴の形で決まりますね。
　　　　最大値は、ａ＝０かａ＝２のときでしょうが、わざわざ計算しなくても
　　　　右図で見ると、ａ＝０のときの方が大きいことは明らかです。　
　　　　とまぁ、第２問はせいぜい５分ぐらいでクリアですね！　
　　　　
　　　　　　最大値
　　　　　　　　 $\rm U_{max}=\frac{8}{3}\ \ (a=0)$ 　･･････ソタチ
　　　　　　最小値
　　　　　　　　 $\rm U_{min}=\frac{8}{27}\ \ \left(a=\frac{4}{3}\right)$ 　･･････ツテトナニ　

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【おまけ】
　　
　　放物線と直線で囲まれた面積に関する有名公式を３つほど挙げておきます。
　　ａの符号や、ｐとｑの大小関係がありますが、まぁ、面積ですので、
　　正の値になるように符号は適当にごまかしてくださいｗｗ

　① 3分の1公式
　　　　　　　放物線ｙ＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ
　　　　　　　ｘ＝ｐの点における接線Ｌ
　　　　　　　ｙ軸に平行な直線ｘ＝ｑ
　　　　で囲まれた部分の面積Ｓは、
　　　　　　　　 $\rm S=\left|\ \frac{a}{3}\ (q-p)^3\ \right|$ 　

　② 6分の1公式
　　　　　　　放物線ｙ＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ
　　　　　　　ｘ＝ｐ、ｑで交わる直線Ｌ
　　　　で囲まれた部分の面積Ｓは、
　　　　　　　　 $\rm S=\left|\ \frac{a}{6}\ (q-p)^3\ \right|$ 　

　③ 12分の1公式
　　　　　　　放物線ｙ＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ
　　　　　　　ｘ＝ｐの点における接線Ｌ
　　　　　　　ｘ＝ｑの点における接線Ｌ’
　　　　で囲まれた部分の面積Ｓは、
　　　　　　　　 $\rm S=\left|\ \frac{a}{12}\ (q-p)^3\ \right|$ 　
　　　　ちなみに、２接線Ｌ、Ｌ’の交点のｘ座標は
　　　　　　　　 $\rm x=\frac{p+q}{2}$
　　　　です。

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2012/01/06(金) 23:57:00|

大学入試(数学)　.センター試験　ⅡB　2011

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2011　センター試験　数学ⅡB　３

受験生は体調に気をつけて！
センターまであと１週間です。

　　　　　　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　まず、内分の公式を使ってｘ₃を求めると、
　　　　　　　 $\rm x_3=\frac{1\times1+2\times3}{3+1}=\frac{7}{4}$ 　･･････アイ
　　　　次に、階差数列を求めていくと、
　　　　　　　ｙ₁＝２－１＝１　･････ウ
　　　　　　　 $\rm y_2=\frac{7}{4}-2=-\frac{1}{4}$ 　　　　　　　
　　　　ここで、
　　　　　　　　 $\rm y_2=-\frac{1}{4}\ y_1$
　　　　が成り立つので、一般のｎについても
　　　　　　　　 $\rm y_{n+1}=-\frac{1}{4}\ y_n$ 　･･････エオカ
　　　　が成り立つはず。

　　　　もちろんセンター試験なので、十分性を示す必要はありません。
　　　　以下もこのような感じのブラックな解法で解いてみます。　

　　　　ｙ₁＝１となるように、指数を調整すると、
　　　　　　　　 $\rm y_{n}=\left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1}$ 　･･････キ
　　　　
　　　　ｘ_nについても、すべてのｎについて考える必要はなく、
　　　　ｘ₁＝１、ｘ₂＝２になるようにクケコサを決めればよいわけです。
　　　　まず、指数のサは、適当に決めておいても後で調整可能なので、
　　　　とりあえずｎということにしておきます。　

　　　　実定数Ａ、Ｂを用いて、ｘ_nは、
　　　　　　　　 $\rm x_{n}=A+B\left(-\frac{1}{4}\right)^{n}$
　　　　と表せる。ｎ＝１，２のとき、
　　　　　　　　 $\rm x_{1}=A-\frac{1}{4}B=1$
　　　　　　　　 $\rm x_{2}=A+\frac{1}{16}B=2$
　　　　これらを連立させて解くと、Ａ、Ｂの値が求められ、
　　　　　　　　 $\rm x_{n}=\frac{9}{5}+\frac{16}{5}\left(-\frac{1}{4}\right)^{n}$
　　　　となる。これを、空欄に適合する形に変形すると、
　　　　　　　　 $\rm x_{n}=\frac{9}{5}-\frac{4}{5}\left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1}$ 　･･････クケコサ

　　　　どんどんいきますね。
　　　　　　　　 $\rm S_{n}=\sum_{k=1}^n\ k\ r^{\ k-1}$
　　　　に対して、
　　　　　　　　Ｓ₁＝１
　　　　　　　　Ｓ₂＝１＋２ｒ
　　　　ここで、
　　　　　　　　
　　　　にｎ＝１を代入すると、
　　　　　　　　１－ｒ＝(Σ部分)－ｒ^ス
　　　　となるので、
　　　　　　　　Σ部分＝１　⇔　シ＝１
　　　　　　かつ　ス＝１

　　　　(※)にｎ＝２を代入すると、
　　　　　　　　(１－ｒ)(１＋２ｒ)＝(Σ部分)－２ｒ^ス
　　　　　　⇔　１＋ｒ－２ｒ²＝(Σ部分)－２ｒ^ス
　　　　となるので、
　　　　　　　　Σ部分＝１＋ｒ　⇔　シ＝２
　　　　　　かつ　ス＝２

　　　　以上より、シ＝ｎ、ス＝ｎ
　　　　　
　　　　ちょっとこれはやり過ぎですねｗｗ
　　　　普通に計算した方が、分かりやすいかもしれません。
　　　　最後は、空欄が多すぎるて簡単には数値は決まらなさそうなので、
　　　　そのまま計算することにします。

　　　　シ、スおよびｒの値を代入すると、(※)は
　　　　　　　　　 $\rm \frac{3}{4}S_n=\sum_{k=1}^n\ \left(\frac{1}{4}\right)^{k-1}-n\left(\frac{1}{4}\right)^{n}$
　　　　　　　 $\rm \Leftrightarrow\ \ S_{n}=\frac{4}{3}\cdot \frac{1-\left(\frac{1}{4}\right)^{n}}{1-\frac{1}{4}}-\frac{4n}{3}\left(\frac{1}{4}\right)^{n}$
　　　　　　　 $\rm \Leftrightarrow\ \ S_{n}=\frac{16}{9}\cdot \Bigg(1-\left(\frac{1}{4}\right)^{n}\Bigg)-\frac{n}{3}\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}$ 　･･････ソタチツテトナ

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2012/01/07(土) 23:57:00|

大学入試(数学)　.センター試験　ⅡB　2011

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2011　センター試験　数学ⅡB　４

やばいっ！！　鼻水が止まりません＾＾；；
風邪かな？？
しんどいのはガマンするとして、とにかく受験生にうつさないようにせねば･････

　　　　　　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm OD}=\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm AD}$
　　　　　　　　　 $\rm =\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm BC}$
　　　　　　　　　 $\rm =\overrightarrow{\rm a}-\overrightarrow{\rm b}+\overrightarrow{\rm c}$ 　･･････アイ

　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm AL}=\overrightarrow{\rm OL}-\overrightarrow{\rm OA}$
　　　　　　　　　 $\rm =\frac{1}{3}\ \overrightarrow{\rm OD}-\overrightarrow{\rm OA}$
　　　　　　　　　 $\rm =-\frac{2}{3}\ \overrightarrow{\rm a}-\frac{1}{3}\ \overrightarrow{\rm b}+\frac{1}{3}\ \overrightarrow{\rm c}$ 　･･････ウエオカ

　　　　また、
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm AM}=\overrightarrow{\rm OM}-\overrightarrow{\rm OA}=-\overrightarrow{\rm a}+\frac{1}{2}\ \overrightarrow{\rm b}$
　　　　なので、
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm ON}=\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm AN}$
　　　　　　　　　　 $\rm =\overrightarrow{\rm a}+s\left(-\frac{2}{3}\ \overrightarrow{\rm a}-\frac{1}{3}\ \overrightarrow{\rm b}+\frac{1}{3}\ \overrightarrow{\rm c}\right)+t\left(-\overrightarrow{\rm a}+\frac{1}{2}\ \overrightarrow{\rm b}\right)$
　　　　　　　　　　 $\rm =\left(1-\frac{2}{3}s-t\right)\ \overrightarrow{\rm a}+\left(-\frac{s}{3}+\frac{t}{2}\right)\ \overrightarrow{\rm b}+\frac{s}{3}\ \overrightarrow{\rm c}$ 　･･････キクケコサシ

　　　　空欄スセの形より、
　　　　　　　　　　 $\rm 1-\frac{2}{3}s-t=-\frac{s}{3}+\frac{t}{2}=0$
　　　　これらを連立させて解くと、
　　　　　　　　　　 $\rm s=\frac{3}{4}$
　　　　となるので、
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm ON}=\frac{s}{3}\ \overrightarrow{\rm c}=\frac{1}{4}\ \overrightarrow{\rm c}$ 　･･････スセ

　　　ここまでは計算量も多くないので、大丈夫でしょう。　
　
　　　　　　　　 $\rm |\ \overrightarrow{\rm a}\ |=|\ \overrightarrow{\rm b}\ |=1\ \ ,\ \ |\ \overrightarrow{\rm c}\ |=\sqrt3$ 　･･････(※)　　　　　　　　

　　　　ＡＢ²＝４ｒ²より、
　　　　　　　　 $\rm |\ \overrightarrow{\rm AB}\ |^2=|\ \overrightarrow{\rm b}- \overrightarrow{\rm a}\ |^2=4r^2$
　　　　これを展開した式に(※)を代入して整理すると、
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm a}\cdot\overrightarrow{\rm b}=1-2r^2$ 　･･････ソタ

　　　　辺の長さから△ＯＢＣは、30°、60°、90°の直角三角形になるので、
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm b}\cdot\overrightarrow{\rm c}=0$ 　･･････チ

　　　　△ＡＢＣで三平方の定理を用いると、ＡＣ²＝２²＋(２ｒ)²より、
　　　　　　　　 $\rm |\ \overrightarrow{\rm AC}\ |^2=|\ \overrightarrow{\rm c}- \overrightarrow{\rm a}\ |^2=4+4r^2$
　　　　これを展開した式に(※)を代入して整理すると、
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm c}\cdot\overrightarrow{\rm a}=-2r^2$ 　･･････ツテ

　　　　ＡＭ⊥ＭＮより、
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm AM}\cdot\overrightarrow{\rm MN}=\left(-\overrightarrow{\rm a}+\frac{1}{2}\ \overrightarrow{\rm b}\right)\cdot\left(\frac{1}{4}\overrightarrow{\rm c}-\frac{1}{2}\ \overrightarrow{\rm b}\right)=0$
　　　　これを展開し、上で求めた内積の値と(※)を代入すると、
　　　　　　　　 $\rm \frac{1}{2}r^2-\frac{1}{4}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ r=\frac{1}{\sqrt2}$
　　　　よって、
　　　　　　　　 $\rm AB=2r=\sqrt2$ 　･･････ト

　　　途中の計算式はいろいろと省略していますが、流れとしてはこんな感じでしょう。　

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2012/01/08(日) 23:57:00|

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