第3問
次の文章中の に適する式または数値を、解答用紙の同じ記号のついた
の中に記入せよ。途中の計算を書く必要はない。
xy平面上の円C：x2+y2=6上に2点A($\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt6\end{align*}}$ ，0)、B(−$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt6\end{align*}}$ ，0)がある。点P(2，0)
を通る直線と円Cの交点をQ、Rとする。ただし、Qは第1象限にあり、∠APQ=
∠OPR=$\small\sf{\theta}$ (0＜$\small\sf{\theta}$ ＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ )とする。原点Oから線分QRに下ろした垂線をOHと
する。線分OH、QH、RHの長さを$\small\sf{\theta}$ で表すと、OH= ア 、QH=RH= イ で
ある。△AQBの面積をS1、△ABRの面積をS2とすると、S1= ウ QPsin$\small\sf{\theta}$ 、
S2= ウ PRsin$\small\sf{\theta}$ （ ウ は定数）である。
四角形AQBRの面積S($\small\sf{\theta}$ )を$\small\sf{\theta}$ で表すとS($\small\sf{\theta}$ )=4sin$\small\sf{\theta}$ エ である。
S($\small\sf{\theta}$ )＞4$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ となる条件は オ ＜$\small\sf{\theta}$ ＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ である。また、s=sin2$\small\sf{\theta}$ 、t={S($\small\sf{\theta}$ )}2
とおくとき、tをsで表すとt= カ であり、S($\small\sf{\theta}$ )は$\small\sf{\theta}$ = キ のとき最大値
ク をとる。このとき直線QRの方程式は ケ であり、Qのx座標は コ
である．
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ア $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sin\theta\end{align*}}$ イ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{6-4\sin^2\theta}\end{align*}}$ ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt6\end{align*}}$ エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{9-6\sin^2\theta}\end{align*}}$ オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$
カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -48\left(2s^4-3s^2\right)\end{align*}}$ キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{3}\end{align*}}$ ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3\sqrt6\end{align*}}$ ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\ x-2\sqrt3\end{align*}}$ コ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3+\sqrt3}{2}\end{align*}}$
【解説】
(ア)
△OPHにおいて、∠OPH=$\scriptsize\sf{\theta}$ 、∠OHP=90°なので、
OH=OPsin$\scriptsize\sf{\theta}$ =2sin$\scriptsize\sf{\theta}$
(イ)
△OQHで三平方
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf QH=\sqrt{\left(\sqrt6\right)^2-\left(2\sin\theta\right)^2}=\underline{\sf \sqrt{6-4\sin^2\theta}}\end{align*}}$
(ウ)
△AQBにおいて、ABを底辺としたときの高さは、PQsin$\scriptsize\sf{\theta}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt6\cdot PQ\sin\theta=\underline{\sf \sqrt6\ PQ\sin\theta}\end{align*}}$
同様に、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_2=\sqrt6\ PR\sin\theta\end{align*}}$
(エ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S\left(\theta\right)&=\sf S_1+S_2\\ &=\sf \sqrt{6}\ \left(PQ+PR\right)\sin\theta\\ &=\sf 2\sqrt{6}PH\sin\theta\\ &=\sf \underline{\sf 4\sin\theta\ \sqrt{9-6\sin^2\theta}}\end{align*}}$
(オ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\left(\theta\right)=4\sin\theta\ \sqrt{9-6\sin^2\theta}>4\sqrt3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin^2\theta\left(9-6\sin^2\theta\right)>3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\sin^4\theta-3\sin^2\theta+1=\left(2\sin^2\theta-1\right)\left(\sin^2\theta-1\right)<0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}<\sin^2\theta<1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{\sqrt2}<\sin\theta<1\ \ \ \ldots\ldots\ldots (*)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf \frac{\pi}{4}}<\theta<\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
(カ)
(エ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf t&=\sf \left(4\sin\theta\ \sqrt{9-6\sin^2\theta}\right)^2\\ &=\sf \left(4s\sqrt{9-6s^2}\right)^2\\ &=\sf \underline{\sf -48\left(2s^4-3s^2\right)}\end{align*}}$
(キ)(ク)
(カ)で求めたtをsで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t\ '=-48\left(8s^3-6s\right)=-96s\left(4s^2-3\right)\end{align*}}$
(*)の範囲でtの増減を調べると、tが最大となるのは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\sin\theta=\frac{\sqrt3}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=\underline{\sf \frac{\pi}{3}}\end{align*}}$
のときである。
このときS($\scriptsize\sf{\theta}$ )も最大となるので、その値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\left(\theta\right)_{max}=S\left(\frac{\pi}{3}\right)=\underline{\sf 3\sqrt6}\end{align*}}$
(ケ)
S($\scriptsize\sf{\theta}$ )が最大になるときQRの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-0=\left(\tan\frac{\pi}{3}\right)\left(x-2\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf y=\sqrt3\ x-2\sqrt3}\end{align*}}$
(コ)
(ケ)で得られたQRの式と円Cの方程式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+\left(\sqrt3\ x-2\sqrt3\right)^2=6\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2x^2-6x+3=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\underline{\sf \frac{3+\sqrt3}{2}}\ \ \ \left(\because\ x>2\right)\end{align*}}$
図や増減表は各自で書いてくださいｗｗ
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第4問
a1=6、 b1=3、 an+1=4an+bn、 bn+1=2an+3bn （n=1，2，3，･･･）
により定義される数列{an}、{bn}について次の問いに答えよ。
(1) cn=an−bnとおくとき、数列{cn}の一般項を求めよ。
(2) an+1をanとnを用いて表せ。
(3) dn=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{a_n}{2^n}\end{align*}}$ とおくとき、数列{dn}の一般項を求めよ。
(4) 数列{an}、{bn}の一般項を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
an+1=4an+bn ・・・・・・①
bn+1=2an+3b ・・・・・・②
(1)
①-②より
an+1-bn+1=2(an-bn) ⇔ cn+1=2cn
となるので、数列{cn}は等比数列をなす。
c1=a1-b1=3
なので、
cn=3・2n-1
(2)
(1)より
bn=an-cn=an-3・2n-1 ・・・・・・③
これを①に代入すると、
an+1=4an+(an-3・2n-1)
=5an-3・2n-1
(3)
(2)の両辺を2n+1で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{5}{2}\cdot\frac{a_n}{2^n}-\frac{3}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ d_{n+1}=\frac{5}{2}d_n-\frac{3}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ d_{n+1}-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\left(d_n-\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
となるので、数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{d_n-\frac{1}{2}\right\}\end{align*}}$ は等比数列をなす。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d_1=\frac{a_1}{2^1}=3\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d_n-\frac{1}{2}=\left(\frac{5}{2}\right)^{n-1}\left(d_1-\frac{1}{2}\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ d_n=\underline{\sf \left(\frac{5}{2}\right)^n+\frac{1}{2}}\end{align*}}$
(4)
(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=2^nd_n=\underline{\sf 5^n+2^{n-1}}\end{align*}}$
これを③に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=5^n+2^{n-1}-3\cdot 2^{n-1}=\underline{\sf 5^n-2^n}\end{align*}}$
誘導がついているので難しくありません。
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