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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾　青木ゼミの塾長ブログ

2016関西学院大　理系（全学部日程）　数学１



第1問

　　次の　　　 に適する式または数値を、解答用紙の同じ記号のついた　　　
　　の中に記入せよ。

　(1) a、bを相異なる正の実数とする。$\small\sf{\begin{align*} \sf a^x=b^y=\frac{b}{a}\end{align*}}$ のとき、x、yをloga、logb
　　　 を用いて表すと x=　ア　 、y=　イ　 となり、(1+x)(1-y)=　ウ　 が
　　　 成り立つ。

　(2) 複素数z=1+$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ iの絶対値は　エ　 であり、zの変革$\small\sf{\theta}$ は、0≦$\small\sf{\theta}$ ＜2$\small\sf{\pi}$ の
　　　 範囲で考えると、$\small\sf{\theta}$ =　オ　 である。また、z9=　カ　 である。

　(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{2x^2+bx+c}=\frac{d}{2x+1}-\frac{1}{x-2}\end{align*}}$ がxについての恒等式となるように、定数a、b、
　　　 c、dを定めると、a=　キ　 、b=　ク　 、c=　ケ　 、d=　コ　 である。




2016関西学院大　理系（全学部日程）　数学２



第2問

　　次の　　　 に適する式または数値を、解答用紙の同じ記号のついた　　　
　　の中に記入せよ。

　　　n=0，1，2，・・・に対して
　　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf a_n=\int_0^{\pi /2}\sin^nx\ dx\end{align*}}$
　　　とおくと、
　　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf a_0=\int_0^{\pi /2}\ dx=\frac{\pi}{2}\ \ ,\ \ a_1=\int_0^{\pi /2}\sin x\ dx\end{align*}}$ =　ア　
　　　である。
　　　n≧2のとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\sin^{n-1}x\right)'\end{align*}}$ をnとsinx、cosxの式で表すと、
　　　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\sin^{n-1}x\right)'\end{align*}}$ =　イ　
　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\cos x\sin^{n-1}x\right)'\end{align*}}$ はcosxを使わずにnとsinxのみの式で表せて、
　　　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\cos x\sin^{n-1}x\right)'\end{align*}}$ =　ウ　
　　　となる。この両辺を0から $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ まで積分すると、
　　　　　　　　　　　an=　エ　 an-2　　（　エ　 はnの式）　　　・・・・・・(*)
　　　が得られる。a0とa1の値が分かっているので、(*)を用いればan （n≧2）の
　　　値はすべて計算できる。
　　　例えば、a3=　オ　 、a4 =　カ　 である。

　　　また、an=　エ　 an-2の両辺にan-1をかけて bn=nan-1anとおくと、数列
　　　{bn}がみたす漸化式　キ　 が得られる。a0とa1の値からb1の値が分かり、
　　　漸化式よりn≧1のとき一般項は bn=　ク　 である。

　　　0≦x≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ で0≦sinx≦1なので、sinn+1x≦sinnx≦sinn-1xであり、
　　　an+1≦an≦an-1が成り立つ。各辺にnanをかけて
　　　　　　　　　　　　ケ　 bn+1≦nan2≦bn　　（　ケ　 はnの式）　　　
　　　が分かる。以上より、
　　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}\ a_n\end{align*}}$ =　コ　
　　　である。




2016関西学院大　理系（全学部日程）　数学３



第3問

　　次の　　　 に適する式または数値を、解答用紙の同じ記号のついた　　　
　　の中に記入せよ。

　　　Oを原点とするxyz空間内の4点A(1，0，2)、B(2，1，0)、C(1，6，-1)、
　　　D(2，3，1)を考える。線分ABの長さは　ア　 、cos∠AOB=　イ　 であり、
　　　△OABの面積は　ウ　 である。
　　　△OABを含む平面を$\small\sf{\alpha}$ とする。点Cから$\small\sf{\alpha}$ におろした垂線と$\small\sf{\alpha}$ との交点をH
　　　とする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=s\overrightarrow{\sf OA}+t\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ とおくと、s=　エ　 、t=　オ　 であり、線分CHの長
　　　さは　カ　 である。四面体OABCの体積は　キ　 である。
　　　点Dを通り、平面$\small\sf{\alpha}$ に平行な平面を$\small\sf{\beta}$ とする。$\small\sf{\beta}$ と直線CHの交点をEとすると、
　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CH}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf DE}\end{align*}}$ の内積は　ク　 であり、Eは線分CHを　ケ　 の比に内分する。
　　　$\small\sf{\beta}$ と△ABCが交わってできる線分の長さは　コ　 である。



2016関西学院大　理系（全学部日程）　数学４



第4問

　　1個のサイコロを3回投げ、出た目を順にa、b、cとする。

　(1) a=b=cとなる確率を求めよ。

　(2) (a-1)(b-1)(c-1)=0となる確率を求めよ。

　(3) 関数f(x)=ax2+2x-cの最小値が-5より小さくなる確率を求めよ。

　(4) 関数f(x)=ax2+2x-cのグラフとg(x)=cx2のグラフが異なる2点で
　　　 交わる確率を求めよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/12/08(土) 01:08:00|
  2. 大学入試(数学)　.関西の私立大学　.関西学院大　理系　2016(全学)
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