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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2016関西学院大 理系(全学部日程) 数学1



第1問

  次の    に適する式または数値を、解答用紙の同じ記号のついた   
  の中に記入せよ。

 (1) a、bを相異なる正の実数とする。$\small\sf{\begin{align*} \sf a^x=b^y=\frac{b}{a}\end{align*}}$ のとき、x、yをloga、logb
    を用いて表すと x= ア  、y= イ  となり、(1+x)(1-y)= ウ 
    成り立つ。

 (2) 複素数z=1+$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ iの絶対値は エ  であり、zの変革$\small\sf{\theta}$ は、0≦$\small\sf{\theta}$ <2$\small\sf{\pi}$ の
    範囲で考えると、$\small\sf{\theta}$ = オ  である。また、z9= カ  である。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{2x^2+bx+c}=\frac{d}{2x+1}-\frac{1}{x-2}\end{align*}}$ がxについての恒等式となるように、定数a、b、
    c、dを定めると、a= キ  、b= ク  、c= ケ  、d= コ  である。




2016関西学院大 理系(全学部日程) 数学2



第2問

  次の    に適する式または数値を、解答用紙の同じ記号のついた   
  の中に記入せよ。

   n=0,1,2,・・・に対して
         $\small\sf{\begin{align*} \sf a_n=\int_0^{\pi /2}\sin^nx\ dx\end{align*}}$
   とおくと、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf a_0=\int_0^{\pi /2}\ dx=\frac{\pi}{2}\ \ ,\ \ a_1=\int_0^{\pi /2}\sin x\ dx\end{align*}}$ = ア 
   である。
   n≧2のとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\sin^{n-1}x\right)'\end{align*}}$ をnとsinx、cosxの式で表すと、
          $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\sin^{n-1}x\right)'\end{align*}}$ = イ 
   $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\cos x\sin^{n-1}x\right)'\end{align*}}$ はcosxを使わずにnとsinxのみの式で表せて、
          $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\cos x\sin^{n-1}x\right)'\end{align*}}$ = ウ 
   となる。この両辺を0から $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ まで積分すると、
           an= エ  an-2  ( エ  はnの式)   ・・・・・・(*)
   が得られる。a0とa1の値が分かっているので、(*)を用いればan (n≧2)の
   値はすべて計算できる。
   例えば、a3= オ  、a4 = カ  である。

   また、an= エ  an-2の両辺にan-1をかけて bn=nan-1anとおくと、数列
   {bn}がみたす漸化式 キ  が得られる。a0とa1の値からb1の値が分かり、
   漸化式よりn≧1のとき一般項は bn= ク  である。

   0≦x≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ で0≦sinx≦1なので、sinn+1x≦sinnx≦sinn-1xであり、
   an+1≦an≦an-1が成り立つ。各辺にnanをかけて
            ケ  bn+1≦nan2≦bn  ( ケ  はnの式)   
   が分かる。以上より、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}\ a_n\end{align*}}$ = コ 
   である。




2016関西学院大 理系(全学部日程) 数学3



第3問

  次の    に適する式または数値を、解答用紙の同じ記号のついた   
  の中に記入せよ。

   Oを原点とするxyz空間内の4点A(1,0,2)、B(2,1,0)、C(1,6,-1)、
   D(2,3,1)を考える。線分ABの長さは ア  、cos∠AOB= イ  であり、
   △OABの面積は ウ  である。
   △OABを含む平面を$\small\sf{\alpha}$ とする。点Cから$\small\sf{\alpha}$ におろした垂線と$\small\sf{\alpha}$ との交点をH
   とする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=s\overrightarrow{\sf OA}+t\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ とおくと、s= エ  、t= オ  であり、線分CHの長
   さは カ  である。四面体OABCの体積は キ  である。
   点Dを通り、平面$\small\sf{\alpha}$ に平行な平面を$\small\sf{\beta}$ とする。$\small\sf{\beta}$ と直線CHの交点をEとすると、
   $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CH}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf DE}\end{align*}}$ の内積は ク  であり、Eは線分CHを ケ  の比に内分する。
   $\small\sf{\beta}$ と△ABCが交わってできる線分の長さは コ  である。



2016関西学院大 理系(全学部日程) 数学4



第4問

  1個のサイコロを3回投げ、出た目を順にa、b、cとする。

 (1) a=b=cとなる確率を求めよ。

 (2) (a-1)(b-1)(c-1)=0となる確率を求めよ。

 (3) 関数f(x)=ax2+2x-cの最小値が-5より小さくなる確率を求めよ。

 (4) 関数f(x)=ax2+2x-cのグラフとg(x)=cx2のグラフが異なる2点で
    交わる確率を求めよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/12/08(土) 01:08:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西学院大 理系 2016(全学)
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