よって、yの最大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf y_{max}=\frac{3\sqrt3}{4}\ \ \ \left(\theta=\frac{\pi}{3}\right)}\end{align*}}$
⑤
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AP^2&=\sf \bigg\{\left(1+\cos\theta\right)\cos\theta-1\bigg\}^2+\bigg\{\left(1+\cos\theta\right)\sin\theta\bigg\}^2\end{align*}}$
であり、頑張って計算すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AP^2=2-\cos^2\theta\end{align*}}$
になるので、これが最大になるのは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
のときである。このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\left(1+\cos\frac{\pi}{2}\right)\cos\frac{\pi}{2}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\left(1+\cos\frac{\pi}{2}\right)\sin\frac{\pi}{2}=1\end{align*}}$
なので、点Pの座標は
(0，1)である。
⑥
点Pにおける接線の傾きは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}\bigg|_{\theta=\frac{\pi}{2}}=\frac{-\sin\frac{\pi}{2}\left(1+2\cos\frac{\pi}{2}\right)}{\left(2\cos\frac{\pi}{2}-1\right)\left(\cos\frac{\pi}{2}+1\right)}=1\end{align*}}$
なので、接線の方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf y=x+1}\end{align*}}$
⑦
⑥の接線とx軸、曲線Cで囲まれた図形は下図の水色部分。
赤色部分の面積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^1\left(-x\right)dy&=\sf -\int_{\pi}^{\pi /2}\left(1+\cos\theta\right)\cos\theta\cdot\left(\cos\theta+1\right)\left(2\cos\theta-1\right)d\theta\\ &=\sf \int_{\pi /2}^{\pi}\left(2\cos^4\theta+3\cos^3\theta-\cos\theta\right)d\theta\\ &=\sf \int_{\pi /2}^{\pi}\left\{2\left(\frac{1+\cos 2\theta}{2}\right)^2+3\cdot\frac{\cos 3\theta+3\cos\theta}{4}-\cos\theta\right\}d\theta\\ &=\sf \frac{1}{4}\int_{\pi /2}^{\pi}\left(2\cos^22\theta+3\cos 3\theta+4\cos 2\theta+5\cos\theta+2\right)d\theta\\ &=\sf \frac{1}{4}\int_{\pi /2}^{\pi}\bigg\{\left(1+\cos 4\theta\right)+3\cos 3\theta+4\cos 2\theta+5\cos\theta+2\bigg\}d\theta\\ &=\sf \frac{1}{4}\bigg[\frac{1}{4}\sin 4\theta+\sin3\theta+2\sin2\theta+5\sin\theta+3\theta\bigg]_{\pi /2}^{\pi} \\ &=\sf \frac{3}{8}\pi-1\end{align*}}$
なので、水色部分の面積は、三角形から赤色部分を引けばよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}-\left(\frac{3}{8}\pi-1\right)=\underline{\sf \frac{3}{2}-\frac{3}{8}\pi}\end{align*}}$
⑦は計算が面倒なので捨てましょうｗｗｗ
