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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2016関西大 理系(2月5日) 数学1



第1問

  関数f(x)はすべての実数xで微分可能であり、等式
         $\small\sf{\begin{align*} \sf e^xf\ (x)=e^{2x}+\int_0^xe^tf\ (t)\ dt\end{align*}}$
  を満たしている。ただし、eは自然対数の底である。
  次の問いに答えよ。

 (1) f(0)の値を求めよ。

 (2) f’(x)を求めよ。また、f(x)を求めよ。

 (3) y=f(x)のグラフの概形を解答欄の座標平面上にかけ。
    ただし、曲線の凹凸は調べなくてよい。

 (4) y=f(x)のグラフとx軸、y軸で囲まれた図形を、y軸のまわりに
    回転してできる立体の体積を求めよ。ただし、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \int\log x\ dx=x\log x-x+C\end{align*}}$  (Cは積分定数)
    を用いてよい。




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  1. 2018/11/30(金) 02:05:00|
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2016関西大 理系(2月5日) 数学2



第2問

  数列{an}の第1項から第n項までの和Snと一般項an
         $\small\sf{\begin{align*} \sf S_n=16-\frac{3\left(n+4\right)}{n}\ a_n\ \ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
  を満たしている。次の    をうめよ。

 (1) a2= ①  である。

 (2) an+1をanとnを用いて表すと、an+1= ②  anである。
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{a_n}{n}=b_n\end{align*}}$ とおくと、bn+1= ③  bnである。
    したがって、anはnを用いて、an= ④  である。

 (3) 数列{an}の項のうち、最大値は ⑤  である。

 (4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}a_n=\end{align*}}$  ⑥  である。ただし、|r|<1のとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}n\cdot r^n=0\end{align*}}$
    を用いてよい。



2016関西大 理系(2月5日) 数学3



第3問

  Oを原点とする座標平面上に、曲線C上の点P(x,y)が媒介変数$\small\sf{\theta}$ を
  用いて
           $\small\sf{\sf x=(1+\cos\theta)\cos\theta}$
           $\small\sf{\sf y=(1+\cos\theta)\sin\theta}$
  によって与えられている。ただし、$\small\sf{\sf 0\leqq\theta\leqq\pi}$ とする。次の   
  をうめよ。

 (1) xは$\small\sf{\theta}$ = ①  のとき最小値 ②  をとり、yは$\small\sf{\theta}$ = ③  のとき
    最大値 ④  をとる。

 (2) 2点A(1,0)とPの距離が最大となるとき、点Pの座標は ⑤ 
    ある。また、このとき点Pにおける曲線Cの接線の方程式はy= ⑥ 
    である。

 (3) (2)で求めた接線とx軸、曲線Cで囲まれた図形の面積は ⑦  である。




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2016関西大 理系(2月5日) 数学4



第4問

  次の   をうめよ。

 (1) 1から10までの数が書かれたカードが1枚ずつ計10枚ある。この中から
    同時に4枚を取り出すとき、それらに書かれている数について、最大の数
    が6である確率は ①  であり、また、最大の数が9以上で、かつ最小の
    数が2以下である確率は ②  である。

 (2) 四角錐OABCDは、底面ABCDが1辺の長さ1の正方形であり、OA=OB=
    OC=OD=1である。内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ の値は ③  である。また、辺OAの中点
    をMとし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MC}\end{align*}}$ のなす角を$\small\sf{\theta}$ (0≦$\small\sf{\theta}$ ≦ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ )とすると、cos$\small\sf{\theta}$ の値は ④ 
    である。

 (3) 実数x、yはx≧10、y≧1、xy2=105を満たしているとする。Y=log10yとおく
    とき、Yのとり得る値の範囲は ⑤  である。また、log10x・log10yが最大
    となるとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x}{y}\end{align*}}$ の値は ⑥  である。

 (4) Oを原点とする複素数平面上で、2つの複素数z1=1+2i、z2=-1+3iの表す
    点をそれぞれP、Qとする。このとき、偏角arg $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{z_2}{z_1}\end{align*}}$ = ⑦  である。ただし、
    偏角の範囲は0以上2$\small\sf{\pi}$ 未満とする。また、直線OQに関して、点Pと対称な
    点Rを表す複素数は ⑧  である。