第3問
nを2以上の整数とする。関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x^{2n-1}e^{-x^{2n}}\end{align*}}$
について次の問いに答えよ。
(1) f(x)の導関数f’(x)を求めよ。
(2) -2≦x≦2の範囲でf(x)の増減表をかき、f(x)の最大値および最小値
をnを用いて表せ。
(3) n=2，3，・・・に対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf a_n=n^{-\frac{1}{2n}}\end{align*}}$ とする。このとき、極限値
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}n^2\int_0^{a_n}f\ (x)\ dx\end{align*}}$
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f '(x)&=\sf \left(2n-1\right)x^{2n-2}e^{-x^{2n}}+x^{2n-1}e^{-x^{2n}}\cdot\left(-2nx^{2n-1}\right)\\ &=\sf \left\{\left(2n-1\right)x^{2n-2}-2nx^{4n-2}\right\}e^{-x^{2n}}\\ &=\sf \underline{-x^{2n-2}\left\{2nx^{2n}-\left(2n-1\right)\right\}e^{-x^{2n}}}\end{align*}}$
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ ,\ \pm\left(\frac{2n-1}{2n}\right)^{\frac{1}{2n}}" alt="\end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\left(\frac{2n-1}{2n}\right)^{\frac{1}{2n}}" alt="\end{align*}}$
とおくと、n≧2より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p^{2n}=\frac{2n-1}{2n}=1-\frac{1}{2n}<1\ \ \Leftrightarrow\ \ 0<p<1" alt="\end{align*}}$
なので、増減表は次のようになる。
| x | -2 | ･･･ | -p | ･･･ | 0 | ･･･ | p | ･･･ | 2 |
| f’(x) | | － | 0 | + | 0 | + | 0 | + | |
| f(x) | | ↘ | 最小 | ↗ | 0 | ↗ | 最大 | ↘ | |
よって、f(x)の最大値・最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)_{max}&=\sf f\ (p)\\ &=\sf p^{2n-1}e^{-p^{2n}}\\ &=\sf \left(\frac{2n-1}{2n}\right)^{\frac{2n-1}{2n}}e^{-\frac{2n-1}{2n}}\\ &=\sf \underline{\ \left(\frac{2n-1}{2en}\right)^{\frac{2n-1}{2n}}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f(x)_{min}&=\sf f\ (-p)\\ &=\sf -f\ (p)\\ &=\sf \underline{\ -\left(\frac{2n-1}{2en}\right)^{\frac{2n-1}{2n}}}\end{align*}}$
(3)
求める極限をLとし、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=-x^{2n}\end{align*}}$
と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{dx}=-2nx^{2n-1}\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -0^{\ 2n}=0" alt="\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -a_n^{\ 2n}=-\left(n^{-\frac{1}{2n}}\right)^{2n}=-\frac{1}{n}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L&=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}n^2\int_0^{a_n}x^{2n-1}e^{-x^{2n}}\ dx\\ &=\sf \lim_{n\rightarrow\infty}n^2\int_0^{-\frac{1}{n}}x^{2n-1}e^{t}\cdot \frac{dt}{-2nx^{2n-1}}\\ &=\sf -\frac{1}{2}\lim_{n\rightarrow\infty}n\int_0^{-\frac{1}{n}}e^tdt \\ &=\sf -\frac{1}{2}\lim_{n\rightarrow\infty}n\bigg[\ e^t\ \bigg]_0^{-\frac{1}{n}}\\ &=\sf -\frac{1}{2}\lim_{n\rightarrow\infty}n\left(\ e^{-\frac{1}{n}}-1\right)\end{align*}}$
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h=-\frac{1}{n}" alt="\end{align*}}$ とおくと、n→+∞のときh→0であり、
関数 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=e^x" alt="\end{align*}}$ に対して、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(x)=e^x\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L&=\sf -\frac{1}{2}\lim_{h\rightarrow 0}\left(-\frac{1}{h}\right)\left(e^h-1\right)\\ &=\sf \frac{1}{2}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^h-e^0}{h-0}\\ &=\sf \frac{1}{2}\ g\ '(0)\\ &=\sf \underline{\ \frac{1}{2}}\end{align*}}$
例年の数Ⅲ微積と比べると難しいですね。
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- 2018/11/30(金) 02:03:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2016（2/2）
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第4問
次の をうめよ。
(1) 2次方程式x2+5x+6=0の解がtanA、tanB (|A|＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ 、|B|＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ )
であるとき、A+B= ① である。
(2) 曲線 y=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{x+2}\end{align*}}$ と直線y=x+aが共有点をもつとき、定数aのとる値の
範囲は ② であり、共有点の数が2個でかつ、その共有点のy座標
がともに正であるとき、aのとりうる値の範囲 ③ である。
(3) 6で割ると3余り、17で割ると5余る3桁の自然数で最大のものは ④
である。
(4) 次の定積分の値を求めると、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_1^{e^2}\frac{1}{\sqrt{x}}\log x\ dx\end{align*}}$ = ⑤ 、 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_1^{e^2}\frac{1}{\sqrt{x}}\left(\log x\right)^2 dx\end{align*}}$ = ⑥
である。
(5) n個の正の数a1、a2、・・・、anが等差数列であるとする。a1=a、an=b
（a≠b）とするとき、和 $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{a_k}+\sqrt{a_{k+1}}}\end{align*}}$ は ⑦ である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
① $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{3\pi}{4}\end{align*}}$ ② $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a\leqq \frac{9}{4}\end{align*}}$ ③ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\lt a<\frac{9}{4}\end{align*}}$ ④ 957 ⑤ 4
⑥ 8e-16 ⑦ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n-1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\end{align*}}$
【解説】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+5x+6=\left(x+2\right)\left(x+3\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=-2\ ,\ -3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan A=-2\ ,\ \tan B=-3\end{align*}}$ とすると、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |A|<\frac{\pi}{2}\ ,\ |B|<\sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{2}\lt A<0\ ,\ -\frac{\pi}{2}\lt B<0\ \ \Rightarrow\ \ -\pi \lt A+B<0\end{align*}}$ ・・・・・・(#)
加法定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \tan\left(A+B\right)&=\sf \frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\ \tan B}\\ &=\sf \frac{-2-3}{1-\left(-2\right)\cdot\left(-3\right)}\\ &=\sf 1\end{align*}}$
となるので、(#)より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A+B=\underline{\sf -\frac{3}{4}\pi}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C_1:\ y=\sqrt{x+2}\ \ ,\ \ C_2\ y=x+a\end{align*}}$
2式を連立させると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{x+2}=x+a\end{align*}}$
両辺を2乗すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x+2=x^2+2ax+a^2\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2+\left(2a-1\right)x+a^2-2=0\end{align*}}$ ・・・・・・(*)
C1とC2が接するとき、(*)が重解をもつので、
判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D=\left(2a-1\right)^2-4\left(a^2-2\right)=-4a+9=0\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\frac{9}{4}\end{align*}}$
C1とC2が共有点をもつようなaの値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf a\leqq \frac{9}{4}}\end{align*}}$ ・・・・・・②
一方、C2がC1の頂点(-2，0)を通るのは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=-2+a\ \ \Leftrightarrow\ \ a=2\end{align*}}$
の時なので、共有点の数が2個でかつ、その共有点のy座標がともに
正であるとき、aの値の範囲は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf 2\lt a<\frac{9}{4}}\end{align*}}$ ・・・・・・③
(3)
求める数をnとおくと、自然数a、bを用いて
n=6a+3=17b+5
と表すことができる。17=3×6-1より
6a+3=17b+5 ⇔ 6a+3=(3×6-1)b+5
⇔ b=6(3b-a)+2
と変形できるので、bは6で割って2余る数である。
一方、nは3桁の自然数なので
100≦17b+5≦999 ⇔ 5.…≦b≦58.…
なので、条件を満たす最大のbは、b=56である。
このとき、
n=17×56+5=957
(4)
部分積分法を用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_1^{e^2}\frac{1}{\sqrt{x}}\log x\ dx&=\sf \bigg[2\sqrt{\sf x}\log \sf x\bigg]_1^{e^2}-\int_1^{e^2}2\sqrt{\sf x}\cdot\frac{1}{x}\ dx \\ &=\sf \bigg[2\sqrt{\sf x}\log \sf x-4\sqrt{\sf x}\bigg]_1^{e^2}\\ &=\sf \underline{\sf 4}\end{align*}}$
この結果を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_1^{e^2}\frac{1}{\sqrt{x}}\left(\log x\right)^2 dx&=\sf \bigg[2\sqrt{\sf x}\left(\log x\right)^2\bigg]_1^{e^2}-\int_1^{e^2}2\sqrt{\sf x}\cdot 2\log x\cdot\frac{1}{x}\ dx \\ &=\sf 8e-4\int_1^{e^2}\frac{1}{\sqrt{x}}\log x\ dx\\ &=\sf \underline{\sf 8e-16}\end{align*}}$
(5)
等差数列の公差をdとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=a_1+d\left(n-1\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ d=\frac{a_n-a_1}{n-1}=\frac{b-a}{n-1}\end{align*}}$
これより
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{a_k}+\sqrt{a_{k+1}}}&=\sf \sum_{k=1}^{n-1}\frac{\sqrt{a_{k+1}}-\sqrt{a_{k}}}{a_{k+1}-a_k}\\ &=\sf \frac{1}{d}\sum_{k=1}^{n-1}\left(\sqrt{a_{k+1}}-\sqrt{a_{k}}\right)\\ &=\sf \frac{1}{d}\bigg\{\left(\sqrt{a_{2}}-\sqrt{a_{1}}\right)+\left(\sqrt{a_{3}}-\sqrt{a_{2}}\right)+\ldots +\left(\sqrt{a_{kn}}-\sqrt{a_{n-1}}\right)\bigg\}\\ &=\sf \frac{1}{d}\left(\sqrt{a_{n}}-\sqrt{a_{1}}\right)\\ &=\sf \frac{n-1}{b-a}\cdot\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)\\ &=\sf \underline{\sf \frac{n-1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}\end{align*}}$
ここの小問集合は例年どうりの感じですね。
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- 2018/11/30(金) 02:04:00|
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