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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2016関西大 理系(2月2日) 数学1



第1問

  p、qを実数とし、iを虚数単位とする。複素数平面上の点P(4+pi)は
  点A(2i)と点B(2+3i)を通る直線上にある。また、点Q(q+qi)は線分
  QAと線分QPが直交する位置にある。次の問いに答えよ。

 (1) pおよびqの値を求めよ。

 (2) |z-(q+qi)|=2|z-(4+pi)|を満たす複素数z全体の表す図形を求めよ。

 (3) zが(2)で定められた図形上にあり、z、10+10i-zと3+3iの3点が
    三角形を作るとき、その三角形の面積が最大となるzの値を求めよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/11/30(金) 02:01:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2016(2/2)
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2016関西大 理系(2月2日) 数学2



第2問

  空間内で、原点Oと3点A、B、Cを頂点とする四面体OABCを考える。
  三角形ABCの内心、すなわち3つの内角の2等分線の交点をIとし、直線
  BIと辺ACとの交点をDとする。三角形ABCの各辺の長さをAB=p、BC=q
  、CA=rとおく。このとき、∠ABD=∠CBDであるからベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}\end{align*}}$ はp、qを
  用いて
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}\end{align*}}$ = ①  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$
  と表される。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}\end{align*}}$ の長さ $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AD}|\end{align*}}$ はp、q、rを用いて
         $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AD}|\end{align*}}$ = ② 
   と表される。したがって、ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AI}\end{align*}}$ はp、q、rを用いて
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AI}\end{align*}}$ = ③  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ + ④  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$
   と表される。また、ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OI}\end{align*}}$ は、p、q、rを用いて
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OI}\end{align*}}$ = ⑤  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ + ⑥  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ + ⑦  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
   と表される。特に、A、B、Cの座標がA(a,0,0)、B(0,b,0)、C(0,0,c)
   で与えられたとき、Iのx座標はa、b、cを用いて ⑧ と表される。





2016関西大 理系(2月2日) 数学3



第3問

  nを2以上の整数とする。関数
         $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x^{2n-1}e^{-x^{2n}}\end{align*}}$
  について次の問いに答えよ。

 (1) f(x)の導関数f’(x)を求めよ。

 (2) -2≦x≦2の範囲でf(x)の増減表をかき、f(x)の最大値および最小値
    をnを用いて表せ。

 (3) n=2,3,・・・に対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf a_n=n^{-\frac{1}{2n}}\end{align*}}$ とする。このとき、極限値
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}n^2\int_0^{a_n}f\ (x)\ dx\end{align*}}$
    を求めよ。






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2016関西大 理系(2月2日) 数学4



第4問

  次の   をうめよ。

 (1) 2次方程式x2+5x+6=0の解がtanA、tanB (|A|<$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ 、|B|<$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ )
    であるとき、A+B= ①  である。

 (2) 曲線 y=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{x+2}\end{align*}}$ と直線y=x+aが共有点をもつとき、定数aのとる値の
    範囲は ②  であり、共有点の数が2個でかつ、その共有点のy座標
    がともに正であるとき、aのとりうる値の範囲 ③  である。

 (3) 6で割ると3余り、17で割ると5余る3桁の自然数で最大のものは ④ 
    である。

 (4) 次の定積分の値を求めると、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_1^{e^2}\frac{1}{\sqrt{x}}\log x\ dx\end{align*}}$ = ⑤ 、  $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_1^{e^2}\frac{1}{\sqrt{x}}\left(\log x\right)^2 dx\end{align*}}$ = ⑥ 
    である。

 (5) n個の正の数a1、a2、・・・、anが等差数列であるとする。a1=a、an=b
    (a≠b)とするとき、和 $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{a_k}+\sqrt{a_{k+1}}}\end{align*}}$ は ⑦  である。