第1問
3次関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=ax^3+\left(a-2\right)x\ \ \ \left(a>0\right)\end{align*}}$
について、次の問いに答えよ。
(1) y=f(x)が極値をもつようなaの値の範囲を求めよ。
(2) y=f(x)が極値をもつとき、極大値と極小値の差が $\small\sf{\sf 2|a-2|}$ と等しくなる
ようなaの値の範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f(x)の導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=3ax^2+a-2=3a\left(x^2+\frac{a-2}{3a}\right)\end{align*}}$
3次関数f(x)が極値をもつためには、方程式f’(x)=0が異なる2解を
もつ必要があるので、a＞0より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a-2}{3a}<0\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt a<2\end{align*}}$
であればよい。逆にこのとき、方程式f’(x)=0は異なる2解
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\pm\sqrt{\frac{2-a}{3a}}\end{align*}}$
をもち、これらの値の前後でf’(x)の富豪が変化するので、
f(x)は極値をもつ。
よって、求める条件は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\sf 0\lt a<2 }\end{align*}}$ である。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(-x)=a\left(-x\right)^3+\left(a-2\right)\cdot\left(-x\right)=-\left\{ax^3+\left(a-2\right)x\right\}=-f(x)\end{align*}}$
なので、(1)より、極大値と極小値の差は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|f\left(\sqrt{\frac{2-a}{3a}}\right)-f\left(-\sqrt{\frac{2-a}{3a}}\right)\right|&=\sf 2\left|f\left(\sqrt{\frac{2-a}{3a}}\right)\right|\\ &=\sf 2\left|a\cdot\frac{2-a}{3a}\cdot\sqrt{\frac{2-a}{3a}}+\left(a-2\right)\sqrt{\frac{2-a}{3a}}\right|\\ &=\sf \frac{4}{3}\left|a-2\right|\sqrt{\frac{2-a}{3a}}\end{align*}}$
(1)より、0＜a＜2なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{3}\left|a-2\right|\sqrt{\frac{2-a}{3a}}=2\left|a-2\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\sqrt{\frac{2-a}{3a}}=3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\sf a=\frac{8}{31}}\end{align*}}$
基本的な問題です。
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- 2016/01/27(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 1997
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第2問
2n個の白玉とn個の赤玉をでたらめに並べる。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 直線状に並べるときに赤玉どうしが隣り合わない確率を求めよ。
(2) 円周状に並べるときに赤玉どうしが隣り合わない確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
並べ方の総数は (3n)!通り。
赤玉が隣り合わないためには、まず白玉2n個を並べ、
その間および両端の2n+1か所に赤玉n個を並べればよい。
よって、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left(2n\right)!\cdot _{2n+1}P_n}{\left(3n\right)!}=\underline{\sf \frac{\left(2n+1\right)!\left(2n\right)!}{\left(3n\right)!\left(n+1\right)!}}\end{align*}}$
(2)
並べ方の総数は (3n-1)!通り。
赤玉が隣り合わないためには、まず白玉2n個を並べ、
その間2nか所に赤玉n個を並べればよい。
よって、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left(2n-1\right)!\cdot _{2n}P_n}{\left(3n-1\right)!}=\underline{\sf \frac{\left(2n-1\right)!\left(2n\right)!}{\left(3n-1\right)!\ n!}}\end{align*}}$
これまた よくある問題です。
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- 2016/01/28(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 1997
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第3問
複素数平面上において、複素数0、2、z、z2を表す点を、それぞれ
O、A、B、Cとする。3点O、A、Bが三角形の頂点をなすとき、次の
問いに答えよ。
(1) △OABが直角三角形になるとき、点Bは複素数平面上でどのよ
うな図形上にあるか図示せよ。
(2) 三角OABが直角三角形であり、かつ、∠AOCが直角になるとき
のzを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
(ⅰ) ∠AOB=90°のとき
Bは、虚軸上にある（ただし、Oは除く）。
(ⅱ) ∠OAB=90°のとき
Bは、Aを通り実軸に垂直な直線状にある
（ただし、Aは除く）。
(ⅲ) ∠OBA=90°のとき
Bは、OAを直径とする円周上にある
（ただし、O、Aは除く）。
(ⅰ)～(ⅲ)を図示すると、右図のようになる。
(2)
極形式を用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z^2=r^2\left(\cos 2\theta+i\sin 2\theta\right)\end{align*}}$
なので、∠AOC=90°のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\theta=\pm\frac{\pi}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=\pm\frac{\pi}{4}\end{align*}}$ .
これを満たすzは右図より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z=\underline{\sf 1\pm i\ ,\ 2\pm 2i}\end{align*}}$
これもさほど難しくありません。
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- 2016/01/29(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 1997
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第4問
数列{an}は
$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt a_1<3\ ,\ \ a_{n+1}=1+\sqrt{1+a_n}\ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
を満たすものとする。このとき、次の(1)、(2)、(3)を示せ。
(1) n=1、2、3、・・・に対して、0＜an＜3が成り立つ。
(2) n=1、2、3、・・・に対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf 3-a_n\leqq\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\left(3-a_1\right)\end{align*}}$ が成り立つ。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=3\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
数学的帰納法で示す。
(ⅰ) n=1のときは自明
(ⅱ) n=kのとき、0＜ak＜3が成り立つと仮定すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt a_k<3&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 1<\sqrt{1+a_k}<\sqrt4=2\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 2<1+\sqrt{1+a_k}<3\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf (0<)\ 2\lt a_{k+1}<3\end{align*}}$
より、n=k+1のときも成り立つ。
以上より、n=1、2、3、・・・に対して、0＜an＜3が成り立つ。
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0<3-a_{n+1}&=\sf 2-\sqrt{1+a_n}\\ &=\sf \frac{2^2-\left(1+a_n\right)}{2+\sqrt{1+a_n}}\\ &=\sf \frac{3-a_n}{2+\sqrt{1+a_n}}\\ &<\sf \frac{3-a_n}{2+\sqrt{1+0}}\\ &=\sf \frac{1}{3}\left(3-a_n\right)\end{align*}}$
これが n=1、2、3、・・・に対して成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<3-a_2<\frac{1}{3}\left(3-a_1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<3-a_3<\frac{1}{3}\left(3-a_2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<3-a_4<\frac{1}{3}\left(3-a_3\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<3-a_n<\frac{1}{3}\left(3-a_{n-1}\right)\end{align*}}$
であり、これらを辺々かけると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<3-a_n<\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\left(3-a_1\right)\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
(3)
(2)の不等式において
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=0\end{align*}}$
なので、はさみうちの原理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left(3-a_n\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\underline{\sf 3}\end{align*}}$
誘導がしっかりしているので問題ないでしょう。
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- 2016/01/30(土) 23:57:00|
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第5問
曲線y=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{1-x^2}\end{align*}}$ をC1、曲線y=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{1+x^2}\end{align*}}$ をC2とし、C1とC2の $\small\sf{\sf (x,\ y)=(0,\ 1)}$
以外の交点のx座標を±a （a＞0）とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) a2の値を求めよ。
(2) 0≦x≦aで2つの曲線C1、C2に囲まれた部分の面積をS1とする。また、
a≦x≦1で2つの曲線C1、C2と直線x=1に囲まれた部分の面積をS2と
する。S1とS2の大小を判定せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
C1とC2の(0，1)以外の交点のx座標が±aなので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{1-a^2}=\frac{1}{1+a^2}\end{align*}}$
両辺＞0より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1-a^2=\frac{1}{\left(1+a^2\right)^2}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a^6+a^4-a^2=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a^2\left(a^4+a^2-1\right)=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a^2=\underline{\sf \frac{-1+\sqrt5}{2}\ (>0)}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_1-S_2&=\sf \int_0^a\left(\sqrt{1-x^2}-\frac{1}{1+x^2}\right)dx-\int_a^1\left(\frac{1}{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}\right)dx\\ &=\sf \int_0^a\left(\sqrt{1-x^2}-\frac{1}{1+x^2}\right)dx+\int_a^1\left(\sqrt{1-x^2}-\frac{1}{1+x^2}\right)dx\\ &=\sf \int_0^1\left(\sqrt{1-x^2}-\frac{1}{1+x^2}\right)dx\\ &=\sf \int_0^1\sqrt{1-x^2}\ dx-\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\cos\theta\end{align*}}$ と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^1\sqrt{1-x^2}\ dx&=\sf \int_{\pi /2}^0\sqrt{1-\left(\cos\theta\right)^2}\cdot \left(-\sin\theta\right) d\theta\\ &=\sf -\int_{\pi /2}^0\sin^2\theta\ d\theta\\ &=\sf \frac{1}{2}\int_0^{\pi/ 2}\left(1-\cos 2\theta\right)d\theta\\ &=\sf \frac{1}{2}\bigg[\theta-\frac{1}{2}\sin 2\theta\bigg]_0^{\pi /2}\\ &=\sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$
一方、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\tan\theta\end{align*}}$ と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^1\frac{1}{1+x^2}\ dx&=\sf \int_0^{\pi /4}\frac{1}{1+\tan^2\theta}\cdot\frac{d\theta}{\cos^2\theta}\\ &=\sf \int_0^{\pi /4}d\theta\\ &=\sf \bigg[\ \theta\ \bigg]_0^{\pi /4}\\ &=\sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$
よって、 $\scriptsize\sf{\sf S_1-_2=0}$ より、 $\scriptsize\sf{\sf S_1=S_2}$ が成り立つ。
(2)の置換積分は有名な話ですね。
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- 2016/01/31(日) 23:57:00|
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