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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010滋賀医科大 数学1



第1問

  次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*}\sf y=|x^2-1|\end{align*}}$ のグラフを描け。

 (2) a、bを実数とする。xについての方程式
         $\small\sf{\begin{align*}\sf |x^2-1|-ax-b=0\end{align*}}$
    が異なる4つの実数解を持つような点(a,b)の範囲を図示せよ。

 (3) (2)の方程式の解をp、q、r、sとするとき、s-r=r-q=q-p
    が成り立つときのa、bを求めよ。




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  1. 2018/10/07(日) 01:09:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .滋賀医科大 2010
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2010滋賀医科大 数学2



第2問

  四面体OABCにおいて、
         $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OA}\bot\overrightarrow{\sf OB}\ ,\ \overrightarrow{\sf OA}\bot\overrightarrow{\sf BC}\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}\bot\overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$
  とする。

 (1) 三角形OAB、OAC、OBC、ABCはすべて直角三角形である
    ことを示せ。

 (2) OCの中点Mから平面ABCに下ろした垂線の足をNとする。
         $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CN}=s\overrightarrow{\sf CA}+t\overrightarrow{\sf CB}\end{align*}}$
    と表すときのs、tを、長さOA、OBで表せ。




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2010滋賀医科大 数学3



第3問

  次の問いに答えよ。

 (1) aを実数の定数、f(x)をすべての点で微分可能な関数とする。
    このとき次の等式を示せ.
         $\small\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)+a\ f(x)=e^{-ax}\bigg(e^{ax}f\ (x)\bigg)'\end{align*}}$
    ただし、’はxについての微分を表す。

 (2) (1)の等式を利用して、次の式を満たす関数f(x)で、f(0)=0
    となるものを求めよ.
         $\small\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)+2f(x)=\cos x\end{align*}}$

 (3) (2)で求めた関数f(x)に対して,数列 $\small\sf{\begin{align*}\sf \bigg\{\left|f\left(n\pi\right)\right|\bigg\}\end{align*}}$ (n=1,2,3,・・・)
    の極限値
         $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow \infty}\left|f\left(n\pi\right)\right|\end{align*}}$
    を求めよ.





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2010滋賀医科大 数学4



第4問

  2 回微分可能な関数f(x)、すなわちf(x)の導関数f’(x)及びf’(x)
  の導関数f”(x)が存在する関数が、すべての実数xについて
         $\small\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)>f\ ''(x)\end{align*}}$
  を満たしている。また、a<bとする。

 (1) $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{f\ '(a)}{e^a}>\frac{f\ '(b)}{e^b}\end{align*}}$ を示せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{f\ '(a)}{e^a}>\frac{f\ (b)-f\ (a)}{e^b-e^a}>\frac{f\ '(b)}{e^b}\end{align*}}$ を示せ。

 (3) すべての実数xについてf(x)>0であるとき、すべての実数xについて
         $\small\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)>f\ '(x)>0\end{align*}}$
    が成立することを示せ.




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2010滋賀医科大 数学5



第5問

  nを2以上の自然数として、階乗n!を素数の積で表すときに現れる2の個数を
  anとおく。すなわち $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{n!}{2^{a_n}}\end{align*}}$ は奇数である。

 (1) $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{\left(2n\right)!}{2^{n}n!}\end{align*}}$ は奇数であることを示せ。

 (2) a2n-anをnを用いて表せ。

 (3) n=2k (k は自然数) のとき、anをnを用いて表せ。

 (4) an<nを示せ。

 (5) $\small\sf{\begin{align*}\sf \sqrt[\sf n]{\sf n!}\end{align*}}$ は無理数であることを示せ。





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