第１問
平行六面体ABCD-EFGHにおいてADを2：1に内分する点をM、
FGを3：2に内分する点をNとする。対角線AGと平面HMNとの交
点をPとする。
$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AB}=\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf AD}=\overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf AE}=\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
とするとき，次の問いに答えよ。
(１) $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AH}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf HM}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf HN}\end{align*}}$ をそれぞれ $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(２) $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AP}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
MはADを2：1に内分する点、NはFGを3：2に内分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AH}=\overrightarrow{\sf AD}+\overrightarrow{\sf DH}=\underline{\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf HM}=\overrightarrow{\sf HD}+\overrightarrow{\sf DM}=\underline{-\overrightarrow{\sf c}-\frac{1}{3}\overrightarrow{\sf b}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf HN}=\overrightarrow{\sf HG}+\overrightarrow{\sf GN}=\underline{\overrightarrow{\sf a}-\frac{2}{5}\overrightarrow{\sf b}}\end{align*}}$
(２)
Pは平面HMN上の点なので、実数s、tを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf HP}&=\sf s\overrightarrow{\sf HM}+t\overrightarrow{\sf HN}\\ &=\sf s\left(-\overrightarrow{\sf c}-\frac{1}{3}\overrightarrow{\sf b}\right)+t\left(\overrightarrow{\sf a}-\frac{2}{5}\overrightarrow{\sf b}\right)\\ &=\sf t\overrightarrow{\sf a}-\left(\frac{1}{3}s+\frac{2}{5}t\right)\overrightarrow{\sf b}-s\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf AP}&=\sf \overrightarrow{\sf AH}+\overrightarrow{\sf HP} \\ &=\sf t\overrightarrow{\sf a}+\left(1-\frac{1}{3}s-\frac{2}{5}t\right)\overrightarrow{\sf b}+\left(1-s\right)\overrightarrow{\sf c} \end{align*}}$ ・・・・・・(ⅰ)
と表すことができる。
一方、Pは直線AG上の点でもあるので、実数Kを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AP}=k\overrightarrow{\sf AG}=k\overrightarrow{\sf a}+k\overrightarrow{\sf b}+k\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ ・・・・・・(ⅱ)
とも表すことができる。
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ は一次独立なので、(ⅰ)、(ⅱ)の係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf k=t=1-\frac{1}{3}s-\frac{2}{5}t=1-s\end{align*}}$
であり、これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s=\frac{3}{8}\ ,\ t=k=\frac{5}{8}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\overrightarrow{\sf AP}=\frac{5}{8}\left(\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}\right)}\end{align*}}$
これは難しくありません。
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第２問
3次関数f(x)=x3-3ax2 (a＞0)と、曲線C：y=f(x) (-∞＜x＜∞)
を考える。以下の問いに答えよ。
(１) y=f(x)の変曲点における接線の式を求めよ。
(２) 曲線Cはこの変曲点に関して対称であることを示せ。
(３) b、cは実数とする。3次方程式x3-3ax2=bx-cが3つの解をもち、
それらの解が等差数列をなすとき、cをa、bの式で表せ。
(４) (３)において、等差数列の公差が $\small\sf{\begin{align*}\sf 2\sqrt3\end{align*}}$ に等しいとする。このとき、
3次関数f(x)-bx+cの極値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
f(x)の第1次および第2次導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)=3x^2-6ax\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ ''(x)=6x-6a=6\left(x-a\right)\end{align*}}$
これより、f”(a)=0であり、x=aの前後でf”(x)の符号が変化するので、
y=f(x)の変曲点（Aとする）の座標は、(a，ｆ（ａ））=(a，-2a3)である。
よって、変曲点Aにおける接線の方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y-\left(-2a^3\right)=\left(3a^2-6a^2\right)\left(x-a\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{y=-3a^2x+a^3}\end{align*}}$
(２)
変曲点Aが原点Oと一致するように、曲線Cを平行移動させた曲線を
C’：y=F(x)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y-2a^3=\left(x+a\right)^3-3a\left(x+a\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=x^3-3a^2x\ (=F(x))\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf F(-x)=\left(-x\right)^3-3a^2\cdot\left(-x\right)=-\left(x^3-3a^2x\right)=-F(x)\end{align*}}$
なので、曲線C’は原点Oについて対称である。
平行移動して考えると、曲線Cは変曲点Aについて対称である。
(３)
関数h(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h(x)&=\sf f(x)-bx+c\\ &=\sf x^3-3ax^2-bx+c \end{align*}}$
とおく。方程式h(x)=0が3つの実数解ををもつとき、それらを
p、q、r （p＜q＜r）とおくと、解と係数の関係より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p+q+r=3a\end{align*}}$ ・・・・・・(ⅰ)
また、3数p、q、rは、この順で等差数列をなすので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q-p=r-q\ \ \Leftrightarrow\ \ p+r=2q\end{align*}}$ ・・・・・・(ⅱ)
(ⅰ)、(ⅱ)より、p、rを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q=a\end{align*}}$ ・・・・・・(ⅲ)
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h(q)=h(a)=a^3-3a^3-ab+c=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{c=2a^3+ab}\end{align*}}$
(４)
p、q、rは公差が $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2\sqrt3\end{align*}}$ の等差数列なので、(ⅲ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=a-2\sqrt3\ ,\ q=a\ ,\ r=a+2\sqrt3\end{align*}}$
であり、解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b&=\sf \left(a-2\sqrt3\right)a+a\left(a+2\sqrt3\right)+\left(a+2\sqrt3\right)\left(a-2\sqrt3\right)\\ &=\sf -3a^2+12\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c=\left(a-2\sqrt3\right)a\left(a+2\sqrt3\right)=-a^3+12a\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h(x)=x^3-3ax^2+\left(3a^2-12\right)x-a^3+12a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h\ '(x)=3x^2-6ax+3a^2-12=3\left(x-a-2\right)\left(x-a+2\right)\end{align*}}$
より、h(x)の増減は次のようになる。
また、h(x)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h(x)&=\sf \left(x-p\right)\left(x-q\right)\left(x-r\right)\\ &=\sf \left(x-a\right)\left(x-a-2\sqrt3\right)\left(x-a+2\sqrt3\right)\end{align*}}$
と変形できるので、これを利用して計算すると、
h(x)の極大値
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h\left(a-2\right)=-2\left(-2-2\sqrt3\right)\left(-2+2\sqrt3\right)=\underline{16}\end{align*}}$
h(x)の極小値
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h\left(a+2\right)=2\left(2-2\sqrt3\right)\left(2+2\sqrt3\right)=\underline{-16}\end{align*}}$
3次方程式の解と係数の関係を用いると、きれいな答案になります。
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第3問
座標平面上にP0(1，0)を取る。P0を通りy軸と平行な直線と曲線
$\small\sf{\begin{align*}\sf C:\ y=\frac{5x+3}{x+3}\end{align*}}$
との交点をP1(x1，y1)とする。次に、P1を通りx軸に平行な直線と
直線L： y=xとの交点をP2(x2，y2)とする。さらに、P2を通りy軸と
平行な直線とCとの交点をP3(x3，y3)とし、P3を通りx軸に平行な
直線と直線Lとの交点をP4(x4，y4)とする。以下この操作を続けて
点列P5(x5，y5)、P6(x6，y6)、・・・、Pn(xn，yn)、・・・ を定める。
このとき、次の問いに答えよ。
(１) 曲線Cのグラフを描け。また、その漸近線を求めよ。
(２) $\small\sf{\begin{align*}\sf z_n=\frac{x_{2n-1}-3}{x_{2n-1}+1}\end{align*}}$ とおくとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{z_{n+1}}{ｚ_{n}}\end{align*}}$ を求めよ。
(３) 数列{zn} はどのような数列か。また、その一般項znを求めよ。
(４) 数列{xn}の一般項xnを求めよ。さらに、極限 $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty} x_{n}\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
Cの式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf C:\ y=\frac{5x+3}{x+3}=5-\frac{12}{x+3}\end{align*}}$
と変形できるので、Cは2直線x=-3、y=5を漸近線とする
双曲線である（右図）。
(２)
P2n-1、P2n+1は曲線C上の点、P2nは直線L上の点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_{2n-1}\left(x_{2n-1}\ ,\ \frac{5x_{2n-1}+3}{x_{2n-1}+3}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_{2n}\left(x_{2n}\ ,\ x_{2n}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_{2n+1}\left(x_{2n+1}\ ,\ \frac{5x_{2n+1}+3}{x_{2n+1}+3}\right)\end{align*}}$
であり、P2n-1とP2nのy座標が等しく、P2nとP2n+1のx座標が等しいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x_{2n+1}=x_{2n}=\frac{5x_{2n-1}+3}{x_{2n-1}+3}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{z_{n+1}}{z_n}&=\sf \frac{x_{2n+1}-3}{x_{2n+1}+1}\cdot\frac{x_{2n-1}+1}{x_{2n-1}-3}\\ &=\sf \frac{\frac{5x_{2n-1}+3}{x_{2n-1}+3}-3}{\frac{5x_{2n-1}+3}{x_{2n-1}+3}+1}\cdot\frac{x_{2n-1}+1}{x_{2n-1}-3}\\ &=\sf \frac{2x_{2n-1}-6}{6x_{2n-1}+6}\cdot\frac{x_{2n-1}+1}{x_{2n-1}-3}\\ &=\sf \underline{\frac{1}{3}}\end{align*}}$
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_1=\frac{x_1-3}{x_1+1}=-1\ \ \ \left(\because\ x_1=x_0=1\right)\end{align*}}$
(２)より数列{zn}は公比 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ の等比数列なので、一般項は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{z_n=-\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}}\end{align*}}$
(４)
(３)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{x_{2n-1}-3}{x_{2n-1}+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -x_{2n-1}-1=3^{n-1}x_{2n-1}-3^n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{x_{2n-1}=\frac{3^n-1}{3^{n-1}+1}}\end{align*}}$
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}x_{2n-1}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3-\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}}{1+\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}}=3\end{align*}}$
一方、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x_{2n}&=\sf \frac{5x_{2n-1}+3}{x_{2n-1}+3}\\ &=\sf \frac{5\cdot\frac{3^n-1}{3^{n-1}+1}+3}{\frac{3^n-1}{3^{n-1}+1}+3}\\ &=\sf \frac{6\cdot 3^n-2}{2\cdot 3^n+2}\\ &=\sf \underline{\frac{3^{n+1}-1}{3^n+1}}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}x_{2n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}}{1+\left(\frac{1}{3}\right)^{n}}=3\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=\underline{3}\end{align*}}$
これも誘導がしっかりついています。
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第４問
ある感染症の対策について考える。感染症の防御のためには感染拡大の
試算が必要であり、感染拡大は自然にはその感染症の感染力と、致死性
によって予測される。感染経路は、飛沫、接触、飲食などいろいろあり、感
染力の制御、つまり感染を広げないために、ワクチン開発はもちろんであるが、
外出規制（イベントの自粛や学級閉鎖など ）、手洗い呼びかけなどが有効
である。
ここでは簡単のために、1つの感染症のみを考え、ある一定の集団（たとえば
1000人程度の島）を対象とし、外部との接触、出入りがないと仮定する。
最初の時点での過去感染者、未感染者、現在感染者の割合をそれぞれx0、
y0、z0とする。現在感染者は1か月後にはすべて過去感染者となり、一度
感染した人はもう感染しない。また幸いなことにこの感染により死者は生じず、
また簡単のために他要因による死者、あるいは出生、転入出もないとする。
1 か月ごとの変動を見ることとし、i か月後の時点の上記の割合をそれぞれxｉ、
yｉ、zｉで示す。症状は丁度1か月続くので、一人の人が現在感染者として
数えられるのは1回のみである。
過去感染者は、それまでの過去感染者に、1か月前の現在感染者を足した
ものである。また、現在感染者は、1か月前の未感染者と1か月前の現在感染
者の接触頻度と、この感染症の感染力によって決まる。接触頻度の係数をa、
感染力の係数をbとすると、現在感染者の割合は1か月前の現在感染者の割
合、未感染者の割合、a、bの4つをかけたもので求められる。
x0=0、y0=0.9、z0=0.1として、以下の問いに答えよ。計算は小数点以下第
4位を四捨五入して求めよ。
(１) xｉ、yｉ、zｉを、xｉ-1、yｉ-1、zｉ-1、a、bで表せ。
(２) a=1、b=1として、x1、y1、z1、x2、y2、z2、x3、y3、z3をそれぞれ求めよ。
(３) a=1、感染力の係数bを2とした時のx1、x2、x3を求めよ。
(４) 手洗いの徹底や外出規制が最初からなされたとして、a=0.5、b=1とした時
の、x1、x2、x3を求め、(２)、(３) の結果と共に、縦軸を過去感染者の割合、
横軸を時間として、3つの場合の変化を同一座標上にグラフで示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
過去感染者は、それまでの過去感染者に、1か月前の現在感染者を足した
ものなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{x_i=x_{i-1}+z_{i-1}}\end{align*}}$
現在感染者の割合は1か月前の現在感染者の割合、未感染者の割合、a、b
の4つをかけたもので求められるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{z_i=aby_{i-1}z_{i-1}}\end{align*}}$
全体の割合は1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y_i&=\sf 1-\left(x_{i}+z_{i}\right)\\ &=\sf \underline{1-x_{i-1}-z_{i-1}-aby_{i-1}z_{i-1}}\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x_1=x_0+z_0=\underline{0.1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_1=y_0z_0=\underline{0.09}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y_1=1-x_1+z_1=\underline{0.81}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x_2=x_1+z_1=\underline{0.19}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_2=y_1z_1=0.0729\fallingdotseq\underline{0.073}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y_2=1-x_2+z_2=0.7371\fallingdotseq\underline{0.737}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x_3=x_2+z_2=0.2629\fallingdotseq\underline{0.263}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_3=y_2z_2\fallingdotseq\underline{0.054}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y_3=1-x_3+z_3=0.7371\fallingdotseq\underline{0.683}\end{align*}}$
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x_1=x_0+z_0=\underline{0.1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_1=2y_0z_0=0.18\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y_1=1-x_1+z_1=0.72\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x_2=x_1+z_1=\underline{0.28}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_2=2y_1z_1=0.2592\fallingdotseq 0.259\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x_3=x_2+z_2=0.5392\fallingdotseq\underline{0.539}\end{align*}}$
(４)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x_1=x_0+z_0=\underline{0.1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_1=0.5y_0z_0=0.045\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y_1=1-x_1+z_1=0.855\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x_2=x_1+z_1=\underline{0.145}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf z_2=0.5y_1z_1=0.0192\ldots\fallingdotseq 0.019\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x_3=x_2+z_2=0.1642\ldots\fallingdotseq\underline{0.164}\end{align*}}$
右図は(２)～(４)のｘ1、ｘ2、ｘ3の値をグラフ化したものである。
問題文を読むだけで疲れてしまいますｗｗｗ
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