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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010浜松医科大学 数学1



第1問

  平行六面体ABCD-EFGHにおいてADを2:1に内分する点をM、
  FGを3:2に内分する点をNとする。対角線AGと平面HMNとの交
  点をPとする。
         $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AB}=\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf AD}=\overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf AE}=\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
  とするとき,次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AH}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf HM}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf HN}\end{align*}}$ をそれぞれ $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf AP}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を用いて表せ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/10/08(月) 01:15:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .浜松医科大  2010
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2010浜松医科大学 数学2



第2問

  3次関数f(x)=x3-3ax2 (a>0)と、曲線C:y=f(x) (-∞<x<∞)
  を考える。以下の問いに答えよ。

 (1) y=f(x)の変曲点における接線の式を求めよ。

 (2) 曲線Cはこの変曲点に関して対称であることを示せ。

 (3) b、cは実数とする。3次方程式x3-3ax2=bx-cが3つの解をもち、
    それらの解が等差数列をなすとき、cをa、bの式で表せ。

 (4) (3)において、等差数列の公差が $\small\sf{\begin{align*}\sf 2\sqrt3\end{align*}}$ に等しいとする。このとき、
    3次関数f(x)-bx+cの極値を求めよ。






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2010浜松医科大学 数学3



第3問

  座標平面上にP0(1,0)を取る。P0を通りy軸と平行な直線と曲線
         $\small\sf{\begin{align*}\sf C:\ y=\frac{5x+3}{x+3}\end{align*}}$
  との交点をP1(x1,y1)とする。次に、P1を通りx軸に平行な直線と
  直線L: y=xとの交点をP2(x2,y2)とする。さらに、P2を通りy軸と
  平行な直線とCとの交点をP3(x3,y3)とし、P3を通りx軸に平行な
  直線と直線Lとの交点をP4(x4,y4)とする。以下この操作を続けて
  点列P5(x5,y5)、P6(x6,y6)、・・・、Pn(xn,yn)、・・・ を定める。
  このとき、次の問いに答えよ。

 (1) 曲線Cのグラフを描け。また、その漸近線を求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*}\sf z_n=\frac{x_{2n-1}-3}{x_{2n-1}+1}\end{align*}}$ とおくとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{z_{n+1}}{z_{n}}\end{align*}}$ を求めよ。

 (3) 数列{zn} はどのような数列か。また、その一般項znを求めよ。

 (4) 数列{xn}の一般項xnを求めよ。さらに、極限 $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty} x_{n}\end{align*}}$ を求めよ。





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2010浜松医科大学 数学4



第4問

  ある感染症の対策について考える。感染症の防御のためには感染拡大の
  試算が必要であり、感染拡大は自然にはその感染症の感染力と、致死性
  によって予測される。感染経路は、飛沫、接触、飲食などいろいろあり、感
  染力の制御、つまり感染を広げないために、ワクチン開発はもちろんであるが、
  外出規制(イベントの自粛や学級閉鎖など )、手洗い呼びかけなどが有効
  である。
  ここでは簡単のために、1つの感染症のみを考え、ある一定の集団(たとえば
  1000人程度の島)を対象とし、外部との接触、出入りがないと仮定する。
  最初の時点での過去感染者、未感染者、現在感染者の割合をそれぞれx0
  y0、z0とする。現在感染者は1か月後にはすべて過去感染者となり、一度
  感染した人はもう感染しない。また幸いなことにこの感染により死者は生じず、
  また簡単のために他要因による死者、あるいは出生、転入出もないとする。
  1 か月ごとの変動を見ることとし、i か月後の時点の上記の割合をそれぞれx
  y、zで示す。症状は丁度1か月続くので、一人の人が現在感染者として
  数えられるのは1回のみである。
  過去感染者は、それまでの過去感染者に、1か月前の現在感染者を足した
  ものである。また、現在感染者は、1か月前の未感染者と1か月前の現在感染
  者の接触頻度と、この感染症の感染力によって決まる。接触頻度の係数をa、
  感染力の係数をbとすると、現在感染者の割合は1か月前の現在感染者の割
  合、未感染者の割合、a、bの4つをかけたもので求められる。
  x0=0、y0=0.9、z0=0.1として、以下の問いに答えよ。計算は小数点以下第
  4位を四捨五入して求めよ。

 (1) x、y、zを、xi-1、yi-1、zi-1、a、bで表せ。

 (2) a=1、b=1として、x1、y1、z1、x2、y2、z2、x3、y3、z3をそれぞれ求めよ。

 (3) a=1、感染力の係数bを2とした時のx1、x2、x3を求めよ。

 (4) 手洗いの徹底や外出規制が最初からなされたとして、a=0.5、b=1とした時
    の、x1、x2、x3を求め、(2)、(3) の結果と共に、縦軸を過去感染者の割合、
    横軸を時間として、3つの場合の変化を同一座標上にグラフで示せ。






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