第1問
座標空間内の8点O(0，0，0)、A(2，0，0)、B(2，2，0)、C(0，2，0)、
P(0，0，1)、Q(2，0，1)、R(2，2，1)、S(0，2，1)を頂点とする直方体
を考える。次の各問に答えよ。
(1) D=(x，y，1)を面PQRS上の点とするときベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$ をx、yおよび
ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$ がベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CQ}\end{align*}}$ と直交するための条件をx、yを用いて表せ。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$ ⊥$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CQ}\end{align*}}$ であるDの中で $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OD}|\end{align*}}$ が最小となるようなDを与えるx、yの
値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OD}&=\sf \left(x,y,1\right)\\ &=\sf \frac{x}{2}\left(2,0,0\right)+\frac{y}{2}\left(0,2,0\right)+\left(0,0,1\right)\\ &=\sf \underline{\ \frac{x}{2}\overrightarrow{\sf OA}+\frac{y}{2}\overrightarrow{\sf OC}+\overrightarrow{\sf OP}}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CQ}=\left(2,-2,1\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf OD}\bot\overrightarrow{\sf CQ}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \overrightarrow{\sf OD}\cdot\overrightarrow{\sf CQ}=2x-2y+1=0\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \underline{\ y=x+\frac{1}{2}}\end{align*}}$
(3)
(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf |\overrightarrow{\sf OD}|^2&=\sf x^2+y^2+1^2\\ &=\sf x^2+\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+1\\ &=\sf 2x^2+x+\frac{5}{4}\\ &=\sf 2\left(x+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{9}{8}\end{align*}}$
点Dは面PQRS上の点なので、$\scriptsize\sf{\sf 0\leqq x\leqq 2\ ,\ 0\leqq y\leqq 2}$ を満たす。
よって、ODが最小になるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x=0\ ,\ y=\frac{1}{2}}\end{align*}}$
の時である、
最後は変域に気をつけましょう。
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- 2016/01/13(水) 23:57:00|
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第2問
0＜a＜4とし、座標平面上の4点(0，0)、(a，0)、(a，4-a)、(0，4-a)を
頂点とする長方形の内部をＩaとする。y≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{x}\end{align*}}$ をみたすIaの点(x，y)全体の
なす図形の面積をS(a)とするとき、次の各問いに答えよ。
(1) S(a)をaを用いて表せ。
(2) S(a)の最大値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf O\left(0,0\right)\ ,\ A\left(a,0\right)\ ,\ B\left(a,4-a\right)\ ,\ C\left(0,4-a\right)\ ,\ f(x)=\frac{1}{x}\end{align*}}$ とおく。
(1)
(ⅰ) 点Bが領域y＜f(x)内にあるとき
aの値の範囲は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 4-a\leqq \frac{1}{a}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf a^2-4a+1\geqq 0\ \ \ \ \left(\because\ 0\lt a<4\right)\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 0\lt a<2-\sqrt3\ ,\ 2+\sqrt3\lt a<4\end{align*}}$
であり、長方形Ｉaはすべて、y≦f(x)を満たすので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(a)=a\left(4-a\right)\end{align*}}$
(ⅱ) 点Bが領域y≧f(x)内にあるとき
長方形Ｉaと曲線y=f(x)の位置関係は
右図のようになる。
辺BCと曲線y=f(x)の交点は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(\frac{1}{4-a}\ ,\ 4-a\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S(a)&=\sf \left(4-a\right)\cdot\frac{1}{4-a}+\int_{\frac{1}{4-a}}^a\frac{dx}{x}\\ &=\sf 1+\bigg[\log |x|\bigg]_{\frac{1}{4-a}}^a\\ &=\sf 1+\log a+\log\left(4-a\right)\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{S(a)=\left\{\begin{matrix}\sf a\left(4-a\right)\ \ \ \left(0\lt a<2-\sqrt3\ ,\ 2+\sqrt3\lt a<4\right)\\ \sf 1+\log a+\log\left(4-a\right)\ \ \ \left(2-\sqrt3\leqq a\leqq 2+\sqrt3\right)\end{matrix}\right.}\end{align*}}$
(2)
(1)で求めたS(a)の導関数は
(ⅰ)のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ '(a)=4-2a\end{align*}}$
(ⅱ)のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ '(a)=\frac{1}{a}-\frac{1}{4-a}=\frac{4-2a}{a\left(4-a\right)}\end{align*}}$
となるので、S(a)の増減は次のようになる。
よって、S(a)の最大値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(2)=1+\log 2+\log 2=\underline{1+2\log 2}\end{align*}}$
場合分けに気づきましょう！
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- 2016/01/14(木) 23:57:00|
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第3問A
行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 2 &\sf a \\ \sf b & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$ によって表される一次変換fによって、平面全体が直線y=mx
（m≠0）に移されているとき、次の各問に答えよ。
(1) a、bをmを用いて表し、原点を中心とする半径1の円周がfにより
どんな線分に移されるか答えよ。
(2) (1)で求めた線分の長さを最小にするmの値と、そのときの線分の
長さを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
座標平面上の点(X，Y)のｆによる像を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 2 &\sf a \\ \sf b & \sf 1 \end{pmatrix}\binom{X}{Y}=\binom{2X+aY}{bX+Y}\end{align*}}$
であり、これが直線y=mx上にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf bX+Y=m\left(2X+aY\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(b-2m\right)X+\left(1-am\right)Y=0\end{align*}}$ .
任意のX、Yに対して成り立つので、係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b-2m=1-am=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{a=\frac{1}{m}\ ,\ b=2m\ \ \ \left(\because\ m\ne 0\right)}\end{align*}}$
原点中心、半径1の円をCとすると、C上の点は実数tを用いて
(cosｔ，sinｔ)と表すことができ、この点のfによる像は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 2 &\sf \frac{1}{m} \\ \sf 2m & \sf 1 \end{pmatrix}\binom{\cos t}{\sin t}=\binom{2\cos t+\frac{1}{m}\sin t}{2m\cos t+\sin t}\end{align*}}$
である。このx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x&=\sf 2\cos t+\frac{1}{m}\sin t\\ &=\sf \sqrt{4+\frac{1}{m^2}}\ \sin\left(t+A\right)\ \ \ \ \left(\cos A=\frac{2}{\sqrt{4+\frac{1}{m^2}}}\ ,\ \sin A=\frac{1}{m\sqrt{4+\frac{1}{m^2}}}\right)\end{align*}}$
と変形でき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -1\leqq \sin\left(t+A\right)\leqq 1\end{align*}}$ なので、C上の点は線分
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{y=mx\ \ \ \left(-\sqrt{4+\frac{1}{m^2}}\leqq x\leqq \sqrt{4+\frac{1}{m^2}}\right)}\end{align*}}$
に移る。
(2)
(1)で求めた線分の長さをLとすると、傾きがmなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L&=\sf 2\sqrt{4+\frac{1}{m^2}}\cdot\sqrt{1^2+m^2}\\ &=\sf 2\sqrt{5+4m^2+\frac{1}{m^2}}\end{align*}}$
m2＞0なので、相加・相乗平均の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L&\geqq \sf 2\sqrt{5+2\sqrt{4m^2\cdot\frac{1}{m^2}}}\\ &=\sf 2\sqrt{5+2\sqrt4}\\ &=\sf 6\end{align*}}$ ．
等号成立は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4m^2=\frac{1}{m^2}\ \ \Leftrightarrow\ \ m^4=\frac{1}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ m=\pm\frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$
以上より、Lの最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{L_{min}=6\ \ \ \left(m=\pm\frac{1}{\sqrt2}\right)}\end{align*}}$
(2)は相加相乗平均に気づくと楽です。
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- 2016/01/15(金) 23:54:00|
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第3問B
次の各問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf a_1&\sf a_2 &\sf a_3 \\ \sf b_1 & \sf b_2 &\sf b_3 \\ \sf c_1 & \sf c_2 &\sf c_3 \end{pmatrix}\ ,\ B_1=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 &\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 &\sf 0 \end{pmatrix}\ ,\ B_2=\begin{pmatrix} \sf 0 &\sf 1 &\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 &\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 &\sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$ とおくとき、
AB1-B1AとAB2-B2Aを計算せよ。
(2) 3×3行列Aで、任意の3×3行列Bに対してAB=BAをみたすもの
をすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AB_1-B_1A&=\sf \begin{pmatrix} \sf a_1&\sf a_2 &\sf a_3 \\ \sf b_1 & \sf b_2 &\sf b_3 \\ \sf c_1 & \sf c_2 &\sf c_3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 &\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 &\sf 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 &\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 &\sf 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf a_1&\sf a_2 &\sf a_3 \\ \sf b_1 & \sf b_2 &\sf b_3 \\ \sf c_1 & \sf c_2 &\sf c_3 \end{pmatrix}\\ &=\sf \begin{pmatrix} \sf a_1&\sf 0&\sf 0 \\ \sf b_1 & \sf 0 &\sf 0 \\ \sf c_1 & \sf 0 &\sf 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \sf a_1&\sf a_2 &\sf a_3 \\ \sf 0 & \sf 0 &\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 &\sf 0 \end{pmatrix}\\ &=\sf \underline{\begin{pmatrix} \sf 0&\sf -a_2 &\sf -a_3 \\ \sf b_1 & \sf 0 &\sf 0 \\ \sf c_1 & \sf 0 &\sf 0 \end{pmatrix} }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AB_2-B_2A&=\sf \begin{pmatrix} \sf a_1&\sf a_2 &\sf a_3 \\ \sf b_1 & \sf b_2 &\sf b_3 \\ \sf c_1 & \sf c_2 &\sf c_3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 &\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 &\sf 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 &\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 &\sf 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf a_1&\sf a_2 &\sf a_3 \\ \sf b_1 & \sf b_2 &\sf b_3 \\ \sf c_1 & \sf c_2 &\sf c_3 \end{pmatrix}\\ &=\sf \begin{pmatrix} \sf 0&\sf a_1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf b_1 &\sf 0 \\ \sf 0 & \sf c_1 &\sf 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \sf b_1&\sf b_2 &\sf b_3 \\ \sf 0 & \sf 0 &\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 &\sf 0 \end{pmatrix}\\ &=\sf \underline{\begin{pmatrix} \sf -b_1&\sf a_1-b_2 &\sf -b_3 \\ \sf 0 & \sf b_1 &\sf 0 \\ \sf 0 & \sf c_1 &\sf 0 \end{pmatrix} }\end{align*}}$
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB_1=B_1A\ \ \Leftrightarrow\ \ a_2=a_3=b_1=c_1=0\end{align*}}$ ・・・・・・①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB_2=B_2A\ \ \Leftrightarrow\ \ b_1=b_3=c_1=0\ ,\ a_1=b_2\end{align*}}$ ・・・・・・②
一方、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B_3=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0&\sf 1 \\ \sf 0 & \sf 0 &\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 &\sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AB_3-B_3A&=\sf \begin{pmatrix} \sf a_1&\sf a_2 &\sf a_3 \\ \sf b_1 & \sf b_2 &\sf b_3 \\ \sf c_1 & \sf c_2 &\sf c_3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0&\sf 1 \\ \sf 0 & \sf 0 &\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 &\sf 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0&\sf 1 \\ \sf 0 & \sf 0 &\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 &\sf 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf a_1&\sf a_2 &\sf a_3 \\ \sf b_1 & \sf b_2 &\sf b_3 \\ \sf c_1 & \sf c_2 &\sf c_3 \end{pmatrix}\\ &=\sf \begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0&\sf a_1 \\ \sf 0 & \sf 0 &\sf b_1 \\ \sf 0 & \sf 0 &\sf c_1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \sf c_1&\sf c_2 &\sf c_3 \\ \sf 0 & \sf 0 &\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 &\sf 0 \end{pmatrix}\\ &=\sf \begin{pmatrix} \sf -c_1&\sf -c_2 &\sf a_1-c_3 \\ \sf 0 & \sf 0 &\sf b_1 \\ \sf 0 & \sf 0 &\sf c_1 \end{pmatrix} \end{align*}}$
より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB_3=B_3A\ \ \Leftrightarrow\ \ b_1=c_1=c_2=0\ ,\ a_1=c_3\end{align*}}$ ・・・・・・③
これらより、3×3行列Aが、任意の3×3行列Bに対してAB=BAを満たす
ためには、条件①、②、③を満たす必要がある。
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf a&\sf 0 &\sf 0 \\ \sf 0 & \sf a &\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 &\sf a \end{pmatrix}\ ,\ B=\begin{pmatrix} \sf p&\sf q&\sf r \\ \sf s & \sf t &\sf u \\ \sf v & \sf w &\sf x \end{pmatrix}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AB-BA&=\sf \begin{pmatrix} \sf a&\sf 0 &\sf 0 \\ \sf 0 & \sf a &\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 &\sf a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf p&\sf q&\sf r \\ \sf s & \sf t &\sf u \\ \sf v & \sf w &\sf x \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \sf p&\sf q&\sf r \\ \sf s & \sf t &\sf u \\ \sf v & \sf w &\sf x \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf a&\sf 0 &\sf 0 \\ \sf 0 & \sf a &\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 &\sf a \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \sf ap&\sf aq&\sf ar \\ \sf as & \sf at &\sf au \\ \sf av & \sf aw &\sf ax \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \sf ap&\sf aq&\sf ar \\ \sf as & \sf at &\sf au \\ \sf av & \sf aw &\sf ax \end{pmatrix}\\ &=\sf \begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 &\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 &\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 &\sf 0 \end{pmatrix} \end{align*}}$
なので、AB=BAが成り立つ。
以上より、題意を満たす行列Aは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{ A=\begin{pmatrix} \sf a&\sf 0 &\sf 0 \\ \sf 0 & \sf a &\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 &\sf a \end{pmatrix}}\end{align*}}$ （aは任意の数）
である。
結果は予想できますが。
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- 2016/01/15(金) 23:57:00|
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第4問
$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt x\lt\frac{1}{2}\end{align*}}$ とする。一辺の長さが1の正方形の紙の4つのすみから一辺の
長さがxの正方形を切り取りふたのない箱Aを作る。さらに、切り取った一
辺の長さがxの正方形の4つのすみをそれぞれ切り取り、Aと相似なふたの
ない箱Bi （i=1，2，3，4）を作る。次の各問に答えよ。
(1) 箱Aの容積f(x)を最大にするxの値aを求めよ。
(2) 箱B1の容積$\small\sf{\sf g(x)}$ を最大にするxの値bを求めよ。
(3) 方程式$\small\sf{\sf f'(x)+4g'(x)=0}$ が区間a＜x＜bに解をもつことを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
Aは、一辺$\scriptsize\sf{\sf 1-2x}$ の正方形を底面とし、高さがxの箱なので
その容積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=x\left(1-2x\right)^2=4x^3-4x^2+x\end{align*}}$ ．
xで微分すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=12x^2-8x+1=\left(6x-1\right)\left(2x-1\right)\end{align*}}$
なので、増減は次のようになる。
よって、最大値をとるときのxの値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{a=\frac{1}{6}}\end{align*}}$
(2)
BはAと相似（相似比A:B=1:x)なので、底面が一辺$\scriptsize\sf{\sf x(1-2x)}$ の正方形、
高さがx2の箱である。
よって、その容積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(x)=x^2\left\{x\left(1-2x\right)\right\}^2=4x^6-4x^5+x^4\end{align*}}$ ．
xで微分すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(x)=24x^5-20x^4+4x^3=4x^3\left(3x-1\right)\left(2x-1\right)\end{align*}}$
なので、増減は次のようになる。
よって、最大値をとるときのxの値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{b=\frac{1}{3}}\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h(x)=f\ '(x)+4g\ '(x)\end{align*}}$
とおくと、(1)、(2)の増減表より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h(a)=f\ '(a)+4g\ '(a)=0+4g\ '\left(\frac{1}{6}\right)>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h(b)=f\ '(b)+4g\ '(b)=f\ '\left(\frac{1}{3}\right)+0<0\end{align*}}$ ．
h(x)は区間$\scriptsize\sf{\sf a\lt x\lt b}$ で連続なので、中間値の定理より、
方程式$\scriptsize\sf{\sf h(x)=0}$ は区間$\scriptsize\sf{\sf a\lt x\lt b}$ に実数解をもつ。
そんなに難しくないですね。
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- 2016/01/16(土) 23:57:00|
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第5問
A地点からB地点まで0または1の一文字からなる信号を送る。A地点と
B地点の間に中継点を $\small\sf{\sf 2n-1}$ 箇所作りAB間を2n個の小区間に分割する
と、一つの区間において0と1が逆転して伝わる確率は $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4n}\end{align*}}$ である。
このときA地点を発した信号0がB地点に0として伝わる確率をP2nとする。
次の各問に答えよ。
(1) 偶数回の逆転があると、A地点を発した信号0がB地点に0として伝わる
ことに注意してP2を求めよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(a+b\right)^{2n}+\left(a-b\right)^{2n}=2\sum_{k=0}^n\ _{2n}C_{2k}a^{2n-2k}b^{2k}\end{align*}}$ を示せ．
(3) P2nを求めよ。
(4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}P_{2n}\end{align*}}$ を求めよ．
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
逆転の回数が0回または2回であればよいので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_2=\left(1-\frac{1}{4}\right)^2+\left(\frac{1}{4}\right)^2=\underline{\frac{5}{8}}\end{align*}}$
(2)
二項定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(a+b\right)^{2n}&=\sf \sum_{k=0}^{2n}\ _{2n}C_ka^{2n-k}b^k\\ &=\sf \sum_{k=0}^{n}\left( _{2n}C_{2k-1}a^{2n-2k+1}b^{2k-1}+_{2n}C_{2k}a^{2n-2k}b^{2k}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(a-b\right)^{2n}&=\sf \sum_{k=0}^{2n}\ _{2n}C_ka^{2n-k}(-b)^k\\ &=\sf \sum_{k=0}^{n}\left(- _{2n}C_{2k-1}a^{2n-2k+1}b^{2k-1}+_{2n}C_{2k}a^{2n-2k}b^{2k}\right)\end{align*}}$
となり、これらを辺々加えると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(a+b\right)^{2n}+\left(a-b\right)^{2n}=2\sum_{k=0}^n\ _{2n}C_{2k}a^{2n-2k}b^{2k}\end{align*}}$
を得る。
(3)
偶数回（0回も含める）の逆転があると、A地点を発した信号0が
B地点に0として伝わる。
2n回の伝達のうち 2k回$\scriptsize\sf{\sf （k=0,1,\cdots ,n）}$ の逆転が起こる確率は、
順序も考慮に入れると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _{2n}C_{2k}\left(1-\frac{1}{4n}\right)^{2n-2k}\left(\frac{1}{4n}\right)^{2k}\end{align*}}$
なので、(2)の等式を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_{2n}&=\sf \sum_{k=0}^n\ _{2n}C_{2k}\left(1-\frac{1}{4n}\right)^{2n-2k}\left(\frac{1}{4n}\right)^{2k}\\ &=\sf \frac{1}{2}\bigg\{\left(1-\frac{1}{4n}+\frac{1}{4n}\right)^{2n}+\left(1-\frac{1}{4n}-\frac{1}{4n}\right)^{2n}\bigg\}\\ &=\sf \underline{\frac{1}{2}\bigg\{1+\left(1-\frac{1}{2n}\right)^{2n}\bigg\}}\end{align*}}$
(4)
(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}P_{2n}&=\sf \frac{1}{2}\lim_{n\rightarrow\infty}\bigg\{1+\left(1-\frac{1}{2n}\right)^{2n}\bigg\}\\ &=\sf \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\lim_{n\rightarrow\infty}\bigg\{\left(1-\frac{1}{2n}\right)^{-2n}\bigg\}^{-1}\\ &=\sf \underline{\frac{1}{2}+\frac{1}{2e}}\end{align*}}$
しっかり誘導がついているので、問題ないと思います。
最後は、ネイピア数の定義ですが、大丈夫ですか？
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- 2016/01/17(日) 23:57:00|
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