青木ゼミ青木大学入試(数学)　.センター試験　ⅠA　2011

2011　センター試験　数学ⅠA　１[１]

新年あけましておめでとうございます。
今年もどうぞよろしくお願いいたします。

というわけで、センター試験まであと２週間ですので、
新年一発目は、去年のセンターでも解いてみることにします。
といっても、実際に解いたのは、ずっと前なのですが･･･

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　まずは、分母の有利化ですが、こんな問題はマジメに計算しちゃダメですよ。
　　ａもｂも符号だけ変えておしまいです。　　

　　　　　　　 $\rm \frac{1}{a}=3-2\sqrt2$ 　　･･････アイウ
　　　　　　　 $\rm \frac{1}{b}=2-\sqrt3$ 　　･･････エオ

　　いきなり乱暴な話から始まりましたが、空欄の形を見ると、
　　分母がないので、そのままマークしちゃいましょうｗｗ　
　　まぁ、念のために頭の中で、
　　　　　 $\rm {\color{blue} 3^2-\left(2\sqrt2\right)^2=1\ \ ,\ \ 2^2-\left(\sqrt3\right)^2=1}$
　　とだけ確認しておけばＯＫですね。　

　　さて、次はと････　そのまま計算すればいい感じですね。
　　上からの流れですから、通分なんて論外です。　

　　　　　　　 $\rm \frac{a}{b}-\frac{b}{a}=a\times\frac{1}{b}-b\times\frac{1}{a}$
　　　　　　　　　　 $\rm =\left(3+2\sqrt2\right) \left(2-\sqrt3\right)- \left(3-\sqrt2\right)\left(2+\sqrt3\right)$
　　　　　　　　　　 $\rm =2\left(4\sqrt2-3\sqrt3\right)$
　　　　　　　　　　 $\rm =8\sqrt2-6\sqrt3$ 　　･･････カキクケ

　　そのまま計算するといっても、もちろん無駄な計算は省略できるに
　　越したことありません。
　　符号が微妙に違うだけの２式の差を考えるわけですから、
　　消えてしまうであろう項(6と $\rm {\color{blue}-2\sqrt6 }$ )は初めから無視です。
　　ここまでは、せいぜい２分ぐらいでしょうか。

　　どんどん行きましょう、と思いきや、絶対値のついた不等式です。
　　これは、みんなイヤですよね＾＾；；

　　　　与式の絶対値を外すと、
　　　　　　　　　 $\rm -b^2<2abx-a^2<b^2$ 　
　　　　　　　 $\rm\Leftrightarrow\ \ a^2-b^2<2abx<a^2+b^2$ 　
　　　　各辺を2ab（＞０）で割ると、
　　　　　　　　　 $\rm \frac{1}{2}\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)<x<\frac{1}{2}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)$ 　

　　コサシスは上の結果がそのまま使えますが、セソタは別で計算
　　しなければなりませんね。

　　　　　　　 $\rm \frac{a}{b}+\frac{b}{a} =\left(3+2\sqrt2\right) \left(2-\sqrt3\right)+\left(3-\sqrt2\right)\left(2+\sqrt3\right)$
　　　　　　　　　　 $\rm =2\left(6-2\sqrt6\right)$
　　　　以上より、
　　　　　　　　　 $\rm 4\sqrt2-3\sqrt3<x<6-2\sqrt6$ 　　･･････コサシスセソタ

　　先が長いので、ここはサクッと片付けましょう。
　　５分以内に処理したいものです。
　　

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2012/01/01(日) 23:54:00|

大学入試(数学)　.センター試験　ⅠA　2011

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2011　センター試験　数学ⅠA　１[２]

第１問の続きです。
先ほどの解答は、さすがに乱暴すぎるので、以下はもう少しだけ丁寧に解くことにします。

　　　　　　

解答はこちら↓

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【解答】

　　(１)
　　　　ｐもｑもなんだかよく分からない式ですので、とりあえずそのままの形で
　　　　使うことにします。展開してもキレイになりそうにありませんもんね。
　　　　「ｑ⇒ｐ」の反例となるのは、ｑは満たすがｐを満たさないものです。　　

　　　　条件をｐおよびｑにそれぞれ代入していくと、
　　　　　　③のａ＝１、ｂ＝１は、ｐを満たさず、ｑを満たす。
　　　　よって、③が「ｑ⇒ｐ」の反例となる。　･･････チ

　　(２)
　　　　命題「ｐ⇒ｑ」の対偶は「ｑ⇒ｐ」である。
　　　　ｐ：(ａ＋ｂ)²＋(ａ－２ｂ)²＜５　の否定は、
　　　　ｐ：(ａ＋ｂ)²＋(ａ－２ｂ)²≧５

　　　　ｑ：|ａ＋ｂ|＜１または |ａ－２ｂ|＜２　の否定は
　　　　ｑ：|ａ＋ｂ|≧１かつ |ａ－２ｂ|≧２

　　　　よって、命題「ｐ⇒ｑ」の対偶は「④⇒⑦」　･･････ツテ

　　　　「＞」の否定は「≦」、「または」の否定は「かつ」ですね。　　

　　(３)
　　　　(１)より、「ｑ⇒ｐ」は偽である。
　　　　「ｐ⇒ｑ」については、対偶を考える。
　　　　　　　|ａ＋ｂ|≧１より (ａ＋ｂ)²≧１
　　　　　　　|ａ－２ｂ|≧２　より (ａ－２ｂ)²≧４
　　　　よって、(ａ＋ｂ)²＋(ａ－２ｂ)²≧５
　　　　となるので、ｑ⇒ｐは真であり、ｐ⇒ｑも真である。

　　　　以上より、ｐはｑの十分条件であるが、必要条件ではない。②　･･････ト
　　　　　　

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2012/01/01(日) 23:57:00|

大学入試(数学)　.センター試験　ⅠA　2011

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2011　センター試験　数学ⅠA　２

正月もなかなか忙しいです。

　　　　　　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　この段階ではまだ平方完成しなくても、
　　　　軸の方程式はｘ²の係数とｘの係数の比だけで決まります。　　

　　　　　　　 $\rm a:b=(-3):12b\ \ \Leftrightarrow\ \ a=-\frac{1}{4}$ 　･･････アイウ
　　　　①にＧ(1，2ｂ－1)を代入すると、
　　　　　　　　2ｂ－1＝ａ＋ｂ＋ｃ　⇔　ｃ＝ｂ－1－ａ
　　　　これにアイウを代入すると、
　　　　　　　 $\rm c=b-\frac{3}{4}$ 　･･････エオ

　　　　このとき、Ｇの方程式は、
　　　　　　　 $\rm y=-\frac{1}{4}x^2+bx+b-\frac{3}{4}$
　　　　　　　　 $\rm =-\frac{1}{4}\left(x^2-4bx\right)+b-\frac{3}{4}$
　　　　　　　　 $\rm =-\frac{1}{4}\left(x-2b\right)^2+b^2+b-\frac{3}{4}$
　　　　となり、右辺をｆ(ｘ)とおく。

　　　　どうせあとで使うでしょうから平方完成しておきます。　　

　　(１)
　　　　Ｇのグラフは上に凸な放物線なので、Ｇのｙ座標＞０であれば、
　　　　ｘ軸と異なる２点で交わる。　
　　　　　　　　 $\rm b^2+b-\frac{3}{4}>0$
　　　　　　 $\rm \Leftrightarrow\ \ 4b^2+4b-3=(2b+3)(2b-1)>0$
　　　　　　 $\rm \Leftrightarrow\ \ b<-\frac{3}{2}\ \ ,\ \ \frac{1}{2}<b$ 　･･････カキクケコ

　　　　グラフの軸とｙ切片の符号を考えるか、解と係数の関係を使うか
　　　　迷うところではありますが、まぁどっちでも同じぐらいの手間ですかね。　

　　　　ｆ(ｘ)＝０の２解をｐ、ｑとすると、解と係数の関係より
　　　　　　　ｐ＋ｑ＝４ｂ＞０　⇔　ｂ＞０
　　　　　　　ｐｑ＝－４ｂ＋３＞０　⇔　 $\rm b<\frac{3}{4}$
　　　　これらと上で求めたカキクケコより、
　　　　　　　　　　 $\rm \frac{1}{2}<b<\frac{3}{4}$ 　･･････サシスセ

　　(２)
　　　　ｂ＞０より軸ｘ＝２ｂ＞ｂなので、
　　　　０≦ｘ≦ｂにおける最小値は、
　　　　　　　 $\rm f\ (0)=b-\frac{3}{4}=-\frac{1}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ b=\frac{1}{2}$ 　･･････ソタ

　　　　一方、ｂ≦ｘにおける最大値は、
　　　　　　　 $\rm f\ (2b)=b^2+b-\frac{3}{4}=3\ \ \Leftrightarrow\ \ 4b^2+4b-15=(2b+5)(2b-3)=0$ 　
　　　　　　　 $\rm \Leftrightarrow\ \ b=\frac{3}{2}\ (>0)$ 　･･････チツ
　　　　　　
　　　　これらのｂの値に対して、Ｇ₁およびＧ₂の頂点の座標は
　　　　　　　(１，０)、(３，３)
　　　　となるので、Ｇ₂はＧ₁を
　　　　ｘ軸方向に２、ｙ軸方向に３だけ平行移動したものである。　･････テト

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2012/01/02(月) 23:57:00|

大学入試(数学)　.センター試験　ⅠA　2011

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2011　センター試験　数学ⅠA　３

今日は、大昔の卒業生が家に遊びに来てくれました。
みんな頑張っているようなので、私も負けてはいられません。

　　　　　　

解答はこちら↓

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【解答】

　　(１)
　　　　内接四角形の問題ですので、まぁワンパターンでしょう。
　　　　まずは、余弦定理２連発から。　　　

　　　　　　 $\rm x^2=\left(\sqrt7\right)^2+\left(2\sqrt7\right)^2-2\cdot \sqrt7\cdot 2\sqrt7\ \cos \theta$
　　　　　　　 $\rm =35-28\cos \theta$ 　･･････アイ
　　　　　　 $\rm x^2=\left(\sqrt3\right)^2+\left(2\sqrt3\right)^2-2\cdot \sqrt3\cdot 2\sqrt3\ \cos \left(180-\theta\right)$
　　　　　　　 $\rm =15+12\cos \theta$ 　･･････ウエ

　　　　上の２式を連立させて解くと、
　　　　　　 $\rm \cos \theta=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ x=\sqrt{21}$ 　･･････オカキク

　　　　この時点で、θ＝60°、△ＡＢＣが１：２： $\rm {\color{blue}\sqrt3}$ の直角三角形と気づこう！　　　　　

　　　　というわけで、円Ｏの半径は $\rm \ \sqrt{3}$ 　･･････ケ
　　　　四角形ＡＢＣＤ＝△ＡＢＣ＋△ＡＣＤなので、
　　　　　　　 $\rm \frac{1}{2}\cdot\sqrt7\cdot 2\sqrt7\ \cos 60^{\circ}+\frac{1}{2}\cdot\sqrt3\cdot 2\sqrt3\ \cos 120^{\circ}=5\sqrt3$ 　･･････コサ

　　(２)
　　　　ＡＥ、ＤＥが円Ｏの接線なので、
　　　　　　　　　　∠ＯＡＥ＝90° ･･････シス
　　　　　　　　　　∠ＡＦＥ＝90° ･･････セソ

　　　　△ＯＡＦ∽△ＯＥＡより、
　　　　　　　　　　ＯＡ：ＯＥ＝ＯＦ：ＯＡ
　　　　　　　　⇔　ＯＥ･ＯＦ＝ＯＡ²＝７･･････タ

　　　　∠ＥＦＧ＝∠ＥＨＧ＝90°なので、
　　　　円周角の定理の逆より
　　　　４点Ｅ、Ｇ、Ｆ、Ｈは同一円周上にある。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②･･････チ

　　　　方べきの定理より、
　　　　　　　　ＯＨ･ＯＧ＝ＯＥ･ＯＦ＝７･････ツ
　　　　　　　

　　　　(２)の説明が雑でスミマセン。
　　　　でもまぁ、そんなに難しくないので、そのまま誘導に乗っていけばＯＫでしょ。　　

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2012/01/03(火) 23:57:00|

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2011　センター試験　数学ⅠA　４

明日からまた講習会ですね。
うーーん、完全に正月ボケですね････

　　　　　　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　まぁ、アイウエは問題ないでしょう。　　
　　　　　　 $\rm p=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\ \ ,\ \ q=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ 　･････アイウエ

　　　　以下、４以下の目が出る事象をＰ、５以上の目が出る事象をＱと書くことにする。

　　(１)
　　　　【事象Ａ】８回のうち、Ｐが３回、Ｑが５回
　　　　　　　　₈Ｃ₃ ｐ³ｑ⁵＝56 ｐ³ｑ⁵　･････アイ

　　　　【事象Ｂ】１回目がＰで、残り７回のうちＰが２回、Ｑが５回
　　　　　　　　ｐ×₇Ｃ₂ ｐ²ｑ⁵＝21 ｐ³ｑ⁵　･････ウエ

　　　　【事象Ｃ】１回目がＱで、残り７回のうちＰが３回、Ｑが４回
　　　　　　　　ｑ×₇Ｃ₃ ｐ³ｑ⁴＝35 ｐ³ｑ⁵　･････オカ

　　(２)
　　　　(１)で、【事象Ａ】＝【事象Ｂ】∪【事象Ｂ】となるので、
　　　　　　　₈Ｃ₃＝₇Ｃ₂＋₇Ｃ₃
　　　　（実際に、56＝21＋35になる！）
　　　　　また、₇Ｃ₂＝₇Ｃ₅ 、　₇Ｃ₃＝₇Ｃ₄
　　　　　よって、求める解は　②、⑥　･････サシ

　　(３)
　　　　まず、７点以上はありえない。

　　　　・６点
　　　　　　　　ＱＱＱＱＱＰＰＰ
　　　　　　の順に起こればよいので、
　　　　　　確率は、ｐ³ｑ⁵ ･･････スセ

　　　　・５点
　　　　　　　　ＱＱＱＱＰ□□□　　（□□□部分は、Ｐ２回、Ｑ１回）
　　　　　　の順に起こればよいので、
　　　　　　確率は、ｑ⁴ｐ×₃Ｃ₂ｐ²ｑ＝３ｐ³ｑ⁵

　　　　・４点
　　　　　　　　ＱＱＱＰ□□□□　　（□□□□部分は、Ｐ２回、Ｑ２回）
　　　　　　の順に起こればよいので、
　　　　　　確率は、ｑ³ｐ×₄Ｃ₂ｐ²ｑ²＝６ｐ³ｑ⁵

　　　　・３点
　　　　　　　　ＱＱＰ□□□□□　　（□□□□□部分は、Ｐ２回、Ｑ３回）
　　　　　　の順に起こればよいので、
　　　　　　確率は、ｑ²ｐ×₅Ｃ₂ｐ²ｑ³＝10ｐ³ｑ⁵　･･････ソタ

　　　　・２点
　　　　　　　　ＱＰ□□□□□□　　（□□□□□□部分は、Ｐ２回、Ｑ４回）
　　　　　　の順に起こればよいので、
　　　　　　確率は、ｑｐ×₆Ｃ₂ｐ²ｑ⁴＝15ｐ³ｑ⁵

　　　　・１点
　　　　　　　　これは(１)の【事象Ｂ】なので、
　　　　　　確率は、21ｐ³ｑ⁵

　　　　よって、得点の期待値は
　　　　　　(６･１＋５･３＋４･６＋３･10＋２･15＋１･21)ｐ³ｑ⁵＝126ｐ³ｑ⁵
　　　　これにｐ、ｑの値を代入すると、
　　　　　　 $\rm \frac{112}{729}$ 　･･････チツテトナニ

　　　あぁ、面倒くさい･････　　

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2012/01/04(水) 23:57:00|

大学入試(数学)　.センター試験　ⅠA　2011

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