第1問
2の倍数でも3の倍数でもない自然数全体を小さい順に並べて
できる数列をa1、a2、a3、……、an、……とする。このとき次の
各問いに答えよ。
(1) 1003は数列{an}の第何項か。
(2) $\small{\sf a_2000}}$ の値を求めよ。
(3) mを自然数とするとき、数列{an}の初項から第2m項までの和
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
数列{an}は、6で割って1または5余る数の列なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=a_{2n-1}\ \ ,\ \ c_n=a_{2n}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \{b_n\}:\ 1,7,13,19,\ldots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \{c_n\}:\ 5,11,17,23,\ldots\end{align*}}$
ともに公差6の等差数列になるので、一般項はそれぞれ、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=1+6\left(n-1 \right)=6n-5\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_n=5+6\left(n-1 \right)=6n-1\end{align*}}$
となる。
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1003&=\sf 167\times 6+1\\ &=\sf 6\times 168-5\\ &=\sf b_{168}\\ &=\sf a_{335} \end{align*}}$
よって、1003は数列{an}の第335項である。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{2000}&=\sf c_{1000}\\ &=\sf 6\times 1000-1\\ &=\sf \underline{\ 5999\ }\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^{2m}\ a_k &=\sf \sum_{k=1}^{m}\left(b_k+c_k \right)\\ &=\sf \sum_{k=1}^{m}\bigg\{\left(6k-5 \right)+\left(6k-1 \right)\bigg\}\\ &=\sf \sum_{k=1}^{m}\left(12k-6 \right)\\ &=\sf 12\cdot\frac{1}{2}m\left(m+1 \right)+6m\\ &=\sf \underline{\ 6m^2}\end{align*}}$
基本的な問題です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2016/01/11(月) 23:54:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 文系 1999
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第2問
合同な平行四辺形を平面にしきつめて、図のように2組の平行線
からなる格子を作り、その各交点を格子点と呼ぶ。
図のような3つの格子点O、A、Bについて、$\small\sf{\begin{align*} \sf \left| \overrightarrow{\sf OA}\right|^2,\left| \overrightarrow{\sf OB}\right|^2,\left| \overrightarrow{\sf AB}\right|^2\end{align*}}$ は
すべて整数であるとする。このとき、どの2つの格子点P、Qに対し
ても $\small\sf{\begin{align*} \sf \left| \overrightarrow{\sf PQ}\right|^2\end{align*}}$ は整数となることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
まず
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left| \overrightarrow{\sf AB}\right|^2=\left|\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OA} \right|^2=\left|\overrightarrow{\sf OA} \right|^2+2\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}+\left|\overrightarrow{\sf OB} \right|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=\left| \overrightarrow{\sf AB}\right|^2-\left|\overrightarrow{\sf OA} \right|^2-\left|\overrightarrow{\sf OB} \right|^2\end{align*}}$ ……(#)
である。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ は一次独立なので、格子点P、Qは整数x1、y1、x2、y2を
用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=x_1\overrightarrow{\sf OA}+y_1\overrightarrow{\sf OB}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OQ}=x_2\overrightarrow{\sf OA}+y_2\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
と表すことができる。
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=x_2-x_1\ ,\ Y=y_2-y_1\end{align*}}$
とおくと、(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf PQ} \right|^2&=\sf \left|\overrightarrow{\sf OQ}-\overrightarrow{\sf OP} \right|^2\\ &=\sf \left|\left(x_2-x_1 \right)\overrightarrow{\sf OA}+\left(y_2-y_1 \right)\overrightarrow{\sf OB} \right|^2\\ &=\sf \left|X\overrightarrow{\sf OA}+Y\overrightarrow{\sf OB}\right|^2 \\ &=\sf X^2\left|\overrightarrow{\sf OA} \right|^2+2XY\ \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}+Y^2\left|\overrightarrow{\sf OB} \right|^2\\ &=\sf X^2\left|\overrightarrow{\sf OA} \right|^2+XY\left(\left| \overrightarrow{\sf AB}\right|^2-\left|\overrightarrow{\sf OA} \right|^2-\left|\overrightarrow{\sf OB} \right|^2 \right)+Y^2\left|\overrightarrow{\sf OB} \right|^2\\ &=\sf \left(X^2-XY \right)\left|\overrightarrow{\sf OA} \right|^2+\left(Y^2-XY \right)\left|\overrightarrow{\sf OB} \right|^2+XY\left|\overrightarrow{\sf AB} \right|^2\end{align*}}$
と表せる。
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left| \overrightarrow{\sf OA}\right|^2,\left| \overrightarrow{\sf OB}\right|^2,\left| \overrightarrow{\sf AB}\right|^2\end{align*}}$ およびX、Yは整数なので、任意の格子点
P、Qに対して$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf PQ} \right|^2\end{align*}}$ は整数となる。
恒例の格子点に関する問題です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2016/01/11(月) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 文系 1999
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第3問
a、b、c、dは実数として、xの整式$\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*} \sf g(x)\end{align*}}$ が以下の条件を
みたしているとする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)+g\ (x)=ax^3+bx^2+cx+d\end{align*}}$ ……①
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)+g\ '(x)=bx^2+cx+d\end{align*}}$ ……②
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_a^x\bigg\{f\ (t)-g\ (t)\bigg\}dt=x^3-ax^2+ax-2\end{align*}}$ ……③
このとき$\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf g(x)\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
③にx=aを代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_a^a\bigg\{f\ (t)-g\ (t)\bigg\}dt=a^3-a^3+a^2-2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0=a^2-2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=\pm\sqrt2\end{align*}}$ ……④
①の両辺をxで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)+g\ '(x)=3ax^2+2bx+c\end{align*}}$
となり、②と係数を比較すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{\begin{matrix} \sf 3a=b\\ \sf 2b=c\\ \sf c=d\end{matrix}\right.\ \ \Leftrightarrow\ \ \left\{\begin{matrix}\sf b=3a\\ \sf c=6a\\ \sf d=6a\end{matrix}\right.\end{align*}}$
これと①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)+g\ (x)=ax^3+3ax^2+6ax+6a\end{align*}}$ ……⑤
一方、③の両辺をxで微分すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)-g\ (x)&=\sf 3x^2-2ax+a\end{align*}}$ ……⑥
(⑤+⑥)÷2より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)&=\sf \frac{a}{2}x^3+\frac{3a+3}{2}x^2+2ax+\frac{7a}{2}\\ &=\sf \underline{\ \pm\frac{\sqrt2}{2}x^3+\frac{\pm 3\sqrt3+3}{2}x^2\pm 2\sqrt2\ x\pm\frac{7\sqrt2}{2}\ }\end{align*}}$
(⑤-⑥)÷2より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\ (x)&=\sf \frac{a}{2}x^3+\frac{3a-3}{2}x^2+4ax+\frac{5a}{2}\\ &=\sf \underline{\ \pm\frac{\sqrt2}{2}x^3+\frac{\pm 3\sqrt3-3}{2}x^2\pm 4\sqrt2\ x\pm\frac{5\sqrt2}{2}\ }\end{align*}}$
（複号はすべて同順）
これもさほど難しくはありません。
この年の文系数学は、第2問の出来で決まったのではないでしょうか。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2016/01/12(火) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 文系 1999
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