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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

1999神戸大 理系数学1



第1問

  $\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt a\lt \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ とし、関数f(x)を
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left| x-a\right|\sin x\ \ \ \ \left(0\leqq x\leqq \frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
  とする。$\small{\sf y=f(x)}$ のグラフとx軸および直線$\small\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ で囲まれた2つの
  図形の面積の和をSとするとき、次の問いに答えよ。

 (1) Sをaを用いて表せ。

 (2) aが$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt a\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲で動くときのSの最小値を求めよ。



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  1. 2015/12/23(水) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 1999
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1999神戸大 理系数学2



第2問

  合同な平行四辺形を平面にしきつめて、図のように2組の平行線
  からなる格子を作り、その各交点を格子点と呼ぶ。

          図02

  図のような3つの格子点O、A、Bについて、$\small\sf{\begin{align*} \sf \left| \overrightarrow{\sf OA}\right|^2,\left| \overrightarrow{\sf OB}\right|^2,\left| \overrightarrow{\sf AB}\right|^2\end{align*}}$ は
  すべて整数であるとする。このとき、どの2つの格子点P、Qに対し
  ても $\small\sf{\begin{align*} \sf \left| \overrightarrow{\sf PQ}\right|^2\end{align*}}$ は整数となることを示せ。




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  1. 2015/12/24(木) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 1999
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1999神戸大 理系数学3



第3問

  mは実数とし、関数f(x)を
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left(x^2-x+m \right)\sin 2\pi x\ \ \ \left(0\lt x<1 \right)\end{align*}}$
  とする。このとき、f(a)=0となるa(0<a<1)のうち、x=aを
  境目にしてf(x)の符号が変化するものの個数を求めよ。



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  1. 2015/12/25(金) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 1999
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1999神戸大 理系数学4



第4問

  連立不等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leqq\frac{1}{3}\ ,\ x>3\ ,\ y>3\end{align*}}$
  の表す領域をDとする。このとき次の各問いに答えよ。

 (1) Dを図示せよ。

 (2) D内を(x,y)が動くとき、2x+yのとる値の最小値を求めよ。
    また、そのときのx、yを求めよ。



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  1. 2015/12/26(土) 23:57:00|
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1999神戸大 理系数学5



第5問

  tは-1、0、1のいずれとも異なる実数とする。行列Aを
        $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf t^2& 0 & 0\\ 0 & \sf t & 0\\ 0 & 0 & \sf 1\end{pmatrix}\end{align*}}$
  とおくとき、次の各問いに答えよ。

 (1) 3×3行列Xで$\small\sf{\sf AX=tXA}$ をみたすものをすべて求め、X3が零行列と
    なることを示せ。

 (2) Xは$\small\sf{\sf AX=tXA}$ をみたす3×3行列であるとする。2以上の自然数nに
    対して、
         $\small\sf{\sf (X+A)n=An+bnXAn-1+cnX2An-2
    と書けることを示し、bn+1、cn+1をbn、cnを用いて表せ。ただし、
    A0は3次の単位行列を表すものとする。



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  1. 2015/12/27(日) 23:57:00|
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