第1問
$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt a\lt \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ とし、関数f(x)を
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left| x-a\right|\sin x\ \ \ \ \left(0\leqq x\leqq \frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
とする。$\small{\sf y=f(x)}$ のグラフとx軸および直線$\small\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ で囲まれた2つの
図形の面積の和をSとするとき、次の問いに答えよ。
(1) Sをaを用いて表せ。
(2) aが$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt a\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲で動くときのSの最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq x\leqq \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲では、つねに$\scriptsize\sf{\sf \sin x\geqq 0}$ であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left| x-a\right|\sin x=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ ,\ a\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S&=\sf \int_0^{\pi/2}\left| x-a\right|\sin x\ ｄx\\ &=\sf \int_0^{a}\left| x-a\right|\sin x\ ｄx+\int_a^{\pi/2}\left| x-a\right|\sin x\ ｄx\\ &=\sf \int_0^{a}\left(-x+a\right)\sin x\ ｄx+\int_a^{\pi/2}\left(x-a\right)\sin x\ ｄx\\ &=\sf \bigg[-\left(-x+a\right)\cos x \bigg]_0^a+\int_0^a\left(-\cos x\right)dx+\bigg[\left(-x+a\right)\cos x \bigg]_a^{\pi/2}-\int_a^{\pi/2}\left(-\cos x\right) dx\\ &=\sf a+\bigg[-\sin x\bigg]_0^a-\bigg[-\sin x\bigg]_a^{\pi/2}\\ &=\sf \underline{\ -2\sin a+a+1\ }\end{align*}}$
(2)
(1)で求めたSをaで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S'=-2\cos a+1\end{align*}}$
となるので、Sの増減は次のようになる。
よって、Sの最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{min}=-2\sin\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}+1=\underline{\ \frac{\pi}{3}-\sqrt3+1\ }\end{align*}}$
絶対値があるので、普通に場合分けです。
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- 2015/12/23(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 1999
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第2問
合同な平行四辺形を平面にしきつめて、図のように2組の平行線
からなる格子を作り、その各交点を格子点と呼ぶ。
図のような3つの格子点O、A、Bについて、$\small\sf{\begin{align*} \sf \left| \overrightarrow{\sf OA}\right|^2,\left| \overrightarrow{\sf OB}\right|^2,\left| \overrightarrow{\sf AB}\right|^2\end{align*}}$ は
すべて整数であるとする。このとき、どの2つの格子点P、Qに対し
ても $\small\sf{\begin{align*} \sf \left| \overrightarrow{\sf PQ}\right|^2\end{align*}}$ は整数となることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
まず
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left| \overrightarrow{\sf AB}\right|^2=\left|\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OA} \right|^2=\left|\overrightarrow{\sf OA} \right|^2+2\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}+\left|\overrightarrow{\sf OB} \right|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=\left| \overrightarrow{\sf AB}\right|^2-\left|\overrightarrow{\sf OA} \right|^2-\left|\overrightarrow{\sf OB} \right|^2\end{align*}}$ ……(#)
である。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ は一次独立なので、格子点P、Qは整数x1、y1、x2、y2を
用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=x_1\overrightarrow{\sf OA}+y_1\overrightarrow{\sf OB}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OQ}=x_2\overrightarrow{\sf OA}+y_2\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
と表すことができる。
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=x_2-x_1\ ,\ Y=y_2-y_1\end{align*}}$
とおくと、(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left|\overrightarrow{\sf PQ} \right|^2&=\sf \left|\overrightarrow{\sf OQ}-\overrightarrow{\sf OP} \right|^2\\ &=\sf \left|\left(x_2-x_1 \right)\overrightarrow{\sf OA}+\left(y_2-y_1 \right)\overrightarrow{\sf OB} \right|^2\\ &=\sf \left|X\overrightarrow{\sf OA}+Y\overrightarrow{\sf OB}\right|^2 \\ &=\sf X^2\left|\overrightarrow{\sf OA} \right|^2+2XY\ \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}+Y^2\left|\overrightarrow{\sf OB} \right|^2\\ &=\sf X^2\left|\overrightarrow{\sf OA} \right|^2+XY\left(\left| \overrightarrow{\sf AB}\right|^2-\left|\overrightarrow{\sf OA} \right|^2-\left|\overrightarrow{\sf OB} \right|^2 \right)+Y^2\left|\overrightarrow{\sf OB} \right|^2\\ &=\sf \left(X^2-XY \right)\left|\overrightarrow{\sf OA} \right|^2+\left(Y^2-XY \right)\left|\overrightarrow{\sf OB} \right|^2+XY\left|\overrightarrow{\sf AB} \right|^2\end{align*}}$
と表せる。
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left| \overrightarrow{\sf OA}\right|^2,\left| \overrightarrow{\sf OB}\right|^2,\left| \overrightarrow{\sf AB}\right|^2\end{align*}}$ およびX、Yは整数なので、任意の格子点
P、Qに対して$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf PQ} \right|^2\end{align*}}$ は整数となる。
恒例の格子点に関する問題です。
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- 2015/12/24(木) 23:57:00|
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第4問
連立不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leqq\frac{1}{3}\ ,\ x>3\ ,\ y>3\end{align*}}$
の表す領域をDとする。このとき次の各問いに答えよ。
(1) Dを図示せよ。
(2) D内を(x，y)が動くとき、2x+yのとる値の最小値を求めよ。
また、そのときのx、yを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
x＞3、y＞3より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leqq \frac{1}{3}&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 3y+3x\leqq xy\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \left(x-3 \right)y\geqq 3x\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf y\geqq \frac{3x}{x-3}=3+\frac{9}{x-3}\end{align*}}$
なので、これを図示すると右図のようになる。
ただし、境界線上の点も含む。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2x+y=k\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-2x+k\end{align*}}$
とおくと、この式は傾き-2、切片がkの直線（Lとする）
を表す。
Lが領域Dと共有点をもつようにkの値を変化させるとき、
kの値が最小になるのは、LがDの境界線に接するとき
である。よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left( 3+\frac{9}{x-3}\right)'=-\frac{9}{\left(x-3 \right)^2}=-2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x-3 \right)^2=\frac{9}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=3+\frac{3\sqrt2}{2}\ \left(>3 \right)\end{align*}}$ ．
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=3+\frac{9}{\left(3+\frac{3\sqrt2}{2} \right)-3}=3+3\sqrt2\end{align*}}$
なので、kの最大値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k_{max}=2\left(3+\frac{3\sqrt2}{2} \right)+\left(3+3\sqrt2 \right)=\underline{\ 9+6\sqrt2\ }\end{align*}}$
であり、これを与えるx、yの値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(x,y \right)=\left(3+\frac{3\sqrt2}{2} \ ,\ 3+3\sqrt2 \right)\ }\end{align*}}$
である。
これは難しくありません。
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- 2015/12/26(土) 23:57:00|
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第5問
tは-1、0、1のいずれとも異なる実数とする。行列Aを
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf t^2& 0 & 0\\ 0 & \sf t & 0\\ 0 & 0 & \sf 1\end{pmatrix}\end{align*}}$
とおくとき、次の各問いに答えよ。
(1) 3×3行列Xで$\small\sf{\sf AX=tXA}$ をみたすものをすべて求め、X3が零行列と
なることを示せ。
(2) Xは$\small\sf{\sf AX=tXA}$ をみたす3×3行列であるとする。2以上の自然数nに
対して、
$\small\sf{\sf (X+A)n=An+bnXAn-1+cnX2An-2
と書けることを示し、bn+1、cn+1をbn、cnを用いて表せ。ただし、
A0は3次の単位行列を表すものとする。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
行列Xを
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b &\sf c \\ \sf d & \sf e&\sf f \\ \sf g & \sf h&\sf i \end{pmatrix}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AX=tXA&\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \begin{pmatrix}\sf t^2& 0 & 0\\ 0 & \sf t & 0\\ 0 & 0 & \sf 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf a&\sf b &\sf c \\ \sf d & \sf e&\sf f \\ \sf g & \sf h&\sf i \end{pmatrix}=t\begin{pmatrix} \sf a&\sf b &\sf c \\ \sf d & \sf e&\sf f \\ \sf g & \sf h&\sf i \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf t^2& 0 & 0\\ 0 & \sf t & 0\\ 0 & 0 & \sf 1\end{pmatrix}\\ &\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf \begin{pmatrix}\sf t^2a&\sf t^2b &\sf t^2c\\ \sf td & \sf te &\sf tf\\ \sf g & \sf h & \sf i\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}\sf t^2a&\sf tb &\sf c\\ \sf t^2d & \sf te &\sf f\\ \sf t^2g & \sf th & \sf i\end{pmatrix}\end{align*}}$
両辺の成分を比較すると、t≠±1，0より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2a=t^3a\ \ \Leftrightarrow\ \ a=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2b=t^2b\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2c=tc\ \ \Leftrightarrow\ \ c=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf td=t^3d\ \ \Leftrightarrow\ \ d=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf te=t^2e\ \ \Leftrightarrow\ \ e=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf tf=tf\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g=t^3g\ \ \Leftrightarrow\ \ g=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h=t^2h\ \ \Leftrightarrow\ \ h=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf i=ti\ \ \Leftrightarrow\ \ i=0\end{align*}}$
よって、条件を満たすXは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ X=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf b &\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0&\sf f \\ \sf 0 & \sf 0&\sf 0 \end{pmatrix}}\end{align*}}$
ただし、b、fは任意の実数である。
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf X^3&=\sf \begin{pmatrix} \sf 0&\sf b &\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0&\sf f \\ \sf 0 & \sf 0&\sf 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 0&\sf b &\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0&\sf f \\ \sf 0 & \sf 0&\sf 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 0&\sf b &\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0&\sf f \\ \sf 0 & \sf 0&\sf 0 \end{pmatrix}\\ &=\sf \begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 &\sf bf \\ \sf 0 & \sf 0&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0&\sf 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 0&\sf b &\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0&\sf f \\ \sf 0 & \sf 0&\sf 0 \end{pmatrix}\\ &=\sf \underline{\ \begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 &\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0&\sf 0 \end{pmatrix}}\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
(2)
行列Xが
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AX=tXA\end{align*}}$ ……(#)
を満たすとき、2以上の任意の自然数nに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left( X+A\right)^n=A^n+b_nXA^{n-1}+c_nX^2A^{n-2}\end{align*}}$ ……(*)
と表せることを数学的帰納法で示す。
(Ⅰ) n=2のとき、
(#)を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(X+A \right)^2&=\sf X^2+AX+XA+A^2\\ &=\sf A^2+tXA+XA+X^2A^0\\ &=\sf A^2+\left(t+1 \right)XA+X^2A^0\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_2=t+1\ \ ,\ \ c_2=1\end{align*}}$
(Ⅱ) n=kのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left( X+A\right)^k=A^k+b_kXA^{k-1}+c_kX^2A^{k-2}\end{align*}}$ ……(*)
であると仮定すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(X+A \right)^{k+1}&=\sf \left(X+A \right)^{k}\left(X+A \right)\\ &=\sf \left( A^k+b_kXA^{k-1}+c_kX^2A^{k-2}\right)\left(X+A \right)\\ &=\sf A^kX+b_kXA^{k-1}X+c_kX^2A^{k-2}X+A^{k+1}+b_kXA^{k}+c_kX^2A^{k-1}\end{align*}}$ ．
ここで、(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A^kX&=\sf A^{k-1}\left(AX\right)\\ &=\sf A^{k-1}\left(tXA\right)\\ &=\sf tA^{k-2}\left(AX \right)A\\ &=\sf tA^{k-2}\left(tXA \right)A\\ &=\sf t^2A^{k-3}\left(AX \right)A^2\\ &\vdots\sf \\ &=\sf t^kXA^k\end{align*}}$
であり、同様に、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_kXA^{k-1}X=t^{k-1}b_kX^2A^{k-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_kX^2A^{k-2}X=t^{k-2}c_kX^3A^{k-2}=O\ \ \ \ \left(\because\ X^3=O \right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(X+A \right)^{k+1}&=\sf t^kXA^k+t^{k-1}b_kX^2A^{k-1}+A^{k+1}+b_kXA^{k}+c_kX^2A^{k-1}\\ &=\sf A^{k+1}+\left(b_k+t^k \right)XA^k+\left(c_k+t^{k-1}b_k \right)X^2A^{k-1}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{k+1}=b_k+t^k \ \ ,\ \ c_{k+1}=c_k+t^{k-1}b_k\end{align*}}$
とおくと、n=k+1のときも(*)の形で表すことができる。
以上より、題意は示された。
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ b_{n+1}=b_n+t^n \ \ ,\ \ c_{n+1}=c_n+t^{n-1}b_n\ }\end{align*}}$
である。
(2) AkX=tkXAk の変形が少しヤヤコシイかもしれません
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2015/12/27(日) 23:57:00|
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