第1問
次の問いに答えよ。
(1) 点(1，0)を通って傾きが$\small{\sf -4}$ の直線と、関数$\small{\sf y=x^2-4x}$ のグラフと
の共有点の座標を求めよ。
(2) 二つの関数
$\small{\sf y=x^2-4x\ ,\ \ y=k(x-a)}$
のグラフが、どんなkの値に対しても、$\small{\sf -2\leqq x\leqq 2}$ の範囲で少なく
とも一つの共有点をもつようなaの値の範囲を求めよ。
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【解答】
関数 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=x^2-4x\end{align*}}$ のグラフをCとおく。
(1)
点(1，0)を通って傾きが$\scriptsize\sf{\sf -4}$ の直線の式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-4\left(x-1 \right)\end{align*}}$
なので、これとCの式とを連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-4x=-4\left(x-1 \right)\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2=4\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\pm 2\end{align*}}$
となるので、共有点の座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(-2\ ,\ 12 \right)\ ,\ \left(2\ ,\ -4 \right)\ }\end{align*}}$
である。
(2)
(1)で求めた2点を $\scriptsize\sf{\sf P(-2,\ 12)\ ,\ Q(2,\ -4)}$ とおく。
また、直線$\scriptsize\sf{\sf L:\ y=k(x-a)}$ は、傾きがkで点(a，0)を通る直線である。
(ⅰ) a＞1のとき
(1)より、直線Lは、$\scriptsize\sf{\sf a=1\ ,\ k=-4}$ のときに2点P、Qを通るので、
$\scriptsize\sf{\sf k=-4\ ,\ a\gt 1}$ のときは曲線PQと共有点をもたない。
(ⅱ) a＜0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left( x^2-4x\right)'=2x-4\end{align*}}$
より、原点における曲線PQの接線の傾きは-4である。
直線Lは、$\scriptsize\sf{\sf k=-4\ ,\ a\lt 0}$ のとき曲線PQと共有点をもたない。
以上より、kの値によらず曲線PQと直線Lが共有点をもつためには、
0≦a≦1である必要があり、以下で十分性を示す。
まずa=0のとき、Lと曲線PQは明らかに原点Oを共有する。
(ⅲ) 0＜a≦1のとき
CとLの2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-4x=k\left(x-a \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-\left(k+4 \right)x+ak=0\end{align*}}$ ……(#)
となる。
$\scriptsize\sf{\sf k=-4}$ のとき、(#)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-4a=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\pm 2\sqrt{a}\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -2\leqq -2\sqrt{a}<2\sqrt{a}\leqq 2\ \ \ \ \left(\because\ 0< a\leqq 1 \right)\end{align*}}$
なので、$\scriptsize\sf{\sf k=-4}$ であるLは曲線PQと2つの共有点をもつ
（右図のS、T）。
ここで、(#)の左辺をh(x)とおくと、$\scriptsize\sf{\sf k\ne -4}$ であるkに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf h\left(-2\sqrt{a} \right)\cdot h\left(2\sqrt{a} \right)&=\sf \big\{4a+2\sqrt{a}\ \left(k+4 \right)x+ak\big\}\big\{4a-2\sqrt{a}\ \left(k+4 \right)x+ak\big\}\\ &=\sf \left(k+4 \right)\left(a-2\sqrt{a} \right)\cdot \left(k+4 \right)\left(a+2\sqrt{a} \right)\\ &=\sf \left(k+4 \right)^2\left(a-4 \right)a\\ &\sf <0\ \ \ \ \left(\because\ 0\lt a\leqq 1 \right)\end{align*}}$
となるので、方程式(#)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -2\sqrt{a}\lt x<2\sqrt{a}\end{align*}}$
の範囲に実数解を1つもつ。
すなわち、$\scriptsize\sf{\sf k\ne -4\ ,\ 0\lt a\leqq 1}$ のとき、Lは曲線STと1点を共有する。
以上より、Lがkの値によらず曲線PQと共有点をもつための条件は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 0\leqq a\leqq 1\ }\end{align*}}$
である。
文系の問題ですから、厳密に議論するのは難しいと思います。
グラフを描いて適当に誤魔化しましょう（笑）
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- 2015/12/13(日) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 文系 2000
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第2問
三角形ABC において
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CA}=\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf CB}=\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
とする。次の問いに答えよ。
(1) 実数s、tが0≦s+t≦1、s≧0、t≧0の範囲を動くとき、
次の各条件をみたす点Pの存在する範囲をそれぞれ図示せよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf (a)\ \overrightarrow{\sf CP}=s\overrightarrow{\sf a}+t\left(\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}\right)\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf (b)\ \overrightarrow{\sf CP}=\left(2s+t\right)\overrightarrow{\sf a}+\left(s-t\right)\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
(2) (1)の各場合に、点Pの存在する範囲の面積は三角形ABCの
面積の何倍か。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)(a)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CD}=\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ となる点Dを考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CP}=s\ \overrightarrow{\sf CA}+t\ \overrightarrow{\sf CD}\ \ \ \ \left(0\leqq s+t\leqq 1\ ,\ s\geqq 0\ ,\ t\geqq 0 \right)\end{align*}}$
となるので、点Pは△CADの周および内部を動く。
これを図示すると、下図の水色部分（境界も含む）になる。
(1)(b)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CE}=2\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ 、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CF}=\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ となる点E、Fを考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf CP}&=\sf \left(2s+t \right)\overrightarrow{\sf a}+\left(s-t \right)\overrightarrow{\sf b}\\ &=\sf s\left(2\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b} \right)+t\left(\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b} \right)\\ &=\sf s\ \overrightarrow{\sf CE}+t\ \overrightarrow{\sf CF}\end{align*}}$
となるので、点Pは△CEFの周および内部を動く。
これを図示すると、下図の水色部分（境界も含む）になる。
(2)(a)
平行四辺形BCADの面積をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle ADC=\triangle ABC=\frac{1}{2}S\end{align*}}$
なので、点Pの存在範囲の面積は△ABCの1倍である。
(2)(b)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CG}=-\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ 、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CH}=2\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ となる点G、Hを考えると、
四角形BGHEは平行四辺形となり、その面積は4Sである。
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle BCE=\triangle EFH=S\ \ ,\ \ \triangle CGF=\frac{1}{2}S\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle ECF=4S-\left(S+S+\frac{1}{2}S \right)=\frac{3}{2}S=3\triangle ABC\end{align*}}$
となるので、点Pの存在範囲の面積は△ABCの3倍である。
よくある問題ですが、苦手な高校生、多いですよね。
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- 2015/12/14(月) 23:54:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 文系 2000
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